Wierzchołek (geometria) - Vertex (geometry)

W geometrii , A wierzchołek (w liczbie mnogiej: wierzchołków lub wierzchołków ), często oznaczone literami, takie jak , , , , to punkt , w którym dwa lub więcej krzywe , linie lub krawędzie końcem. W konsekwencji tej definicji punkt, w którym dwie linie spotykają się, tworząc kąt oraz rogi wielokątów i wielościanów są wierzchołkami.

Definicja

Pod kątem

Wierzchołek kąta jest punktem końcowym, w którym spotykają się dwie linie lub promienie.

Wierzchołkiem o kącie jest punkt, w którym dwa promienie rozpoczęcia lub spełniać, gdzie dwa odcinki przyłączenia lub z końcem, w którym obie linie przecinają (cross) lub jakiejkolwiek odpowiedniej kombinacji promieniowania, segmenty i linii, które prowadzą do dwóch prostych „bok” spełniających w jednym miejscu.

Politopu

Wierzchołek jest punktem narożnik wielokąta , wielościanów lub inne wyższe wymiary Polytope utworzona przez przecięcie na krawędzi , powierzchni lub aspekty przedmiotu.

W wielokącie wierzchołek nazywany jest „ wypukłym ”, jeśli kąt wewnętrzny wielokąta (tj. kąt utworzony przez dwie krawędzie w wierzchołku z wielokątem wewnątrz kąta) jest mniejszy niż π radianów (180°, dwa kąty proste ); w przeciwnym razie nazywa się to „wklęsłym” lub „odruchowym”. Bardziej ogólnie, wierzchołek wielościanu lub wielościanu jest wypukły, jeśli przecięcie wielościanu lub wielościanu z dostatecznie małą kulą wyśrodkowaną na wierzchołku jest wypukłe, a w przeciwnym razie jest wklęsłe.

Wierzchołki Polytope są powiązane z wierzchołkami grafów , w tym że 1-szkielet polytope jest grafem, którego wierzchołki odpowiadają wierzchołkom polytope, a graf może być postrzegany jako jednowymiarowy kompleks simplicjalny których wierzchołki są wierzchołkami grafu.

Jednak w teorii grafów wierzchołki mogą mieć mniej niż dwie krawędzie padające, co zwykle nie jest dozwolone w przypadku wierzchołków geometrycznych. Istnieje również związek między wierzchołkami geometrycznymi a wierzchołkami krzywej , jej punktami o skrajnej krzywiźnie: w pewnym sensie wierzchołki wielokąta są punktami o nieskończonej krzywiźnie, a jeśli wielokąt jest aproksymowany krzywą gładką, będzie punkt skrajnej krzywizny w pobliżu każdego wierzchołka wielokąta. Jednak aproksymacja gładkiej krzywej do wielokąta będzie miała również dodatkowe wierzchołki w punktach, w których jego krzywizna jest minimalna.

Dachówka samolotu

Wierzchołek płytki lub teselacji płaszczyzny to punkt, w którym spotykają się trzy lub więcej płytek; ogólnie, ale nie zawsze, kafelki teselacji są wielokątami, a wierzchołki teselacji są również wierzchołkami kafelków. Bardziej ogólnie, teselację można postrzegać jako rodzaj topologicznego kompleksu komórkowego , podobnie jak ściany wielościanu lub wielościanu; wierzchołki innych rodzajów kompleksów, takich jak kompleksy symplicjalne, są jego zerowymiarowymi ścianami.

Główny wierzchołek

Wierzchołek B to ucho, ponieważ odcinek otwartej linii między C i D znajduje się całkowicie wewnątrz wielokąta. Wierzchołek C to usta, ponieważ otwarty segment linii między A i B znajduje się całkowicie poza wielokątem.

Wierzchołek wielokąta x i prostego wielokąta P jest głównym wierzchołkiem wielokąta, jeśli przekątna [ x (i − 1) , x (i + 1) ] przecina granicę P tylko w x (i − 1) i x (i + 1) . Istnieją dwa rodzaje głównych wierzchołków: uszy i usta .

Uszy

Główny wierzchołek x i prostego wielokąta P nazywamy uchem, jeśli przekątna [ x (i − 1) , x (i + 1) ] łącząca x i leży całkowicie w P . (zobacz także wielokąt wypukły ) Zgodnie z twierdzeniem o dwóch uszach , każdy prosty wielokąt ma co najmniej dwoje uszu.

Usta

Główny wierzchołek x i prostego wielokąta P nazywamy ustami, jeśli przekątna [ x (i − 1) , x (i + 1) ] leży poza granicą P .

Liczba wierzchołków wielościanu

Każda wypukła powierzchnia wielościanu ma charakterystykę Eulera

gdzie V to liczba wierzchołków, E to liczba krawędzi , a F to liczba ścian . To równanie jest znane jako wzór wielościanu Eulera . Tak więc liczba wierzchołków jest o 2 większa niż nadmiar liczby krawędzi nad liczbą ścian. Na przykład, ponieważ sześcian ma 12 krawędzi i 6 ścian, formuła sugeruje, że ma 8 wierzchołków.

Wierzchołki w grafice komputerowej

W grafice komputerowej obiekty są często przedstawiane jako trójkątne wielościany, w których wierzchołki obiektu są powiązane nie tylko z trzema współrzędnymi przestrzennymi, ale także z innymi informacjami graficznymi niezbędnymi do prawidłowego renderowania obiektu, takimi jak kolory, właściwości odbicia , tekstury i normalna powierzchni ; właściwości te są używane podczas renderowania przez Vertex Shader , część potoku wierzchołków .

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki