Zmienna (matematyka) - Variable (mathematics)
W matematyce , o zmiennej jest symbolem, który działa jako zastępczy dla ekspresji lub ilościach , które mogą zmieniać lub zmiany; jest często używany do reprezentowania argumentu funkcji lub dowolnego elementu zestawu . Oprócz liczb , zmienne są powszechnie używane do reprezentowania wektorów , macierzy i funkcji .
Wykonywanie obliczeń algebraicznych ze zmiennymi tak, jakby były jawnymi liczbami, pozwala rozwiązać szereg problemów w jednym obliczeniu. Typowym przykładem jest wzór kwadratowy , który pozwala rozwiązać każde równanie kwadratowe — po prostu zastępując wartości liczbowe współczynników danego równania zmiennymi, które je reprezentują.
W logice matematycznej , o zmiennej jest albo symbol reprezentujący nieokreślony termin teorii (czyli meta-zmienna ) lub podstawowym celem teorii-który jest manipulowany bez odwoływania się do jego ewentualnego intuicyjnej interpretacji.
Etymologia
„Zmienna” pochodzi od łacińskiego słowa variābilis , gdzie „ vari(us) ” oznacza „różny”, a „ -ābilis ” oznacza „-zdolny”, co oznacza „zdolny do zmiany”.
Geneza i ewolucja koncepcji
W VII wieku Brahmagupta używał różnych kolorów do przedstawiania niewiadomych w równaniach algebraicznych w Brahmasphuṭasiddhāncie . Jedna sekcja tej książki nosi tytuł „Równania kilku kolorów”.
Pod koniec XVI wieku François Viète przedstawił ideę reprezentowania znanych i nieznanych liczb za pomocą liter, obecnie nazywanych zmiennymi, oraz ideę obliczania z nimi tak, jakby były liczbami — w celu uzyskania wyniku przez proste zastąpienie. Konwencja Viète'a polegała na używaniu spółgłosek dla znanych wartości i samogłosek dla niewiadomych.
W 1637 roku René Descartes „wymyślił konwencję przedstawiania niewiadomych w równaniach przez x , y i z oraz znane przez a , b i c ”. W przeciwieństwie do konwencji Viète'a, Kartezjusz jest nadal powszechnie używany. Historia litery x w matematyce została omówiona w artykule Scientific American z 1887 roku.
Począwszy od lat sześćdziesiątych XVII wieku, Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz niezależnie opracowali rachunek różniczkowy , który zasadniczo polega na badaniu, w jaki sposób nieskończenie mała zmiana zmiennej wielkości wywołuje odpowiednią zmianę innej wielkości, która jest funkcją pierwszej zmiennej. Prawie sto lat później Leonhard Euler ustalił terminologię rachunku różniczkowego i wprowadził notację y = f ( x ) dla funkcji f , jej zmiennej x i jej wartości y . Do końca XIX wieku słowo zmienna odnosiło się prawie wyłącznie do argumentów i wartości funkcji.
W drugiej połowie XIX wieku okazało się, że podstawa rachunku nieskończenie małych nie była wystarczająco sformalizowana, aby poradzić sobie z pozornymi paradoksami, takimi jak nigdzie różniczkowalna funkcja ciągła . Aby rozwiązać ten problem, Karl Weierstrass wprowadził nowy formalizm polegający na zastąpieniu intuicyjnego pojęcia granicy definicją formalną. Starsze pojęcie granicy brzmiało: „kiedy zmienna x zmienia się i dąży do a , wtedy f ( x ) dąży do L ”, bez dokładnej definicji „tendencji”. Weierstrass zastąpił to zdanie formułą
w którym żadna z pięciu zmiennych nie jest uważana za zmienną.
To statyczne sformułowanie doprowadziło do nowoczesnego pojęcia zmiennej, która jest po prostu symbolem reprezentującym obiekt matematyczny, który albo jest nieznany, albo może być zastąpiony przez dowolny element danego zbioru (np. zbiór liczb rzeczywistych ).
Specyficzne rodzaje zmiennych
Często zmienne odgrywają różne role w tym samym wzorze matematycznym, a dla ich rozróżnienia wprowadzono nazwy lub kwalifikatory. Na przykład ogólne równanie sześcienne
jest interpretowana jako mająca pięć zmiennych: cztery, a , b , c , d , które są przyjmowane jako liczby, a piąta zmienna, x , jest rozumiana jako liczba nieznana . Aby je rozróżnić, zmienną x nazywamy nieznaną , a pozostałe zmienne nazywamy parametrami lub współczynnikami , a czasem stałymi , chociaż ta ostatnia terminologia jest niepoprawna dla równania i powinna być zarezerwowana dla funkcji zdefiniowanej po lewej stronie tego równania.
W kontekście funkcji termin zmienna odnosi się powszechnie do argumentów funkcji. Zwykle dzieje się tak w zdaniach takich jak " funkcja zmiennej rzeczywistej " , " x jest zmienną funkcji f : x ↦ f ( x ) " , " f jest funkcją zmiennej x " ( co oznacza, że argument do funkcji odwołuje się zmienna x ).
