Nieskorelowane (teoria prawdopodobieństwa) - Uncorrelatedness (probability theory)

W teorii prawdopodobieństwa i statystyki , dwóch wartościach rzeczywistych zmiennymi losowymi , , , mówi się, że są nieskorelowane jeśli ich kowariancja , jest zero. Jeśli dwie zmienne są nieskorelowane, nie ma między nimi liniowej zależności. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ operatorname {cov} [X, Y] = \ operatorname {E} [XY] - \ operatorname {E} [X] \ operatorname {E} [Y]}$

Nieskorelowane zmienne losowe mają współczynnik korelacji Pearsona równy zero, z wyjątkiem trywialnych przypadków, gdy każda zmienna ma zerową wariancję (jest stałą). W tym przypadku korelacja jest nieokreślona.

Ogólnie rzecz biorąc, nieskorelowanie nie jest tym samym, co ortogonalność , z wyjątkiem szczególnego przypadku, w którym co najmniej jedna z dwóch zmiennych losowych ma wartość oczekiwaną równą 0. W tym przypadku kowariancja jest oczekiwaniem produktu i jest nieskorelowana, jeśli i tylko jeśli . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [XY] = 0}$

Jeśli i są niezależne , ze skończonymi sekundami , to są nieskorelowane. Jednak nie wszystkie zmienne nieskorelowane są niezależne. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Definicja

Definicja dwóch rzeczywistych zmiennych losowych

Dwie zmienne losowe nazywane są nieskorelowanymi, jeśli ich kowariancja wynosi zero. Formalnie: ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle \ operatorname {Cov} [X, Y] = \ operatorname {E} [(X- \ operatorname {E} [X]) (Y- \ operatorname {E} [Y])]}$

Definicja dwóch złożonych zmiennych losowych

Dwie złożone zmienne losowe nazywane są nieskorelowanymi, jeśli ich kowariancja i ich pseudokowariancja są równe zero, tj. ${\ displaystyle Z, W}$${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {ZW} = \ operatorname {E} [(Z- \ operatorname {E} [Z]) {\ overline {(W- \ operatorname {E} [W])}}] }$${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {ZW} = \ operatorname {E} [(Z- \ operatorname {E} [Z]) (W- \ operatorname {E} [W])]}$

${\ Displaystyle Z, W {\ tekst {nieskorelowany}} \ quad \ iff \ quad \ operatorname {E} [Z {\ overline {W}}] = \ operatorname {E} [Z] \ cdot \ operatorname {E} [{\ overline {W}}] {\ text {and}} \ operatorname {E} [ZW] = \ operatorname {E} [Z] \ cdot \ operatorname {E} [W]}$

Definicja więcej niż dwóch zmiennych losowych

Zbiór dwóch lub więcej zmiennych losowych nazywany jest nieskorelowanymi, jeśli każda z nich jest nieskorelowana. Jest to równoważne z wymaganiami, że nie ukośne elementy macierzy autokowariancji z losowego wektora wszystkie są zerowe. Macierz autokowariancji jest zdefiniowana jako: ${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ^ {\ mathrm {T}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} = \ operatorname {cov} [\ mathbf {X}, \ mathbf {X}] = \ operatorname {E} [(\ mathbf {X} - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]) (\ mathbf {X} - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]) ^ {\ rm {T}}] = \ operatorname { E} [\ mathbf {X} \ mathbf {X} ^ {T}] - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] ^ {T}}$

Przykłady zależności bez korelacji

Przykład 1

• Niech będzie zmienną losową, która przyjmuje wartość 0 z prawdopodobieństwem 1/2 i przyjmuje wartość 1 z prawdopodobieństwem 1/2. ${\ displaystyle X}$
• Niech będzie zmienną losową, niezależną od , która przyjmuje wartość −1 z prawdopodobieństwem 1/2 i przyjmuje wartość 1 z prawdopodobieństwem 1/2. ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$
• Niech będzie zmienną losową skonstruowaną jako . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U = XY}$

Twierdzenie jest takie i mają zerową kowariancję (a zatem są nieskorelowane), ale nie są niezależne. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

Dowód:

Biorąc to pod uwagę

${\ displaystyle \ operatorname {E} [U] = \ operatorname {E} [XY] = \ operatorname {E} [X] \ operatorname {E} [Y] = \ operatorname {E} [X] \ cdot 0 = 0,}$

gdzie druga równość zachodzi, ponieważ i są niezależne, otrzymujemy ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {cov} [U, X] & = \ operatorname {E} [(U- \ operatorname {E} [U]) (X- \ operatorname {E} [X] )] = \ operatorname {E} [U (X - {\ tfrac {1} {2}})] \\ & = \ operatorname {E} [X ^ {2} Y - {\ tfrac {1} {2 }} XY] = \ operatorname {E} [(X ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} X) Y] = \ operatorname {E} [(X ^ {2} - {\ tfrac { 1} {2}} X)] \ nazwa operatora {E} [Y] = 0 \ end {aligned}}}$

Dlatego i są nieskorelowane. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

Niezależność i oznacza, że dla wszystkich i , . Nie jest to prawdą w szczególności w przypadku i . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle \ Pr (U = a \ mid X = b) = \ Pr (U = a)}$${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle b = 0}$

