Wibracje -Vibration

Drgania są zjawiskiem mechanicznym, w wyniku którego występują oscylacje wokół punktu równowagi . Słowo to pochodzi od łacińskiego „ vibrationem” („potrząsanie, wymachiwanie”). Oscylacje mogą być okresowe , jak ruch wahadła, lub przypadkowe , jak ruch opony na szutrowej drodze.

Wibracje mogą być pożądane: na przykład ruch kamertonu , stroik w instrumencie dętym drewnianym lub harmonijce ustnej , telefon komórkowy lub stożek głośnika .

Jednak w wielu przypadkach wibracje są niepożądane, marnują energię i generują niepożądany dźwięk . Na przykład ruchy wibracyjne silników , silników elektrycznych lub jakichkolwiek działających urządzeń mechanicznych są zwykle niepożądane. Takie wibracje mogą być spowodowane niewyważeniem obracających się części, nierównym tarciem lub zazębieniem się zębów przekładni . Staranne projekty zwykle minimalizują niepożądane wibracje.

Badania dźwięku i wibracji są ze sobą ściśle powiązane. Fale dźwiękowe lub fale ciśnieniowe są generowane przez wibrujące struktury (np. struny głosowe ); te fale ciśnienia mogą również wywoływać wibracje struktur (np. błony bębenkowej ). Stąd próby redukcji hałasu często wiążą się z kwestiami drgań.

Jeden z możliwych trybów drgań okrągłego bębna (zobacz inne tryby ).
Zawieszenie samochodu: Projektowanie tłumienia drgań jest podejmowane w ramach inżynierii akustycznej , motoryzacyjnej lub mechanicznej .

Drgania obróbcze są powszechne w procesie wytwarzania subtraktywnego .

typy

Drgania swobodne występują, gdy system mechaniczny jest wprawiany w ruch z początkowym wejściem i pozwala się mu swobodnie wibrować. Przykładami tego rodzaju wibracji jest odciąganie dziecka na huśtawce i puszczanie go lub uderzanie kamertonem i pozwalanie mu dzwonić. Układ mechaniczny wibruje z jedną lub kilkoma częstotliwościami drgań własnych i tłumi , aż do bezruchu.

Drgania wymuszone występują, gdy do układu mechanicznego przykładane jest zmienne w czasie zaburzenie (obciążenie, przemieszczenie, prędkość lub przyspieszenie). Zakłócenie może być wejściem okresowym i ustalonym, wejściem przejściowym lub wejściem losowym. Wejście okresowe może być zaburzeniem harmonicznym lub nieharmonicznym. Przykładami tego rodzaju wibracji są drgania pralki spowodowane niewyważeniem, drgania transportowe powodowane przez silnik lub nierówną drogę lub drgania budynku podczas trzęsienia ziemi. W układach liniowych częstotliwość odpowiedzi drganiowej w stanie ustalonym, wynikająca z zastosowania okresowego, harmonicznego sygnału wejściowego, jest równa częstotliwości przyłożonej siły lub ruchu, przy czym wielkość odpowiedzi zależy od rzeczywistego układu mechanicznego.

Drgania tłumione: gdy energia układu wibracyjnego jest stopniowo rozpraszana przez tarcie i inne opory, mówi się, że drgania są tłumione. Wibracje stopniowo zmniejszają się lub zmieniają częstotliwość lub intensywność lub ustają, a system spoczywa w pozycji równowagi. Przykładem tego typu drgań jest zawieszenie pojazdu tłumione przez amortyzator .

Izolacja

Izolacja drgań to proces izolowania obiektu, takiego jak element wyposażenia, od źródła drgań.

Wibracje są niepożądane w wielu dziedzinach, głównie w systemach inżynieryjnych i przestrzeniach mieszkalnych, dlatego opracowano metody zapobiegające przenoszeniu wibracji na takie systemy. Drgania rozchodzą się za pośrednictwem fal mechanicznych, a niektóre połączenia mechaniczne przewodzą drgania wydajniej niż inne. Pasywna izolacja drgań wykorzystuje materiały i połączenia mechaniczne, które pochłaniają i tłumią te fale mechaniczne. Aktywna izolacja drgań obejmuje czujniki i siłowniki, które wytwarzają zakłócające zakłócenia, które eliminują dochodzące wibracje.

Testowanie

Testy wibracyjne wykonuje się poprzez wprowadzenie funkcji wymuszenia do konstrukcji, zwykle za pomocą pewnego rodzaju wstrząsarki. Alternatywnie, DUT (testowane urządzenie) jest przymocowane do „stołu” wytrząsarki. Testy wibracyjne są przeprowadzane w celu zbadania reakcji testowanego urządzenia (DUT) na określone środowisko wibracyjne. Zmierzoną reakcją może być zdolność do funkcjonowania w środowisku wibracyjnym, trwałość zmęczeniowa, częstotliwości rezonansowe lub dźwięk pisku i grzechotania ( NVH ). Testy pisków i grzechotania są przeprowadzane za pomocą specjalnego rodzaju cichej wytrząsarki , która podczas pracy wytwarza bardzo niski poziom hałasu.