W tym samym kontekście zmienne niezależne od x definiują funkcje stałe i dlatego nazywane są stałymi . Na przykład stała całkowania jest arbitralną stałą funkcją, która jest dodawana do określonej funkcji pierwotnej w celu uzyskania innych funkcji pierwotnych. Ze względu na silny związek między wielomianami a funkcją wielomianową , termin „stała” jest często używany do oznaczenia współczynników wielomianu, które są stałymi funkcjami nieokreślonych.
To użycie „stałej” jako skrótu „funkcji stałej” należy odróżnić od normalnego znaczenia tego słowa w matematyce. Stały lub stała jest dobrze i jednoznacznie zdefiniowany numer lub inny obiekt matematyczne, jak, na przykład, liczby 0, 1, π i element neutralny z grupy .
Inne specyficzne nazwy zmiennych to:
- Nieznany jest zmienną w równaniu , który musi być rozwiązany za.
- Nieokreślony jest symbolem, powszechnie nazywane zmienna, że pojawia się w wielomian lub formalnego szeregu potęgowego . Formalnie rzecz biorąc, nieokreślony nie jest zmienną, lecz stałą w pierścieniu wielomianowym lub pierścieniu formalnego szeregu potęgowego . Jednak ze względu na silny związek między wielomianami lub szeregami potęgowymi a funkcjami, które one definiują, wielu autorów uważa nieokreślone za szczególny rodzaj zmiennych.
- Parametrem jest ilość (zwykle numer), który jest częścią wkładu problemu i pozostaje stała podczas całego rozwiązania tego problemu. Na przykład w mechanice masa i wielkość ciała stałego są parametrami do badania jego ruchu. W informatyce , parametr ma inne znaczenie i oznacza argument funkcji.
- Zmienne swobodne i zmienne związane
- Zmienna losowa jest rodzajem zmiennej, która jest stosowana w teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań.
Wszystkie te nazwy zmiennych mają charakter semantyczny , a sposób ich obliczania ( składnia ) jest dla wszystkich taki sam.
Zmienne zależne i niezależne
W rachunku różniczkowym i jego zastosowaniu do fizyki i innych nauk dość powszechne jest rozważanie zmiennej, powiedzmy y , której możliwe wartości zależą od wartości innej zmiennej, powiedzmy x . W terminologii matematycznej zależne zmienne Y reprezentuje wartość zależności od x . Aby uprościć formuły, często przydatne jest użycie tego samego symbolu dla zmiennej zależnej y i funkcji mapującej x na y . Na przykład stan systemu fizycznego zależy od mierzalnych wielkości, takich jak ciśnienie , temperatura , położenie przestrzenne, ... i wszystkie te wielkości zmieniają się, gdy system ewoluuje, to znaczy są funkcją czasu. We wzorach opisujących system wielkości te są reprezentowane przez zmienne zależne od czasu, a więc traktowane w sposób dorozumiany jako funkcje czasu.
Dlatego we wzorze zmienna zależna jest zmienną, która jest domyślnie funkcją innej (lub kilku innych) zmiennych. Zmienną niezależną jest zmienną, która nie jest uzależniona.
Właściwość zależnej lub niezależnej zmiennej często zależy od punktu widzenia i nie jest samoistna. Na przykład w zapisie f ( x , y , z ) wszystkie trzy zmienne mogą być niezależne, a zapis reprezentuje funkcję trzech zmiennych. Z drugiej strony, jeśli y i z zależą od x (są zmiennymi zależnymi ), to zapis reprezentuje funkcję pojedynczej zmiennej niezależnej x .
Przykłady
Jeśli zdefiniujemy funkcję f od liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych przez
wtedy x jest zmienną reprezentującą argument definiowanej funkcji, którym może być dowolna liczba rzeczywista.
W tożsamości
zmienna i jest zmienną sumującą, która wyznacza kolejno każdą z liczb całkowitych 1, 2, ..., n (nazywa się ją również indeksem, ponieważ jej zmienność dotyczy dyskretnego zbioru wartości), podczas gdy n jest parametrem (nie różnią się w obrębie formuły).
W teorii wielomianów wielomian stopnia 2 jest ogólnie oznaczany jako ax 2 + bx + c , gdzie a , b i c nazywane są współczynnikami (przyjmuje się, że są one stałe, tj. parametry rozpatrywanego problemu), podczas gdy x jest nazywana zmienną. Po przestudiowaniu tego wielomianu dla jego funkcji wielomianowej to x oznacza argument funkcji. Podczas badania wielomianu jako obiektu samego w sobie x jest uważane za nieokreślone i często jest pisane wielką literą, aby wskazać ten status.
Notacja
W matematyce zmienne są na ogół oznaczane pojedynczą literą. Jednak po tej literze często występuje indeks dolny, jak w x 2 , a indeks ten może być liczbą, inną zmienną ( x i ), słowem lub skrótem słowa ( x in i x out ), a nawet wyrażenie matematyczne . Pod wpływem informatyki można spotkać w czystej matematyce nazwy zmiennych składające się z kilku liter i cyfr.
