Dekompozycja wariancji błędów prognozy - Variance decomposition of forecast errors

W ekonometrii i innych zastosowaniach wielowymiarowej analizy szeregów czasowych , dekompozycja wariancji lub dekompozycja wariancji błędu prognozy ( FEVD ) jest wykorzystywana do pomocy w interpretacji modelu wektorowej autoregresji (VAR) po jego dopasowaniu. Wariancji rozkładu wskazuje na ilość informacji, każda zmienna przyczynia się do innych zmiennych w autoregresji. Określa, jaka część wariancji błędu prognozy każdej ze zmiennych może być wyjaśniona przez egzogeniczne szoki dla pozostałych zmiennych.

Obliczanie wariancji błędu prognozy

Dla VAR (p) formy

${\ Displaystyle y_ {t} = \ nu + A_ {1} y_ {t-1} + \ kropki + A_ {p} y_ {tp} + u_ {t}}$ .

Można to zmienić na strukturę VAR(1), zapisując ją w formie towarzyszącej (patrz ogólna notacja macierzowa VAR(p))

${\ Displaystyle Y_ {t} = V + AY_ {t-1} + U_ {t}}$ gdzie

${\ Displaystyle A = {\ zacząć {bmatrix} A_ {1} i A_ {2} i \ kropki i A_ {p-1} i A_ {p} \ \ \ mathbf {I} _ {k} i 0 i \ kropki i 0 i 0 \ \ 0 i \mathbf {I} _{k}&&0&0\\\vkropki &&\dkropki &\vkropki &\vkropki \\0&0&\kropki &\mathbf {I} _{k}&0\\\end{bmatrix}}}$, , I${\ Displaystyle Y = {\ zacząć {bmatrix} Y_ {1} \ \ \ vdots \ \ y_ {p} \ koniec {bmatrix}}}$${\ Displaystyle V = {\ zacząć {bmatrix} \ nu \ \ 0 \ \ \ vdots \ \ 0 \ koniec {bmatrix}}}$${\ Displaystyle U_ {t} = {\ zacząć {bmatrix} u_ {t} \ \ 0 \ \ \ vdots \ \ 0 \ koniec {bmatrix}}}$

gdzie , i są wymiarowych wektorów kolumny, jest w matrycy o wymiarach i , i są wymiarowych wektorów kolumny. ${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle \nu}$${\ Displaystyle u}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle kp}$${\displaystyle kp}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle U}$${\displaystyle kp}$

Błąd średniokwadratowy prognozy h-krokowej zmiennej wynosi ${\displaystyle j}$

${\ Displaystyle \ mathbf {MSE} [y_ {j, t} (h)] = \ suma _ {i = 0} ^ {h-1} \ suma _ {l = 1} ^ {k} (e_ {j }'\Theta _{i}e_{l})^{2}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Theta _{i}\Theta _{i}' {\bigg )}_{jj}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Phi _{i}\Sigma _{u}\Phi _{i}'{\ duży )}_{jj},}$

oraz gdzie

• ${\displaystyle e_{j}}$jest j- ^tą kolumną, a indeks dolny odnosi się do tego elementu macierzy${\ Displaystyle I_ {k}}$${\displaystyle jj}$

• ${\ Displaystyle \ Theta _ {i} = \ Phi _ {i} P}$gdzie oznacza niższy macierzy trójkątnej otrzymuje się Choleskiego rozkładu w taki sposób, że , w którym jest macierzą kowariancji błędów ${\displaystyle P}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {u}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {u} = PP'}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {u}}$${\displaystyle u_{t}}$

• ${\ Displaystyle \ Phi _ {i} = JA_ {i} J ',}$w którym tak, że znajduje się w matrycy wymiarowej.${\ Displaystyle J = {\ zacząć {bmatrix} \ mathbf {ja} _ {k} i 0 i \ kropki i 0 \ koniec {bmatrix}}}$${\ Displaystyle J}$${\displaystyle k}$${\displaystyle kp}$

Wielkość błędu prognozy wariancji zmiennej rozliczanej przez szoki egzogeniczne na zmienną wyraża się wzorem${\displaystyle j}$${\displaystyle l}$${\ Displaystyle \ omega _ {jl, h},}$

${\ Displaystyle \ omega _ {jl, h} = \ suma _ {i = 0} ^ {h-1} (e_ {j} '\ Theta _ {i} e_ {l}) ^ {2}/MSE [ y_{j,t}(h)].}$

Zobacz też

• Analiza wariancji

Uwagi