Do wymuszania stosunkowo niskich częstotliwości (zwykle poniżej 100 Hz) stosuje się wytrząsarki serwohydrauliczne (elektrohydrauliczne). W przypadku wyższych częstotliwości (zwykle od 5 Hz do 2000 Hz) stosuje się wstrząsarki elektrodynamiczne. Ogólnie rzecz biorąc, jeden lub więcej punktów „wejściowych” lub „kontrolnych” znajdujących się po stronie DUT urządzenia wibracyjnego jest utrzymywanych z określonym przyspieszeniem. Inne punkty „reakcji” mogą doświadczać wyższych poziomów wibracji (rezonans) lub niższych poziomów wibracji (antyrezonans lub tłumienie) niż punkty kontrolne. Często pożądane jest osiągnięcie antyrezonansu, aby system nie stał się zbyt głośny lub aby zmniejszyć obciążenie niektórych części z powodu trybów wibracji powodowanych przez określone częstotliwości wibracji.

Najczęstsze rodzaje usług testowania wibracji przeprowadzanych przez laboratoria testujące wibracje są sinusoidalne i losowe. Testy sinusoidalne (jedna częstotliwość na raz) są wykonywane w celu zbadania odpowiedzi strukturalnej testowanego urządzenia (DUT). We wczesnej historii testów wibracyjnych sterowniki maszyn wibracyjnych były ograniczone tylko do kontrolowania ruchu sinusoidalnego, więc przeprowadzano tylko testy sinusoidalne. Później bardziej wyrafinowane kontrolery analogowe, a następnie cyfrowe były w stanie zapewnić sterowanie losowe (wszystkie częstotliwości jednocześnie). Ogólnie uważa się, że test losowy (wszystkie częstotliwości jednocześnie) dokładniej odwzorowuje rzeczywiste środowisko, takie jak dane wejściowe z drogi do poruszającego się samochodu.

Większość testów wibracyjnych przeprowadza się jednocześnie na „pojedynczej osi DUT”, mimo że większość rzeczywistych drgań występuje jednocześnie w różnych osiach. MIL-STD-810G, wydany pod koniec 2008 r., Metoda testowa 527, wymaga wielokrotnego testowania wzbudnicy. Uchwyt do testów wibracyjnych używany do mocowania badanego urządzenia do stołu wibracyjnego musi być zaprojektowany dla zakresu częstotliwości widma testu wibracyjnego. Trudno jest zaprojektować uchwyt do testów wibracyjnych, który powiela odpowiedź dynamiczną (impedancję mechaniczną) rzeczywistego używanego mocowania. Z tego powodu, aby zapewnić powtarzalność między testami wibracyjnymi, uchwyty wibracyjne są projektowane tak, aby były wolne od rezonansu w zakresie częstotliwości testowych. Ogólnie rzecz biorąc, w przypadku mniejszych urządzeń i niższych zakresów częstotliwości, projektant może dążyć do zaprojektowania urządzenia, które jest wolne od rezonansów w testowym zakresie częstotliwości. Staje się to trudniejsze, gdy DUT staje się większy i wraz ze wzrostem częstotliwości testowania. W takich przypadkach strategie sterowania wielopunktowego mogą złagodzić niektóre rezonanse, które mogą wystąpić w przyszłości.

Niektóre metody badań wibracyjnych ograniczają wielkość przesłuchu (ruch punktu odpowiedzi w kierunku wzajemnie prostopadłym do testowanej osi), jaki może wykazywać urządzenie do badań wibracyjnych. Urządzenia zaprojektowane specjalnie do śledzenia lub rejestrowania drgań nazywane są wibroskopami .

Analiza

Analiza drgań (VA), stosowana w środowisku przemysłowym lub konserwacyjnym, ma na celu zmniejszenie kosztów konserwacji i przestojów sprzętu poprzez wykrywanie usterek sprzętu. VA jest kluczowym elementem programu monitorowania stanu (CM) i jest często określana jako konserwacja predykcyjna (PdM). Najczęściej VA jest używany do wykrywania usterek w urządzeniach wirujących (wentylatory, silniki, pompy, skrzynie biegów itp.), takich jak niewyważenie, niewspółosiowość, uszkodzenia łożysk tocznych i warunki rezonansu.

VA może używać jednostek przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia wyświetlanych jako przebieg czasowy (TWF), ale najczęściej używane jest widmo pochodzące z szybkiej transformaty Fouriera TWF. Widmo drgań dostarcza ważnych informacji o częstotliwości, które mogą wskazać wadliwy element.

