Formuły Viety - Vieta's formulas

W matematyce , wzory viète'a są wzory , które odnoszą się współczynniki : a wielomian do kwot i produktów jego korzeni . Nazwany na cześć François Viète (częściej określanego przez zlatynizowaną formę jego imienia „Franciscus Vieta”), wzory te są używane w szczególności w algebrze .

Podstawowe formuły

Dowolny wielomian ogólny stopnia n

${\ Displaystyle P (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

(z współczynniki będące rzeczywistych lub złożonych numery i na _n ≠ 0 ) znana jest z podstawową twierdzenia Algebra mieć n (niekoniecznie różne) złożone korzenie r ₁ , r ₂ , ..., r _n . Wzory Viety wiążą współczynniki wielomianu ze znakami sum iloczynów pierwiastków r ₁ , r ₂ , ..., r _n w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} r_ {1} + r_ {2} + \ kropki + r_ {n-1} + r_ {n} = - {\ dfrac {a_ {n-1}} {a_ {n }}}\\(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2 }r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}} }\\{}\quad \vdots \\r_{1}r_{2}\dots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}} .\end{przypadki}}}$

Wzory Viety można równoważnie zapisać jako

${\ Displaystyle \ suma _ {1 \ leq i_ {1}<i_ {2}<\ cdots <i_ {k} \ leq n} \ lewo (\ prod _ {j = 1} ^ {k} r_ {i_ { j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{nk}}{a_{n}}},}$

dla k = 1, 2, ..., n (wskaźniki i _k są sortowane w porządku rosnącym, aby zapewnić, że każdy iloczyn k pierwiastków zostanie użyty dokładnie raz).

Lewe strony wzorów Viety to elementarne wielomiany symetryczne pierwiastków.

Uogólnienie na pierścienie

Wzory Viety są często używane z wielomianami o współczynnikach w dowolnej domenie całkowej R . Następnie iloraz należą do pierścienia frakcji o R (i ewentualnie są R samego jeśli okazuje się być odwracalna w R ), a pierwiastki są pobierane w algebraicznie zamkniętym rozszerzenia . Zazwyczaj R jest pierścieniem liczb całkowitych , ciało ułamków jest ciałem liczb wymiernych , a ciało algebraicznie domknięte jest ciałem liczb zespolonych . ${\ Displaystyle a_ {i} / a_ {n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle r_{i}}$

Formuły Viety są wtedy przydatne, ponieważ dostarczają relacji między pierwiastkami bez konieczności ich obliczania.

W przypadku wielomianów w pierścieniu przemiennym, który nie jest domeną integralną, wzory Viety są ważne tylko wtedy, gdy nie jest dzielnikiem zera, a współczynniki są równe . Na przykład w pierścieniu liczb całkowitych modulo 8 wielomian ma cztery pierwiastki: 1, 3, 5 i 7. Wzory Viety nie są prawdziwe, jeśli, powiedzmy, i , ponieważ . Jednak, czy faktor jak i jako , a formuły Viety zachowują się, jeśli ustawimy albo i lub i . ${\displaystyle a_{n}}$${\ Displaystyle P (x)}$${\ Displaystyle a_ {n} (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \ kropki (x-r_ {n})}$${\ Displaystyle P (x) = x ^ {2}-1}$${\displaystyle r_{1}=1}$${\displaystyle r_{2}=3}$${\ Displaystyle P (x) \ neq (x-1) (x-3)}$${\ Displaystyle P (x)}$${\ Displaystyle (x-1) (x-7)}$${\ Displaystyle (x-3) (x-5)}$${\displaystyle r_{1}=1}$${\displaystyle r_{2}=7}$${\displaystyle r_{1}=3}$${\displaystyle r_{2}=5}$

Przykład

Wzory Viety zastosowane do wielomianu kwadratowego i sześciennego:

Korzenie tej kwadratowej wielomianu zaspokoić ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\ Displaystyle P (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

${\ Displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - {\ Frac {b} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} = {\ Frac {c} {a}}.}$

Pierwsze z tych równań można wykorzystać do znalezienia minimum (lub maksimum) P ; patrz Równanie kwadratowe § Wzory Viety .

Korzenie tej sześcienny wielomianu zaspokoić ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$ ${\ Displaystyle P (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$

${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+ r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$

Dowód

Wzory Viety można udowodnić, rozszerzając równość

${\ Displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} = a_ {n} (x-r_ { 1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$

(co jest prawdą, ponieważ są wszystkie pierwiastki tego wielomianu), mnożąc czynniki po prawej stronie i identyfikując współczynniki każdej potęgi${\displaystyle r_{1},r_{2},\kropki,r_{n}}$${\displaystyle x.}$

Formalnie, jeśli się rozwinie, terminy są dokładnie tam , gdzie jest 0 lub 1, odpowiednio do tego, czy jest zawarte w produkcie, czy nie, a k jest liczbą wykluczonych, więc całkowita liczba czynników w produkcie wynosi n (licząc z krotnością k ) – skoro jest n wyborów binarnych (include lub x ), to istnieją terminy – geometrycznie można je rozumieć jako wierzchołki hipersześcianu. Grupowanie tych terminów według stopnia daje elementarne symetryczne wielomiany w – dla x ^k , wszystkie odrębne k- krotne iloczyny${\ Displaystyle (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \ cdots (x-r_ {n})}$${\ Displaystyle (-1) ^ {nk} r_ {1} ^ {b_ {1}} \ cdots r_ {n} ^ {b_ {n}} x ^ {k},}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$${\ Displaystyle x ^ {k}}$${\displaystyle r_{i}}$${\ Displaystyle 2 ^ {n}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{i}.}$

Jako przykład rozważ kwadratową . Porównując identyczne potęgi , znajdujemy , i , z którymi możemy na przykład zidentyfikować i , które są wzorem Viety na . ${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})= a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{2}=a_{2}}$${\displaystyle a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})}$${\displaystyle a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})}$${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}}$${\displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}}$${\displaystyle n=2}$

Historia

Jak wynika z nazwy, formuły zostały odkryte przez XVI-wiecznego francuskiego matematyka François Viète , dla przypadku pozytywnych korzeni.

W opinii XVIII-wiecznego brytyjskiego matematyka Charlesa Huttona , cytowanego przez Funkhousera, ogólną zasadę (nie tylko dla pozytywnych prawdziwych korzeni) po raz pierwszy zrozumiał XVII-wieczny francuski matematyk Albert Girard :

...[Girard był] pierwszą osobą, która zrozumiała ogólną doktrynę kształtowania współczynników potęg z sumy pierwiastków i ich iloczynów. Był pierwszym, który odkrył zasady sumowania potęg pierwiastków dowolnego równania.

Zobacz też

• Tożsamości Newtona
• Elementarny wielomian symetryczny
• Wielomian symetryczny
• Treść (algebra)
• Właściwości pierwiastków wielomianowych
• Twierdzenie Gaussa-Lucasa
• Twierdzenie o racjonalnym pierwiastku

Bibliografia

• "Twierdzenie Viète" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Funkhouser, H. Gray (1930), "Krótki opis historii funkcji symetrycznych pierwiastków równań", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 37 (7): 357-365, doi : 10.2307/2299273 , JSTOR  2299273
• Vinberg, EB (2003), Kurs algebry , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, RI, ISBN 0-8218-3413-4

• Djukić, Dušan; i in. (2006), Kompendium IMO: zbiór problemów sugerowanych na Międzynarodowe Olimpiady Matematyczne, 1959-2004 , Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6