Unia (teoria mnogości) - Union (set theory)

Połączenie dwóch zestawów:

{\ Displaystyle ~ A \ filiżanka B}

Połączenie trzech zestawów:

{\ Displaystyle ~ A \ filiżanka B \ filiżanka C}

Połączenie A, B, C, D i E to wszystko oprócz białego obszaru.

W teorii zbiorów The związek (oznaczonej przez ∪) ze zbioru zestawów to zbiór wszystkich elementów w zbiorze. Jest to jedna z podstawowych operacji, dzięki której zestawy można łączyć i łączyć ze sobą. ZA sygnalnych związek oznacza związekzero () ${\ Displaystyle 0}$ zestawach i jest z definicji równa siępustego zestawu.

Wyjaśnienie symboli użytych w tym artykule znajduje się w tabeli symboli matematycznych .

Związek dwóch zestawów

Połączenie dwóch zbiorów A i B jest zbiorem elementów znajdujących się w A , B , lub w A i B . W symbolach,

{\ Displaystyle A \ filiżanka B = \ {x: x \ w A {\ tekst {lub}} x \ w B \}}

.

Na przykład, jeśli A = {1, 3, 5, 7} i B = {1, 2, 4, 6, 7} to A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Bardziej rozbudowany przykład (obejmujący dwa nieskończone zestawy) to:

A = { x jest parzystą liczbą całkowitą większą niż 1}

B = { x jest nieparzystą liczbą całkowitą większą niż 1}

{\ Displaystyle A \ filiżanka B = \ {2,3,4,5,6, \ kropki \}}

Jako inny przykład, liczba 9 nie jest zawarta w połączeniu zbioru liczb pierwszych {2, 3, 5, 7, 11, ...} i zbioru liczb parzystych {2, 4, 6, 8, 10 , ...}, ponieważ 9 nie jest ani liczbą pierwszą, ani parzystą.

Zbiory nie mogą zawierać zduplikowanych elementów, więc sumą zbiorów {1, 2, 3} i {2, 3, 4} jest {1, 2, 3, 4}. Wielokrotne wystąpienia identycznych elementów nie mają wpływu na liczność zestawu ani jego zawartość.

Własności algebraiczne

Unia binarna jest operacją asocjacyjną ; czyli dla dowolnych zbiorów A , B i C ,

{\ Displaystyle A \ filiżanka (B \ filiżanka C) = (A \ filiżanka B) \ filiżanka C.}

Tak więc nawiasy można pominąć bez dwuznaczności: każdy z powyższych może być zapisany jako A ∪ B ∪ C . Również suma jest przemienna , więc zbiory można zapisywać w dowolnej kolejności. Zbiór pusty jest element neutralny dla funkcjonowania Unii. Oznacza to, że A ∪ ∅ = A , dla dowolnego zbioru A. Również operacja łączenia jest idempotentna: A ∪ A = A . Wszystkie te właściwości wynikają z analogicznych faktów dotyczących logicznej alternatywy .

Skrzyżowanie rozprowadza się po unii

{\ Displaystyle A \ czapka (B \ kubek C) = (A \ czapka B) \ kubek (A \ czapka C)}

i związek rozprowadza się na skrzyżowaniu

{\ Displaystyle A \ kubek (B \ kubek C) = (A \ kubek B) \ czapka (A \ kubek C).}

Zestaw moc zestawu U wraz z operacjami podanych przez związki, przecięcia i dopełnienia , jest Boole'a . W tej algebrze Boole'a sumę można wyrazić w postaci przecięcia i uzupełnienia wzorem

{\ Displaystyle A \ filiżanka B = \ lewo (A ^ {\ tekst {c}} \ czapka B ^ {\ tekst {c}} \ prawej) ^ {\ tekst {c}}}

gdzie indeks górny oznacza dopełnienie w zbiorze uniwersalnym U . ${\ Displaystyle {} ^ {\ tekst {c}}}$

skończone związki

Można łączyć kilka zestawów jednocześnie. Na przykład suma trzech zbiorów A , B i C zawiera wszystkie elementy A , wszystkie elementy B , wszystkie elementy C i nic więcej. Zatem x jest elementem A ∪ B ∪ C wtedy i tylko wtedy, gdy x jest w co najmniej jednym z A , B i C .

Skończony związek jest sumą skończonej liczby zbiorów; wyrażenie to nie sugeruje, że zbiór sumy jest zbiorem skończonym .

Unie arbitralne

Najbardziej ogólnym pojęciem jest unia arbitralnego zbioru zbiorów, czasami nazywana unią nieskończoną . Jeśli M jest zbiorem lub klasą, której elementy są zbiorami, to x jest elementem unii M wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje co najmniej jeden element A z M taki, że x jest elementem A . W symbolach:

{\ Displaystyle x \ w \ bigcup \ mathbf {M} \ iff \ istnieje A \ w \ mathbf {M} \ x \ w A.}

Ta idea obejmuje poprzednie sekcje — na przykład A ∪ B ∪ C jest sumą kolekcji { A , B , C }. Ponadto, jeśli M jest pustą kolekcją, to suma M jest pustym zbiorem.

Notacje

Notacja ogólnej koncepcji może się znacznie różnić. Dla skończonej sumy zbiorów pisze się często lub . Różne wspólne notacje arbitralnych związków to , , i . Ostatnia z tych notacji odnosi się do unii kolekcji , gdzie I jest zbiorem indeksów i jest zbiorem dla każdego . W przypadku, gdy zbiór indeksów I jest zbiorem liczb naturalnych , używa się notacji , która jest analogiczna do notacji nieskończonych sum w szeregach. $S_{1},S_{2},S_{3},\kropki,S_{n}$ ${\ Displaystyle S_ {1} \ filiżanka S_ {2} \ filiżanka S_ {3} \ filiżanka \ kropki \ filiżanka S_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} S_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ bigcup \ mathbf {M}}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {A \ w \ mathbf {M}} A}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ w I} A_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ lewo \ {A_ {i}: i \ w I \ prawo \}}$ ${\ Displaystyle A_ {i}}$ $ja\w ja$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i}}$