Podstawy analizy drgań można zrozumieć, studiując prosty model masa-sprężyna-tłumik . Rzeczywiście, nawet złożoną konstrukcję, taką jak nadwozie samochodu, można modelować jako „sumę” prostych modeli masa-sprężyna-amortyzator. Model masa-sprężyna-tłumik jest przykładem prostego oscylatora harmonicznego . Matematyka użyta do opisania jego zachowania jest identyczna jak w przypadku innych prostych oscylatorów harmonicznych, takich jak obwód RLC .

Uwaga: Ten artykuł nie obejmuje wyprowadzeń matematycznych krok po kroku, ale koncentruje się na głównych równaniach i koncepcjach analizy drgań. Proszę zapoznać się z odniesieniami na końcu artykułu, aby uzyskać szczegółowe wyprowadzenia.

Swobodne wibracje bez tłumienia

Prosty model sprężyny masowej

Aby rozpocząć badanie masy-sprężyny-tłumika, załóżmy, że tłumienie jest pomijalne i że do masy nie jest przyłożona żadna siła zewnętrzna (tj. drgania swobodne). Siła przyłożona do masy przez sprężynę jest proporcjonalna do stopnia rozciągnięcia sprężyny „x” (zakładając, że sprężyna jest już ściśnięta z powodu ciężaru masy). Stała proporcjonalności, k, jest sztywnością sprężyny i ma jednostki siły/odległości (np. lbf/in lub N/m). Znak ujemny wskazuje, że siła zawsze przeciwstawia się ruchowi przyczepionej do niej masy:

Siła generowana przez masę jest proporcjonalna do przyspieszenia masy zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona :

Suma sił działających na masę generuje następnie to równanie różniczkowe zwyczajne :

Prosty ruch harmoniczny układu masa-sprężyna

Zakładając, że inicjacja drgań rozpoczyna się od rozciągnięcia sprężyny o odległość A i zwolnienia, rozwiązaniem powyższego równania opisującego ruch masy jest:

To rozwiązanie mówi, że będzie oscylować prostym ruchem harmonicznym o amplitudzie A i częstotliwości f n . Liczbę fn nazywamy nietłumioną częstotliwością drgań własnych . Dla prostego układu masa-sprężyna f n definiuje się jako:

Uwaga: Częstotliwość kątowa ω (ω=2 π f ) wyrażona w radianach na sekundę jest często używana w równaniach, ponieważ upraszcza równania, ale zwykle jest konwertowana na zwykłą częstotliwość (jednostki Hz lub równoważne cykle na sekundę) przy podawaniu częstotliwość systemu. Jeśli znana jest masa i sztywność układu, powyższy wzór może określić częstotliwość, z jaką układ wibruje po wprawieniu w ruch przez początkowe zaburzenie. Każdy system wibracyjny ma jedną lub więcej częstotliwości drgań własnych, które wibruje jednocześnie zaburzone. Ta prosta zależność może być wykorzystana do ogólnego zrozumienia, co dzieje się z bardziej złożonym układem po dodaniu masy lub sztywności. Na przykład powyższy wzór wyjaśnia, dlaczego gdy samochód osobowy lub ciężarowy jest w pełni obciążony, zawieszenie wydaje się „bardziej miękkie” niż nieobciążone — masa wzrosła, zmniejszając częstotliwość drgań własnych układu.

Co powoduje wibracje układu: z punktu widzenia zachowania energii

Ruch wibracyjny można zrozumieć w kategoriach zachowania energii . W powyższym przykładzie sprężyna została rozciągnięta o wartość x i dlatego część energii potencjalnej ( ) jest w niej zmagazynowana. Po zwolnieniu sprężyna ma tendencję do powrotu do stanu nierozciągniętego (który jest stanem minimalnej energii potencjalnej) iw tym procesie przyspiesza masę. W momencie, gdy sprężyna osiągnęła stan nierozciągnięty, cała energia potencjalna, którą dostarczyliśmy przez jej rozciąganie, została przekształcona w energię kinetyczną ( ). Masa następnie zaczyna zwalniać, ponieważ teraz ściska sprężynę iw procesie przenosi energię kinetyczną z powrotem do swojego potencjału. Zatem oscylacja sprężyny sprowadza się do zamiany tam iz powrotem energii kinetycznej na energię potencjalną. W tym prostym modelu masa nadal oscyluje w nieskończoność z tą samą wielkością, ale w prawdziwym systemie tłumienie zawsze rozprasza energię, ostatecznie doprowadzając sprężynę do spoczynku.

Wibracje swobodne z tłumieniem

Model masa-sprężyna-tłumik

Po dodaniu do modelu amortyzatora „lepkiego”, powstaje siła proporcjonalna do prędkości masy. Tłumienie nazywa się lepkim, ponieważ modeluje działanie płynu w obiekcie. Stała proporcjonalności c nazywana jest współczynnikiem tłumienia i ma jednostki siły względem prędkości (lbf⋅s/in lub N⋅s/m).

Zsumowanie sił działających na masę daje następujące równanie różniczkowe zwyczajne:

Rozwiązanie tego równania zależy od wielkości tłumienia. Jeśli tłumienie jest wystarczająco małe, system nadal wibruje, ale z czasem przestaje wibrować. Ten przypadek nazywany jest niedotłumieniem, co jest ważne w analizie drgań. Jeśli tłumienie zostanie zwiększone tylko do punktu, w którym system już nie oscyluje, system osiągnął punkt tłumienia krytycznego . Jeśli tłumienie zostanie zwiększone powyżej tłumienia krytycznego, system jest przetłumiony . Wartość, jaką musi osiągnąć współczynnik tłumienia dla tłumienia krytycznego w modelu masa-sprężyna-tłumik wynosi:

Aby scharakteryzować wielkość tłumienia w systemie, stosuje się współczynnik zwany współczynnikiem tłumienia (znany również jako współczynnik tłumienia i % tłumienia krytycznego). Ten współczynnik tłumienia jest po prostu stosunkiem rzeczywistego tłumienia do wielkości tłumienia wymaganego do osiągnięcia tłumienia krytycznego. Wzór na współczynnik tłumienia ( ) modelu masa-sprężyna-amortyzator jest następujący:

Na przykład konstrukcje metalowe (np. kadłuby samolotów, wały korbowe silników) mają współczynniki tłumienia mniejsze niż 0,05, podczas gdy zawieszenia samochodowe mieszczą się w przedziale 0,2–0,3. Rozwiązanie układu niedotłumionego dla modelu masa-sprężyna-amortyzator jest następujące:

Drgania swobodne ze współczynnikiem tłumienia 0,1 i 0,3

Wartość X , początkowa wielkość i przesunięcie fazowe są określone przez stopień rozciągnięcia sprężyny. Wzory na te wartości można znaleźć w odnośnikach.

Tłumione i nietłumione częstotliwości naturalne

Głównymi punktami, na które należy zwrócić uwagę w rozwiązaniu, są wyraz wykładniczy i funkcja cosinus. Termin wykładniczy określa, jak szybko system „tłumi” – im większy współczynnik tłumienia, tym szybciej dochodzi do zera. Funkcja cosinus jest oscylującą częścią rozwiązania, ale częstotliwość oscylacji różni się od przypadku nietłumionego.

Częstotliwość w tym przypadku nazywana jest „tłumioną częstotliwością drgań własnych” i jest powiązana z nietłumioną częstotliwością drgań własnych za pomocą następującego wzoru:

Tłumiona częstotliwość drgań własnych jest mniejsza niż nietłumiona częstotliwość drgań własnych, ale w wielu praktycznych przypadkach współczynnik tłumienia jest stosunkowo mały, a zatem różnica jest pomijalna. Dlatego opis tłumiony i nietłumiony są często pomijane przy podawaniu częstotliwości drgań własnych (np. przy współczynniku tłumienia 0,1, tłumiona częstotliwość drgań własnych jest tylko o 1% mniejsza niż nietłumiona).

Wykresy obok pokazują, jak współczynniki tłumienia 0,1 i 0,3 wpływają na to, jak system „dzwoni” w czasie. W praktyce często wykonuje się doświadczalny pomiar drgań własnych po uderzeniu (na przykład młotkiem), a następnie wyznaczanie częstotliwości drgań własnych układu mierząc szybkość oscylacji, a także współczynnik tłumienia mierząc szybkość rozkład. Częstotliwość drgań własnych i współczynnik tłumienia są ważne nie tylko w przypadku drgań swobodnych, ale także charakteryzują zachowanie systemu w przypadku drgań wymuszonych.

Masa sprężyny nietłumiona
Masa sprężyny niedotłumiona
Masa sprężyny krytycznie tłumiona
Masa sprężyny przetłumiona

Wibracje wymuszone z tłumieniem

Zachowanie się modelu amortyzatora z masą sprężynową zmienia się wraz z dodaniem siły harmonicznej. Siła tego typu może być na przykład generowana przez obracającą się nierównowagę.

Zsumowanie sił działających na masę daje następujące równanie różniczkowe zwyczajne:

Rozwiązanie tego problemu w stanie ustalonym można zapisać jako:

Wynik stwierdza, że ​​masa będzie oscylować z tą samą częstotliwością f przyłożonej siły, ale z przesunięciem fazowym

Amplituda drgań „X” określona jest następującym wzorem.

Gdzie „r” jest zdefiniowane jako stosunek częstotliwości siły harmonicznej do nietłumionej częstotliwości drgań własnych modelu masa-sprężyna-tłumik.

Przesunięcie fazowe jest określone następującym wzorem.

Wymuszona reakcja na wibracje

Wykres tych funkcji, zwany „odpowiedzią częstotliwościową układu”, przedstawia jedną z najważniejszych cech drgań wymuszonych. W układzie lekko tłumionym, gdy częstotliwość wymuszania zbliża się do częstotliwości drgań własnych ( ), amplituda drgań może być bardzo duża. Zjawisko to nazywane jest rezonansem (później częstotliwość drgań własnych układu jest często określana jako częstotliwość rezonansowa). W układach łożysk wirnika każda prędkość obrotowa, która wzbudza częstotliwość rezonansową, nazywana jest prędkością krytyczną .

Jeśli w układzie mechanicznym wystąpi rezonans, może on być bardzo szkodliwy – prowadzący do ostatecznej awarii układu. W związku z tym jednym z głównych powodów analizy drgań jest przewidywanie, kiedy ten rodzaj rezonansu może wystąpić, a następnie określenie, jakie kroki należy podjąć, aby temu zapobiec. Jak pokazuje wykres amplitudy, dodanie tłumienia może znacznie zmniejszyć wielkość drgań. Wielkość można również zmniejszyć, jeśli częstotliwość drgań własnych można odsunąć od częstotliwości wymuszania, zmieniając sztywność lub masę układu. Jeśli nie można zmienić systemu, być może można zmienić częstotliwość wymuszania (na przykład zmieniając prędkość maszyny wytwarzającej siłę).

Poniżej przedstawiono kilka innych punktów dotyczących wymuszonych wibracji pokazanych na wykresach odpowiedzi częstotliwościowej.

  • Przy danym stosunku częstotliwości amplituda drgań X jest wprost proporcjonalna do amplitudy siły (np. podwojenie siły powoduje podwojenie drgań)
  • Przy niewielkim tłumieniu lub bez tłumienia drgania są zgodne w fazie z częstotliwością wymuszającą, gdy stosunek częstotliwości r  < 1 i przesunięte w fazie o 180 stopni, gdy stosunek częstotliwości r  > 1
  • Gdy r  ≪ 1 amplituda jest po prostu ugięciem sprężyny pod działaniem siły statycznej. Ugięcie to nazywamy ugięciem statycznym. Dlatego też, gdy r  ≪ 1, wpływ amortyzatora i masy jest minimalny.
  • Gdy r  ≫ 1 amplituda drgań jest w rzeczywistości mniejsza niż odchylenie statyczne. W tym obszarze dominuje siła generowana przez masę ( F  =  ma ), ponieważ przyspieszenie obserwowane przez masę rośnie wraz z częstotliwością. Ponieważ ugięcie obserwowane w sprężynie X jest zmniejszone w tym obszarze, siła przenoszona przez sprężynę ( F  =  kx ) na podstawę jest zmniejszona. W związku z tym układ masa-sprężyna-tłumik izoluje siłę harmoniczną od podstawy montażowej – nazywa się to izolacją drgań . Większe tłumienie w rzeczywistości zmniejsza efekty izolacji drgań, gdy r  ≫ 1, ponieważ siła tłumiąca ( F  =  cv ) jest również przenoszona na podstawę.
  • Jakiekolwiek jest tłumienie, drgania są przesunięte w fazie o 90 stopni z częstotliwością wymuszającą, gdy stosunek częstotliwości r  = 1, co jest bardzo pomocne przy określaniu częstotliwości drgań własnych systemu.
  • Niezależnie od tłumienia, gdy r  ≫ 1, drgania są przesunięte w fazie o 180 stopni z częstotliwością wymuszenia
  • Niezależnie od tłumienia, gdy r  ≪ 1, drgania są w fazie z częstotliwością wymuszającą

Przyczyny rezonansu

Rezonans jest łatwy do zrozumienia, jeśli sprężyna i masa są postrzegane jako elementy magazynujące energię – przy czym masa przechowuje energię kinetyczną, a sprężyna magazynuje energię potencjalną. Jak omówiono wcześniej, gdy na masę i sprężynę nie działa żadna siła zewnętrzna, przenoszą energię tam iz powrotem z szybkością równą częstotliwości drgań własnych. Innymi słowy, aby skutecznie pompować energię zarówno do masy, jak i do sprężyny, źródło energii musi dostarczać energię z szybkością równą częstotliwości drgań własnych. Przyłożenie siły do ​​masy i sprężyny jest podobne do pchania dziecka na huśtawce, potrzebne jest pchnięcie w odpowiednim momencie, aby huśtawka wznosiła się coraz wyżej. Podobnie jak w przypadku zamachu, zastosowana siła nie musi być duża, aby uzyskać duże ruchy, ale musi po prostu dodać energii systemowi.

Amortyzator zamiast magazynować energię, rozprasza energię. Ponieważ siła tłumienia jest proporcjonalna do prędkości, im większy ruch, tym bardziej amortyzator rozprasza energię. Dlatego istnieje punkt, w którym energia rozpraszana przez amortyzator jest równa energii dodanej przez siłę. W tym momencie system osiągnął swoją maksymalną amplitudę i będzie nadal wibrował na tym poziomie, dopóki przyłożona siła pozostanie taka sama. Jeśli nie ma tłumienia, nie ma nic, co mogłoby rozpraszać energię i teoretycznie ruch będzie wzrastał w nieskończoność.

