Zestaw Vitali - Vitali set

W matematyce , wykorzystując zestaw Vitali jest elementarnym przykładem zbioru liczb rzeczywistych , które nie jest Lebesgue'a mierzalne , znaleziona przez Giuseppe Vitali w 1905 roku Vitali twierdzenie jest twierdzenie istnienie że istnieją takie zestawy. Zbiorów Vitali jest niezliczona ilość , a ich istnienie zależy od aksjomatu wyboru . W 1970 r. Robert Solovay skonstruował model teorii mnogości Zermelo-Fraenkla bez aksjomatu wyboru, w którym wszystkie zbiory liczb rzeczywistych są mierzalne w skali Lebesgue'a, przy założeniu istnienia niedostępnego kardynała (zob. model Solovay'a ).

Zestawy mierzalne

Niektóre zestawy mają określoną „długość” lub „masę”. Na przykład uważa się , że przedział [0, 1] ma długość 1; bardziej ogólnie, przedział [ a , b ], a ≤ b , ma długość b  −  a . Jeśli pomyślimy o takich odstępach jako o metalowych prętach o jednolitej gęstości, to one również mają dobrze określone masy. Zbiór [0, 1] ∪ [2, 3] składa się z dwóch przedziałów o długości jeden, więc przyjmujemy, że jego całkowita długość wynosi 2. Pod względem masy mamy dwa pręty o masie 1, więc całkowita masa wynosi 2.

Pojawia się tutaj naturalne pytanie: jeśli E jest dowolnym podzbiorem prostej rzeczywistej, czy ma „masę” czy „długość całkowitą”? Jako przykład możemy zapytać, jaka jest masa zbioru liczb wymiernych , biorąc pod uwagę, że masa przedziału [0, 1] wynosi 1. Wymierne wartości są gęste w liczbach rzeczywistych, więc dowolna wartość od 0 do 1 włącznie może wydawać się rozsądne.

Jednak najbliższym uogólnieniem masy jest addytywność sigma , która daje początek miary Lebesgue'a . Przypisuje miarę b − a do przedziału [ a , b ] , ale przypisze miarę 0 do zbioru liczb wymiernych , ponieważ jest on przeliczalny . O każdym zbiorze, który ma dobrze zdefiniowaną miarę Lebesgue'a mówi się, że jest „mierzalny”, ale konstrukcja miary Lebesgue'a (na przykład przy użyciu twierdzenia o rozszerzeniu Carathéodory'ego ) nie wyjaśnia, czy istnieją zbiory niemierzalne. Odpowiedź na to pytanie zawiera aksjomat wyboru .

Konstrukcja i dowód

Zbiór A jest podzbiorem Vitali z przedziału [0, 1] liczb rzeczywistych takich, że dla każdej liczby rzeczywistej istnieje dokładnie jedna liczba taka, że jest liczbą wymierną . Zbiory Vitaliego istnieją , ponieważ liczby wymierne Q tworzą normalną podgrupę liczb rzeczywistych R przy dodawaniu , a to pozwala na skonstruowanie addytywnej grupy ilorazowej R / Q tych dwóch grup, która jest grupą utworzoną przez cosety liczb wymiernych jako podgrupa dodawanych liczb rzeczywistych. Ta grupa R / Q składa się z rozłącznych „przesuniętych kopii” Q w tym sensie, że każdy element tej grupy ilorazowej jest zbiorem postaci Q + r dla pewnego r w R . W uncountably liczne elementy R / Q działowej R , a każdy element jest gęsta w R . Każdy element R / Q przecina [0, 1], a aksjomat wyboru gwarantuje istnienie podzbioru [0, 1] zawierającego dokładnie jednego przedstawiciela z każdego elementu R / Q . Tak utworzony zestaw nazywany jest zestawem Vitali. ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle v \ w V}$${\displaystyle vr}$

Każdy zestaw Vitali jest niepoliczalny i jest irracjonalny dla każdego . ${\ Displaystyle V}$${\displaystyle vu}$${\ Displaystyle u, v \ w V, u \ neq v}$

Niemierzalność

Możliwe wyliczenie liczb wymiernych

Zestaw Vitali jest niewymierny. Aby to pokazać, zakładamy, że V jest mierzalne i wyprowadzamy sprzeczność. Niech q ₁ , q ₂ , ... będzie wyliczeniem liczb wymiernych w [−1, 1] (przypomnijmy, że liczby wymierne są policzalne ). Z konstrukcji V , zauważ, że przesunięte zbiory , k = 1, 2, ... są parami rozłączne i dalej zauważ, że ${\ Displaystyle V_ {k} = V + q_ {k} = \ {v + q_ {k}: v \ w V \}}$

${\ Displaystyle [0,1] \ podseteq \ bigcup _ {k} V_ {k} \ podseteq [-1,2]}$.

Aby zobaczyć pierwsze włączenie, rozważ dowolną liczbę rzeczywistą r w [0, 1] i niech v będzie reprezentatywną w V dla klasy równoważności [ r ]; wtedy r - v = q _i dla pewnej liczby wymiernej q _i w [-1, 1], co implikuje, że r jest w V _i .

Zastosuj miarę Lebesgue'a do tych wtrąceń za pomocą addytywności sigma :

${\ Displaystyle 1 \ równoważnik \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} \ lambda (V_ {k}) \ równoważnik 3.}$

Ponieważ miara Lebesgue'a jest niezmiennikiem tłumaczenia, a zatem ${\ Displaystyle \ lambda (V_ {k}) = \ lambda (V)}$

${\ Displaystyle 1 \ równoważnik \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} \ lambda (V) \ równoważnik 3.}$

Ale to jest niemożliwe. Zsumowanie nieskończenie wielu kopii stałej λ( V ) daje albo zero, albo nieskończoność, w zależności od tego, czy stała jest zerowa, czy dodatnia. W żadnym przypadku suma w [1, 3]. Zatem V nie może być w końcu mierzalne, tzn. miara Lebesgue'a λ nie może określać żadnej wartości dla λ( V ).

Zobacz też

• Niemierzalny zestaw
• Paradoks Banacha–Tarskiego

Bibliografia

Bibliografia

• Herrlicha Horsta (2006). Aksjomat wyboru . Skoczek. P. 120 .
• Witalij, Giuseppe (1905). „Sul problem della misura dei gruppi di punti di una retta”. Bolonia, Porada. Gamberini e Parmeggiani .