Jednolicie najsilniejszy test - Uniformly most powerful test

W testowaniu hipotez statystycznych , jednolicie najsilniejszy test ( UMP ) jest testem hipotezy, który ma największą moc ${\ Displaystyle 1- \ beta}$ spośród wszystkich możliwych testów o danej wielkości α . Na przykład, zgodnie z lematem Neymana-Pearsona , test współczynnika wiarygodności to UMP do testowania prostych (punktowych) hipotez.

Oprawa

Niech oznaczają wektor losowej (odpowiadający pomiarów) pochodzącą z parametryzowaną rodziny od funkcji gęstości prawdopodobieństwa lub funkcji masy prawdopodobieństwa , który zależy od nieznanego parametru deterministyczny . Przestrzeń parametrów jest podzielona na dwa rozłączne zestawy i . Niech oznaczają hipotezę, że i niech oznaczają hipotezę, że . Binarny test hipotez jest wykonywany za pomocą funkcji testowej . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f _ {\ theta} (x)}$${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta}$${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle \ Theta _ {1}}$${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta _ {1}}$${\ Displaystyle \ varphi (x)}$

${\ Displaystyle \ varphi (x) = {\ rozpocząć {przypadków} 1 i {\ tekst {if}} \ theta \ in \ Theta _ {1} \\ 0 & {\ text {if}} \ theta \ in \ Theta _ {0} \ end {cases}}}$

co oznacza, że obowiązuje w przypadku pomiaru i to w przypadku pomiaru . Zauważ, że jest to rozłączne pokrycie przestrzeni pomiarowej. ${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle X \ in \ Theta _ {1}}$${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle X \ in \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle \ Theta _ {0} \ cup \ Theta _ {1}}$

Definicja formalna

Funkcja testowa ma rozmiar UMP, jeśli dla jakiejkolwiek innej funkcji testowej jest zadowalająca ${\ Displaystyle \ varphi (x)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ varphi '(x)}$

${\ Displaystyle \ sup _ {\ theta \ in \ Theta _ {0}} \; \ operatorname {E} _ {\ theta} \ varphi '(X) = \ alfa' \ równoważnik \ alpha = \ sup _ {\ theta \ in \ Theta _ {0}} \; \ nazwa operatora {E} _ {\ theta} \ varphi (X) \,}$

mamy

${\ Displaystyle \ forall \ theta \ in \ Theta _ {1}, \ quad \ operatorname {E} _ {\ theta} \ varphi '(X) = 1- \ beta' (\ theta) \ równoważnik 1- \ beta (\ theta) = \ nazwa operatora {E} _ {\ theta} \ varphi (X).}$

Twierdzenie Karlina-Rubina

Twierdzenie Karlina – Rubina można traktować jako rozszerzenie lematu Neymana – Pearsona dla hipotez złożonych. Rozważmy pomiar skalarny z funkcją gęstości prawdopodobieństwa sparametryzowaną parametrem skalarnym θ i zdefiniuj współczynnik wiarygodności . Jeśli jest monotoniczny, nie malejący, in dla dowolnej pary (co oznacza, że ​​im większe , tym bardziej prawdopodobne ), to test progowy: ${\ Displaystyle l (x) = fa _ {\ teta _ {1}} (x) / f _ {\ teta _ {0}} (x)}$${\ Displaystyle l (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta _ {1} \ geq \ theta _ {0}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle H_ {1}}$

${\ displaystyle \ varphi (x) = {\ początek {przypadków} 1 i {\ tekst {if}} x> x_ {0} \\ 0 i {\ tekst {if}} x <x_ {0} \ koniec {przypadków} }}$

gdzie jest taki wybrany ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ operatorname {E} _ {\ theta _ {0}} \ varphi (X) = \ alpha}$

to test UMP o rozmiarze α do testowania ${\ Displaystyle H_ {0}: \ theta \ leq \ theta _ {0} {\ text {vs.}} H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}.}$

Zauważ, że dokładnie tym samym testem jest również UMP do testowania ${\ Displaystyle H_ {0}: \ theta = \ theta _ {0} {\ text {kontra}} H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}.}$