Zastosowanie „złożonych” sił do modelu masa-sprężyna-amortyzator

W poprzedniej sekcji do modelu zastosowano tylko prostą siłę harmoniczną, ale można ją znacznie rozszerzyć za pomocą dwóch potężnych narzędzi matematycznych. Pierwsza to transformata Fouriera , która przyjmuje sygnał w funkcji czasu ( dziedzina czasu ) i rozkłada go na składowe harmoniczne w funkcji częstotliwości ( dziedzina częstotliwości ). Na przykład, przykładając siłę do modelu masa-sprężyna-tłumik, który powtarza następujący cykl - siła równa 1  niutonowi przez 0,5 sekundy, a następnie brak siły przez 0,5 sekundy. Ten rodzaj siły ma kształt fali prostokątnej o częstotliwości 1 Hz .

Jak falę prostokątną 1 Hz można przedstawić jako sumę fal sinusoidalnych (harmonicznych) i odpowiadającego im widma częstotliwości. Kliknij i przejdź do pełnej rozdzielczości dla animacji

Transformata Fouriera fali prostokątnej generuje widmo częstotliwości , które przedstawia wielkość harmonicznych składających się na falę prostokątną (faza jest również generowana, ale zwykle ma mniejsze znaczenie i dlatego często nie jest wykreślana). Transformatę Fouriera można również wykorzystać do analizy funkcji nieokresowych , takich jak stany przejściowe (np. impulsy) i funkcje losowe. Transformata Fouriera jest prawie zawsze obliczana przy użyciu algorytmu komputerowego szybkiej transformacji Fouriera (FFT) w połączeniu z funkcją okna .

W przypadku naszej siły fali prostokątnej pierwsza składowa jest w rzeczywistości stałą siłą 0,5 niutona i jest reprezentowana przez wartość przy 0 Hz w widmie częstotliwości. Kolejną składową jest fala sinusoidalna o częstotliwości 1 Hz i amplitudzie 0,64. Pokazuje to linia przy 1 Hz. Pozostałe składowe mają nieparzyste częstotliwości i potrzeba nieskończonej ilości fal sinusoidalnych, aby wygenerować idealną falę prostokątną. Dlatego transformata Fouriera pozwala zinterpretować siłę jako sumę przyłożonych sił sinusoidalnych zamiast bardziej „złożonej” siły (np. fali prostokątnej).

W poprzedniej sekcji podano rozwiązanie drgań dla pojedynczej siły harmonicznej, ale ogólnie transformata Fouriera daje wiele sił harmonicznych. Drugie narzędzie matematyczne, zasada superpozycji , umożliwia sumowanie rozwiązań z wielu sił, jeśli system jest liniowy . W przypadku modelu sprężyna–masa–amortyzator układ jest liniowy, jeśli siła sprężyny jest proporcjonalna do przemieszczenia, a tłumienie jest proporcjonalne do prędkości w interesującym nas zakresie ruchu. Dlatego rozwiązaniem problemu z falą prostokątną jest zsumowanie przewidywanych wibracji z każdej siły harmonicznej występującej w widmie częstotliwości fali prostokątnej.

Model odpowiedzi częstotliwościowej

Rozwiązanie problemu drgań można postrzegać jako relację wejście/wyjście – gdzie siła jest wejściem, a wyjściem jest wibracja. Reprezentacja siły i drgań w dziedzinie częstotliwości (wielkość i faza) pozwala na następującą zależność:

nazywa się funkcją odpowiedzi częstotliwościowej (nazywaną również funkcją przenoszenia , ale technicznie nie jest tak dokładna) i ma zarówno składową wielkości, jak i fazę (jeśli jest reprezentowana jako liczba zespolona , ​​składowa rzeczywista i urojona). Wielkość funkcji odpowiedzi częstotliwościowej (FRF) została przedstawiona wcześniej dla układu masa-sprężyna-tłumik.

Faza FRF została również przedstawiona wcześniej jako:

Model odpowiedzi częstotliwościowej

Na przykład obliczenie FRF dla układu masa-sprężyna-amortyzator o masie 1 kg, sztywności sprężyny 1,93 N/mm i współczynniku tłumienia 0,1. Wartości sprężyny i masy dają częstotliwość drgań własnych 7 Hz dla tego konkretnego układu. Zastosowanie wcześniejszej fali prostokątnej 1 Hz pozwala na obliczenie przewidywanych drgań masy. Rysunek ilustruje powstałe wibracje. W tym przykładzie zdarza się, że czwarta harmoniczna fali prostokątnej przypada na 7 Hz. Charakterystyka częstotliwościowa amortyzatora masowo-sprężynowego generuje zatem wysokie wibracje 7 Hz, mimo że siła wejściowa miała stosunkowo niską harmoniczną 7 Hz. Ten przykład pokazuje, że wynikowe drgania zależą zarówno od funkcji wymuszenia, jak i układu, do którego przyłożona jest siła.