• ${\ Displaystyle \ Pr (U = 1 \ mid X = 0) = \ Pr (XY = 1 \ mid X = 0) = 0}$
• ${\ Displaystyle \ Pr (U = 1) = \ Pr (XY = 1) = 1/4}$

Tak więc i nie są niezależne. ${\ Displaystyle \ Pr (U = 1 \ mid X = 0) \ neq \ Pr (U = 1)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

CO BYŁO DO OKAZANIA

Przykład 2

Jeśli jest ciągłą zmienną losową równomiernie rozłożoną na i , to i są nieskorelowane, mimo że determinuje i określoną wartość można otrzymać tylko z jednej lub dwóch wartości  : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle [-1,1]}$${\ Displaystyle Y = X ^ {2}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {X} (t) = {1 \ ponad 2} ja _ {[- 1,1]}; f_ {Y} (t) = {1 \ ponad {2 {\ sqrt {t}}}} I _ {] 0,1]}}$

z drugiej strony jest 0 w trójkącie zdefiniowanym przez chociaż nie jest zerowy w tej domenie. Dlatego i zmienne nie są niezależne. ${\ displaystyle f_ {X, Y}}$${\ displaystyle 0 <X <Y <1}$${\ displaystyle f_ {X} \ razy f_ {Y}}$${\ Displaystyle f_ {X, Y} (X, Y) \ neq f_ {X} (X) \ razy f_ {Y} (Y)}$

${\ Displaystyle E [X] = {{1-1} \ ponad 2} = 0; E [Y] = {{1 ^ {3} - (- 1) ^ {3}} \ ponad {3 \ razy 2 }} = {1 \ ponad 3}}$

${\ Displaystyle Cov [X, Y] = E \ lewo [(XE [X]) (YE [Y]) \ prawo] = E \ lewo [X ^ {3} - {X \ ponad 3} \ prawo] = {{1 ^ {4} - (- 1) ^ {4}} \ ponad {4 \ times 2}} = 0}$

Dlatego zmienne są nieskorelowane.

Kiedy brak korelacji oznacza niezależność

Są przypadki, w których brak korelacji oznacza niezależność. Jednym z tych przypadków jest ten, w którym obie zmienne losowe są dwuwartościowe (więc każda z nich może być przekształcona liniowo w celu uzyskania rozkładu Bernoulliego ). Ponadto dwie zmienne losowe o wspólnym rozkładzie normalnym są niezależne, jeśli są nieskorelowane, chociaż nie dotyczy to zmiennych, których rozkłady krańcowe są normalne i nieskorelowane, ale których wspólny rozkład nie jest wspólny normalny (patrz Rozkład normalny i nieskorelowany nie oznacza niezależności ).

Uogólnienia

Nieskorelowane wektory losowe

Dwa losowe wektory i nazywane są nieskorelowanymi jeśli ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {m.}) ^ {T}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = (Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}) ^ {T}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ mathbf {X} \ mathbf {Y} ^ {T}] = \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] \ operatorname {E} [\ mathbf {Y}] ^ {T}}$ .

Nie są one skorelowane wtedy i tylko wtedy, gdy ich macierz kowariancji krzyżowych wynosi zero. ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}}}$

Dwa złożone wektory losowe i są nazywane nieskorelowanymi, jeśli ich macierz krzyżowych kowariancji i ich macierz pseudo-krzyżowych kowariancji są równe zero, tj. ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {W}}$

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = 0}$

gdzie

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = \ operatorname {E} [(\ mathbf {Z} - \ operatorname {E} [\ mathbf {Z}]) {( \ mathbf {W} - \ operatorname {E} [\ mathbf {S}])} ^ {\ mathrm {H}}]}$

i

${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = \ operatorname {E} [(\ mathbf {Z} - \ operatorname {E} [\ mathbf {Z}]) {( \ mathbf {W} - \ operatorname {E} [\ mathbf {W}])} ^ {\ mathrm {T}}]}$ .

Nieskorelowane procesy stochastyczne

Są to dwa procesy stochastyczne i nazywane są nieskorelowanymi, jeśli ich krzyżowa kowariancja wynosi zawsze zero. Formalnie: ${\ Displaystyle \ lewo \ {X_ {t} \ prawo \}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {Y_ {t} \ prawo \}}$${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {E} \ left [\ left (X (t_ {1}) ) - \ mu _ {X} (t_ {1}) \ right) \ left (Y (t_ {2}) - \ mu _ {Y} (t_ {2}) \ right) \ right]}$

${\ Displaystyle \ lewo \ {X_ {t} \ prawo \}, \ lewo \ {Y_ {t} \ prawo \} {\ tekst {nieskorelowane}} \ quad \ iff \ quad \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = 0 \ quad \ forall t_ {1}, t_ {2}.}$

Zobacz też

• Korelacja i zależność
• Rozkład dwumianowy: kowariancja między dwoma dwumianami
• Nieskorelowany element objętości

Bibliografia

Dalsza lektura

• Prawdopodobieństwo dla statystyk , Galen R. Shorack, Springer (c2000) ISBN   0-387-98953-6