Za XVII-wiecznym francuskim filozofem i matematykiem René Descartesem litery na początku alfabetu, np. a , b , c są powszechnie używane dla znanych wartości i parametrów, a litery na końcu alfabetu, np. x , y , z , it są powszechnie używane dla niewiadomych i zmiennych funkcji. W matematyce drukowanej normą jest ustawianie zmiennych i stałych kursywą .
Na przykład ogólna funkcja kwadratowa jest konwencjonalnie zapisywana jako:
gdzie a , b i c są parametrami (nazywanymi również stałymi, ponieważ są funkcjami stałymi ), podczas gdy x jest zmienną funkcji. Bardziej jednoznacznym sposobem oznaczenia tej funkcji jest
co sprawia, że status funkcji-argumentu x jest jasny, a tym samym niejawnie stały status a , b i c . Ponieważ c występuje w wyrażeniu będącym funkcją stałą od x , nazywamy to wyrazem stałym .
Określone gałęzie i zastosowania matematyki mają zwykle określone konwencje nazewnictwa zmiennych. Zmiennym o podobnych rolach lub znaczeniach często przypisuje się kolejne litery. Na przykład trzy osie w przestrzeni współrzędnych 3D są konwencjonalnie nazywane x , y i z . W fizyce nazwy zmiennych są w dużej mierze zdeterminowane przez opisywaną przez nie wielkość fizyczną , ale istnieją różne konwencje nazewnictwa. Konwencja często stosowana w prawdopodobieństwie i statystyce polega na używaniu X , Y , Z dla nazw zmiennych losowych , zachowując x , y , z dla zmiennych reprezentujących odpowiadające im wartości rzeczywiste.
Istnieje wiele innych zastosowań notacyjnych. Zwykle zmienne, które pełnią podobną rolę, są reprezentowane przez kolejne litery lub przez tę samą literę z innym indeksem dolnym . Poniżej znajdują się niektóre z najczęstszych zastosowań.
- , b , c i d (czasami rozszerzone e i f ) często stanowią parametry lub współczynniki .
- a 0 , a 1 , a 2 , ... odgrywają podobną rolę, gdy w innym przypadku potrzeba byłoby zbyt wiele różnych liter.
- a i lub u i są często używane do oznaczenia i-tego wyrazu ciągu lub i-tego współczynnika szeregu .
- f i g (czasami h ) zwykle oznaczają funkcje .
- i , j i k (czasami l lub h ) są często używane do oznaczania różnych liczb całkowitych lub indeksów w indeksowanej rodzinie . Mogą być również używane do oznaczania wektorów jednostkowych .
- l i w są często używane do reprezentowania długości i szerokości figury.
- l służy również do oznaczenia linii. W teorii liczb l często oznacza liczbę pierwszą nie równą p .
-
n zwykle oznacza stałą liczbę całkowitą, taką jak liczba obiektów lub stopień równania .
- Gdy potrzebne są dwie liczby całkowite, na przykład dla wymiarów macierzy , zwykle używa się m i n .
- p często oznacza liczby pierwsze lub prawdopodobieństwo .
- q często oznacza potęgę pierwszą lub iloraz
- r często oznacza promień , resztę lub współczynnik korelacji .
- t często oznacza czas .
- x , y i z zwykle oznaczają trzy współrzędne kartezjańskie punktu w geometrii euklidesowej . Co za tym idzie, są one używane do nazywania odpowiednich osi .
- z zwykle oznacza liczbę zespoloną lub, w statystyce, normalną zmienną losową .
- α , β , γ , θ i φ zwykle oznaczają miary kąta .
-
ε zwykle reprezentuje dowolnie małą liczbę dodatnią.
- ε i δ zwykle oznaczają dwa małe pozytywy.
- λ jest używane do wartości własnych .
- σ często oznacza sumę lub, w statystyce, odchylenie standardowe .
- μ często oznacza średnią .
- π jest używane dla pi .
Zobacz też
- Stała integracji
- Stały wyraz wielomianu
- Zmienne swobodne i zmienne powiązane ( zmienne powiązane są również nazywane zmiennymi fikcyjnymi)
- Nieokreślony (zmienny)
- Rachunek lambda
- Wyrażenie matematyczne
- Obserwowana zmienna
- Stała fizyczna
- Zmienna (informatyka)
Bibliografia
- J. Edwardsa (1892). Rachunek różniczkowy . Londyn: MacMillan and Co. s. 1 ff.
- Karl Menger, „O zmiennych w matematyce i naukach przyrodniczych”, The British Journal for the Philosophy of Science 5 :18:134–142 (sierpień 1954) JSTOR 685170
- Jaroslav Peregrin, Zmienne w języku naturalnym: skąd się biorą?, w: M. Boettner, W. Thümmel, red., Variable-Free Semantics , 2000, s. 46–65.
- WV Quine , „ Variables Explained Away ”, Proceedings of the American Philosophical Society 104 :343-347 (1960).