Rysunek pokazuje również reprezentację w dziedzinie czasu drgań wynikowych. Odbywa się to poprzez wykonanie odwrotnej transformaty Fouriera, która konwertuje dane w dziedzinie częstotliwości na dziedzinę czasu. W praktyce robi się to rzadko, ponieważ widmo częstotliwości dostarcza wszystkich niezbędnych informacji.

Funkcja odpowiedzi częstotliwościowej (FRF) niekoniecznie musi być obliczana na podstawie znajomości masy, tłumienia i sztywności układu, ale można ją zmierzyć eksperymentalnie. Na przykład, jeśli zostanie przyłożona znana siła w zakresie częstotliwości i jeśli zostaną zmierzone związane z tym wibracje, można obliczyć funkcję odpowiedzi częstotliwościowej, scharakteryzując w ten sposób system. Technika ta jest wykorzystywana w dziedzinie eksperymentalnej analizy modalnej do wyznaczania charakterystyk drgań konstrukcji.

Systemy o wielu stopniach swobody i kształty drgań

Model o dwóch stopniach swobody

Prosty model masa-sprężyna-tłumik jest podstawą analizy drgań, ale co z bardziej złożonymi systemami? Opisany powyżej model masa-sprężyna-amortyzator nazywany jest modelem o jednym stopniu swobody (SDOF), ponieważ zakłada się, że masa porusza się tylko w górę iw dół. W bardziej złożonych systemach system musi zostać podzielony na więcej mas, które poruszają się w więcej niż jednym kierunku, dodając stopnie swobody. Główne koncepcje wielu stopni swobody (MDOF) można zrozumieć, patrząc na model o zaledwie 2 stopniach swobody, jak pokazano na rysunku.

Stwierdzono, że równania ruchu układu 2DOF to:

Można to przepisać w formacie macierzowym :

Bardziej zwartą postać tego równania macierzowego można zapisać jako:

gdzie i są macierzami symetrycznymi określanymi odpowiednio jako macierze masy, tłumienia i sztywności. Macierze są macierzami kwadratowymi NxN, gdzie N jest liczbą stopni swobody układu.

Poniższa analiza obejmuje przypadek, w którym nie występuje tłumienie i nie są przyłożone siły (tj. drgania swobodne). Rozwiązanie układu z tłumieniem lepkim jest nieco bardziej skomplikowane.

To równanie różniczkowe można rozwiązać, zakładając następujący typ rozwiązania:

Uwaga: Użycie rozwiązania wykładniczego jest sztuczką matematyczną używaną do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych. Używając wzoru Eulera i biorąc tylko rzeczywistą część rozwiązania, jest to to samo rozwiązanie cosinusowe dla systemu 1 DOF. Rozwiązanie wykładnicze jest używane tylko dlatego, że łatwiej jest nim manipulować matematycznie.

Równanie staje się wtedy:

Ponieważ nie może równać się zeru, równanie sprowadza się do następującego.

Problem z wartością własną

Odnosi się to do problemu z wartością własną w matematyce i można go umieścić w standardowym formacie przez wstępne pomnożenie równania przez

a jeśli: i

Rozwiązaniem problemu są wartości własne N (tj. ), gdzie N odpowiada liczbie stopni swobody. Wartości własne zapewniają naturalne częstotliwości systemu. Kiedy te wartości własne są podstawiane z powrotem do pierwotnego zestawu równań, wartości odpowiadające każdej wartości własnej nazywane są wektorami własnymi . Te wektory własne reprezentują kształty modów systemu. Rozwiązanie problemu z wartością własną może być dość kłopotliwe (zwłaszcza w przypadku problemów z wieloma stopniami swobody), ale na szczęście większość programów do analizy matematycznej ma procedury wartości własnych.

Wartości własne i wektory własne są często zapisywane w następującym formacie macierzy i opisują model modalny systemu:

Prosty przykład z wykorzystaniem modelu 2 DOF może pomóc zilustrować koncepcje. Niech oba ciężarki mają masę 1 kg, a sztywność wszystkich trzech sprężyn jest równa 1000 N/m. Macierz masy i sztywności dla tego problemu to:

I

Następnie

Wartości własne tego problemu podane przez procedurę wartości własnych to:

Częstotliwości własne w jednostkach herców to wtedy (pamiętając ) i

Dwa kształty modów dla odpowiednich częstotliwości własnych są podane jako:

Ponieważ system jest systemem o 2 stopniach swobody, istnieją dwa tryby z odpowiadającymi im częstotliwościami naturalnymi i kształtami. Wektory kształtu trybu nie są ruchem bezwzględnym, ale po prostu opisują ruch względny stopni swobody. W naszym przypadku pierwszy modalny wektor kształtu mówi, że masy poruszają się razem w fazie, ponieważ mają tę samą wartość i znak. W przypadku wektora kształtu drugiego modu każda masa porusza się w przeciwnym kierunku z tą samą prędkością.