Ważny przypadek: rodzina wykładnicza

Chociaż twierdzenie Karlina-Rubina może wydawać się słabe ze względu na jego ograniczenie do parametru skalarnego i pomiaru skalarnego, okazuje się, że istnieje wiele problemów, dla których twierdzenie to ma zastosowanie. W szczególności, jednowymiarowy wykładniczy rodziny od funkcji gęstości prawdopodobieństwa lub funkcji masy prawdopodobieństwa z

${\ Displaystyle f _ {\ theta} (x) = g (\ teta) h (x) \ exp (\ eta (\ teta) T (x))}$

ma monotoniczny, nie malejący współczynnik prawdopodobieństwa w statystykach wystarczających , pod warunkiem, że nie zmniejsza się. ${\ Displaystyle T (x)}$${\ Displaystyle \ eta (\ theta)}$

Przykład

Niech oznaczają IID zwykle rozmieszczone wymiarową losowych wektorów ze średnią i macierz kowariancji . Mamy wtedy ${\ Displaystyle X = (X_ {0}, \ ldots, X_ {M-1})}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ theta m}$${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f _ {\ theta} (X) = {} i (2 \ pi) ^ {- MN / 2} | R | ^ {- M / 2} \ exp \ lewo \ {- {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} (X_ {n} - \ theta m) ^ {T} R ^ {- 1} (X_ {n} - \ theta m) \ right \} \\ [4pt] = {} & (2 \ pi) ^ {- MN / 2} | R | ^ {- M / 2} \ exp \ left \ {- {\ frac { 1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} \ left (\ theta ^ {2} m ^ {T} R ^ {- 1} m \ right) \ right \} \\ [4pt] & \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n} ^ {T} R ^ {- 1} X_ {n} \ right \} \ exp \ left \ {\ theta m ^ {T} R ^ {- 1} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n} \ right \} \ end {aligned}}}$

który ma dokładnie postać wykładniczej rodziny pokazanej w poprzedniej sekcji, z wystarczającym bytem statystycznym

${\ Displaystyle T (X) = m ^ {T} R ^ {- 1} \ suma _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n}.}$

W związku z tym dochodzimy do wniosku, że test

${\ Displaystyle \ varphi (T) = {\ rozpocząć {przypadków} 1 & T> t_ {0} \\ 0 & T <t_ {0} \ end {przypadki}} \ qquad \ operatorname {E} _ {\ theta _ {0} } \ varphi (T) = \ alpha}$

to test UMP rozmiaru do testowania vs. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle H_ {0}: \ theta \ leqslant \ theta _ {0}}$${\ Displaystyle H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}}$

Dalsza dyskusja

Na koniec zauważamy, że generalnie testy UMP nie istnieją dla parametrów wektorów ani dla testów dwustronnych (test, w którym jedna hipoteza leży po obu stronach alternatywy). Powodem jest to, że w takich sytuacjach, najbardziej wydajne test danej wielkości dla jednego z możliwych wartości parametru (na przykład dla gdzie ) różni się od najbardziej mocny próbie tej samej wielkości dla różnych wartości parametru (na przykład dla gdzie ). W rezultacie żaden test nie jest jednakowo najsilniejszy w takich sytuacjach. ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$${\ displaystyle \ theta _ {1}> \ theta _ {0}}$${\ displaystyle \ theta _ {2}}$${\ displaystyle \ theta _ {2} <\ theta _ {0}}$

Bibliografia

Dalsza lektura

• Ferguson, TS (1967). Rozdział 5.2: Jednolicie najsilniejsze testy . Statystyka matematyczna: podejście oparte na teorii decyzji . Nowy Jork: Academic Press.
• Mood, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). „Rozdział IX.3.2: Jednolite najsilniejsze testy ”. Wprowadzenie do teorii statystyki (wyd. 3). Nowy Jork: McGraw-Hill.
• LL Scharf, Statistical Signal Processing , Addison-Wesley, 1991, sekcja 4.7.