Jednostka (teoria pierścienia) - Unit (ring theory)

W branży streszczenie Algebra zwanej teorii pierścień , A jednostki o pierścień jest taki element , który ma zwielokrotniony odwrotne w : element , tak że ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle u \ in R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle v \ in R}$

${\ displaystyle vu = uv = 1}$ ,

gdzie 1 to tożsamość multiplikatywna . Zbiór jednostek U ( R ) pierścienia tworzy grupę podlegającą mnożeniu.

Rzadziej termin jednostka jest również używany w odniesieniu do elementu 1 pierścienia, w wyrażeniach takich jak pierścień z jednostką lub pierścieniem jednostkowym , a także np . Macierz „jednostkowa” . Z tego powodu niektórzy autorzy nazywają 1 „jednością” lub „tożsamością” i mówią, że R jest raczej „pierścieniem z jednością” lub „pierścieniem z tożsamością” niż „pierścieniem z jednostką”.

Przykłady

Multiplikatywna tożsamość 1 i jej addytywna odwrotność -1 są zawsze jednostkami. Mówiąc bardziej ogólnie, każdy pierwiastek jedności w pierścieniu R jest jednostką: jeśli r ⁿ = 1 , to r ^{n  - 1} jest multiplikatywną odwrotnością r . W pierścieniu niezerową The elementem 0 nie jest jednostką to U ( R ) nie jest zamknięty z dodatkiem. Pierścień R, w którym każdy element niezerowy jest jednostką (to znaczy U ( R ) = R - {0} ) nazywany jest pierścieniem dzielącym (lub polem skośnym). Przemienny pierścień podziału nazywany jest polem . Na przykład grupa jednostek pola liczb rzeczywistych R to R - {0 }.

Liczby całkowite

W pierścieniu liczb całkowitych Z jedynymi jednostkami są 1 i −1 .

Pierścień liczb całkowitych w polu numeru może mieć więcej jednostek w ogóle. Na przykład w ringu Z [ 1 + √ 5 / 2 ], która powstaje w wyniku dołączenia do kwadratowej liczby całkowitej 1 + √ 5 / 2 do Z , jeden ma

( √ 5 + 2) ( √ 5 - 2) = 1

w pierścieniu, więc √ 5 + 2 to jednostka. (W rzeczywistości grupa jednostek tego pierścienia jest nieskończona).

W rzeczywistości twierdzenie Dirichleta o jednostkach opisuje dokładnie strukturę U ( R ) : jest izomorficzna z grupą postaci

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {n} \ oplus \ mu _ {R}}$

gdzie jest (skończona, cykliczna) grupa pierwiastków jedności w R i n , pozycja grupy jednostek jest ${\ displaystyle \ mu _ {R}}$

${\ Displaystyle n = r_ {1} + r_ {2} -1,}$

gdzie są liczbami rzeczywistymi zanurzeń i liczbę par złożonych zanurzeń z F , odpowiednio,. ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$

To odzyskuje powyższy przykład: grupa jednostek (pierścienia liczb całkowitych) rzeczywistego pola kwadratowego jest nieskończona o randze 1, ponieważ . ${\ Displaystyle r_ {1} = 2, r_ {2} = 0}$

W pierścień Z / n Z o całkowitych modulo n , jednostki są klasy identyczność (mod n ) za pomocą liczb całkowitych względnie pierwsze do n . Stanowią multiplikatywną grupę liczb całkowitych modulo n .

Wielomiany i szeregi potęgowe

Dla pierścienia przemiennego R jednostkami pierścienia wielomianowego R [ x ] są dokładnie te wielomiany

${\ Displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + \ kropki a_ {n} x ^ {n}}$

tak, że to urządzenie w R , a pozostałe współczynniki są nilpotent elementy, to znaczy spełniają jakiegoś N . W szczególności, gdy R jest domeną (nie ma dzielnik zera ), a następnie jednostki R [ x ] zgadza się z tymi, z R . Jednostki pierścienia serii potęgowej są dokładnie tymi seriami potęgowymi ${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle a_ {1}, \ kropki, a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {i} ^ {N} = 0}$ ${\ displaystyle R [[x]]}$

${\ Displaystyle p (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} x ^ {i}}$

tak, że to urządzenie do badania . ${\ displaystyle a_ {0}}$

Pierścienie Matrix

Grupa jednostka pierścienia M _n ( R ) z n  x  n macierzy nad pierścieniem R oznacza grupę GL _N ( R ) z odwracalnych macierzy . Do pierścienia przemiennego R , element A z M _n ( R ) jest odwracalna, wtedy i tylko wtedy, gdy czynnikiem decydującym o A jest odwracalna w R . W takim przypadku A ⁻¹ jest wyraźnie określone przez regułę Cramera .

Ogólnie

Dla elementów x i y w pierścieniu R , jeśli jest odwracalny, to jest odwracalny z odwrotnością . Wzór na odwrotność można odgadnąć, ale nie udowodnić, za pomocą następującego obliczenia w pierścieniu nieprzemiennych szeregów potęgowych: ${\ displaystyle 1-xy}$${\ displaystyle 1-yx}$${\ Displaystyle 1 + y (1-xy) ^ {- 1} x}$

${\ Displaystyle (1-yx) ^ {- 1} = \ suma _ {n \ geq 0} (yx) ^ {n} = 1 + y \ lewo (\ suma _ {n \ geq 0} (xy) ^ {n} \ right) x = 1 + y (1-xy) ^ {- 1} x.}$

Zobacz tożsamość Hua, aby uzyskać podobne wyniki.

Grupa jednostek

Jednostki pierścienia R tworzą grupę U ( R ) pod mnożenia z grupy jednostek o R .

Inne popularne oznaczenia U ( R ) to R ^∗ , R ^× i E ( R ) (z niemieckiego terminu Einheit ).

Przemienne pierścieniem jest pierścień lokalny jeśli R - U ( R ), to ilość idealny .

Jak się okazuje, jeśli R - U ( R ) jest ideałem, to z konieczności jest to ideał maksymalny, a R jest lokalny, ponieważ ideał maksymalny jest rozłączny od U ( R ) .

Jeśli R jest ciałem skończonym , to U ( R ) jest cykliczną grupą rzędu . ${\ displaystyle | R | -1}$

Sformułowanie grupy jednostek definiuje funktor U z kategorii pierścieni do kategorii grup :

każdy homomorfizm pierścieniowy f  : R → S wywołuje homomorfizm grupowy U ( f ): U ( R ) → U ( S ) , ponieważ f mapuje jednostki na jednostki.

Ten funktor ma lewe sprzężenie, które jest integralną konstrukcją pierścienia grupowego .

Schemat grupa jest izomorficzny w multiplikatywnej Schemat grup na każdej podstawy, więc dla każdej przemiennej pierścienia R , grupy i są kanonicznej izomorficzna . Zauważ, że funktor (to znaczy ) jest reprezentowalny w tym sensie: dla pierścieni przemiennych R (wynika to na przykład ze wspomnianej wcześniej relacji sprzężonej z konstrukcją pierścienia grupowego). Wyraźnie oznacza to, że istnieje naturalny bijekcja między zbiorem homomorfizmów pierścienia a zbiorem elementów jednostkowych R (w przeciwieństwie do grupy addytywnej , funktor zapominalski z kategorii pierścieni przemiennych do kategorii grup abelowych). ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m.}}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {1} (R)}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m.} (R)}$${\ Displaystyle U (R)}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m.}}$${\ Displaystyle R \ mapsto U (R)}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m.} (R) \ simeq \ operatorname {Hom} (\ mathbb {Z} [t, t ^ {- 1}], R)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [t, t ^ {- 1}] \ do R}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [t]}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$

Skojarzenie

Załóżmy, że R jest przemienna. Elementy r i s z R są nazywane kojarzy jeśli istnieje jednostkę u w R w taki sposób, R = us ; następnie napisz r ∼ s . W każdym pierścieniu pary addytywnych odwrotnych elementów x i - x są skojarzone . Na przykład, 6 -6 jest stowarzyszona z Z . Na ogół, ~ jest stosunek równoważności na badania .

Associatedness można opisać pod względem działania z U ( R ) z R za pomocą mnożenia: dwa elementy R mają status, jeżeli są one w taki sam U ( R ) - orbicie .

W dziedzinie integralnej zbiór asocjatów danego niezerowego elementu ma taką samą liczność jak U ( R ) .

Relacja równoważności ~ może być postrzegana jako jednego z Relacje Greena półgrupa wyspecjalizowanych do multiplikatywnego półgrupa przemiennej pierścienia R .

Zobacz też

• Jednostki S.
• Lokalizacja pierścienia i modułu

Uwagi

Cytaty

Źródła