Ilustracja problemu wielu DOF

Gdy istnieje wiele stopni swobody, jedną z metod wizualizacji kształtów trybów jest ich animacja za pomocą oprogramowania do analizy strukturalnej, takiego jak Femap , ANSYS lub VA One firmy ESI Group . Przykład animowanych kształtów trybów pokazano na poniższym rysunku dla wspornikowej belki dwuteowej , jak pokazano za pomocą analizy modalnej w ANSYS. W tym przypadku metoda elementów skończonych została wykorzystana do wygenerowania aproksymacji macierzy masy i sztywności poprzez siatkowanie badanego obiektu w celu rozwiązania problemu dyskretnej wartości własnej . Należy zauważyć, że w tym przypadku metoda elementów skończonych zapewnia przybliżenie powierzchni siatki (dla której istnieje nieskończona liczba modów i częstotliwości drgań). Dlatego ten stosunkowo prosty model, który ma ponad 100 stopni swobody, a więc tyle samo częstotliwości drgań własnych i kształtów modów, zapewnia dobre przybliżenie pierwszych częstotliwości drgań własnych i modów. Ogólnie rzecz biorąc, tylko kilka pierwszych trybów jest ważnych dla praktycznych zastosowań.

W tej tabeli zwizualizowano pierwszy i drugi (odpowiednio górny i dolny) tryb drgań zginania poziomego (po lewej), skręcania (w środku) i zginania pionowego (z prawej) belki dwuteowej . Istnieją również inne rodzaje trybów wibracyjnych, w których wiązka jest ściskana / rozciągana odpowiednio w kierunku wysokości, szerokości i długości.
Kształty trybu wspornikowej belki dwuteowej
Tryb wiązki 1.gif
Tryb wiązki 2.gif
Tryb wiązki 3.gif
Tryb wiązki 4.gif
Tryb wiązki 5.gif
Tryb wiązki 6.gif

^ Należy zauważyć, że podczas wykonywania przybliżenia numerycznego dowolnego modelu matematycznego należy ustalić zbieżność interesujących parametrów.

Wiele problemów DOF przekształconych w jeden problem DOF

Wektory własne mają bardzo ważne właściwości zwane właściwościami ortogonalności. Właściwości te można wykorzystać do znacznego uproszczenia rozwiązań modeli o wielu stopniach swobody. Można wykazać, że wektory własne mają następujące właściwości:

i są macierzami ukośnymi , które zawierają wartości masy modalnej i sztywności dla każdego z modów. (Uwaga: ponieważ wektory własne (kształty modów) można dowolnie skalować, właściwości ortogonalności są często używane do skalowania wektorów własnych, więc wartość masy modalnej dla każdego modu jest równa 1. Macierz mas modalnych jest zatem macierzą identyczności )

Te właściwości można wykorzystać do znacznego uproszczenia rozwiązania modeli o wielu stopniach swobody, wykonując następującą transformację współrzędnych.

Użycie tej transformacji współrzędnych w pierwotnym równaniu różniczkowym drgań swobodnych prowadzi do następującego równania.

Korzystając z właściwości ortogonalności, mnożąc to równanie przez

Właściwości ortogonalności następnie upraszczają to równanie do:

Równanie to jest podstawą analizy drgań dla układów o wielu stopniach swobody. Podobny typ wyniku można uzyskać dla układów tłumionych. Kluczem jest to, że modalne macierze masy i sztywności są macierzami diagonalnymi i dlatego równania zostały „oddzielone”. Innymi słowy, problem został przekształcony z dużego, nieporęcznego problemu o wielu stopniach swobody w wiele problemów o jednym stopniu swobody, które można rozwiązać przy użyciu tych samych metod opisanych powyżej.

Rozwiązanie dla x jest zastępowane przez rozwiązanie dla q , określane jako współrzędne modalne lub współczynniki udziału modalnego.

Może być jaśniejsze do zrozumienia, jeśli jest napisane jako:

Zapisane w tej postaci widać, że drgania na każdym ze stopni swobody są po prostu liniową sumą postaci drgań. Ponadto, ile każdy mod „uczestniczy” w ostatecznej wibracji jest określone przez q, jego modalny współczynnik udziału.

Tryb sztywnego ciała

Nieograniczony system o wielu stopniach swobody doświadcza zarówno translacji ciała sztywnego, jak i rotacji i wibracji. Istnienie trybu ciała sztywnego skutkuje zerową częstotliwością drgań własnych. Odpowiedni kształt trybu nazywany jest trybem ciała sztywnego.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne