Współczynniki Clebscha-Gordana - Clebsch–Gordan coefficients

W fizyki , że Clebsch-Gordan ( CG ) współczynniki są liczbami, które powstają w pędu sprzęgania w mechanice kwantowej . Pojawiają się one jako współczynniki rozszerzalności całkowitych stanów własnych momentu pędu w niesprzężonej bazie tensorowej . Mówiąc bardziej matematycznie, współczynniki CG są używane w teorii reprezentacji , zwłaszcza zwartych grup Liego , do przeprowadzenia wyraźnej bezpośredniej dekompozycji sumy iloczynu tensorowego dwóch reprezentacji nieredukowalnych (tj. reprezentacji redukowalnej na reprezentacje nieredukowalne, w przypadkach, gdy liczby i rodzaje nieredukowalnych składników są już znane abstrakcyjnie). Nazwa pochodzi od niemieckich matematyków Alfreda Clebscha i Paula Gordana , którzy napotkali równoważny problem w teorii niezmienniczej .

Z wektora nazębnego perspektywie współczynniki CG związane z (3), grupa może zostać zdefiniowana jedynie w odniesieniu do całek produktów sferycznych harmonicznych i ich sprzężenie zespolone. Dodanie spinów w kategoriach kwantowo-mechanicznych można odczytać bezpośrednio z tego podejścia, ponieważ sferyczne harmoniczne są funkcjami własnymi całkowitego momentu pędu i jego rzutu na oś, a całki odpowiadają iloczynowi wewnętrznemu przestrzeni Hilberta . Z formalnej definicji momentu pędu można znaleźć relacje rekurencji dla współczynników Clebscha-Gordana. Istnieją również skomplikowane formuły jawne do ich bezpośredniego obliczania.

Poniższe wzory wykorzystują notację bra-ket Diraca i przyjęto konwencję fazy Condona-Shortleya .

Operatory momentu pędu

Operatory momentu pędu są operatorami samosprzężonymi j _x , j _y i j _{z ,} które spełniają relacje komutacyjne

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i [\ operatorname {j} _ {k}, \ operatorname {j} _ {l}] \ równoważny \ operatorname {j} _ {k} \ operatorname {j} _ {l }-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{wyrównany}}}$

gdzie ε _klm to symbol Levi-Civita . Razem te trzy operatory definiują operator wektorowy , operator tensora kartezjańskiego rzędu pierwszego ,

${\ Displaystyle \ mathbf {j} = (\ operatorname {j_ {x}}, \ operatorname {j_ {y}}, \ operatorname {j_ {z}}}).}$

Znany również jako wektor sferyczny , ponieważ jest również sferycznym operatorem tensora. Tylko dla pierwszej rangi operatory tensora sferycznego pokrywają się z operatorami tensora kartezjańskiego.

Dzięki opracowaniu tej koncepcji dodatkowo można określić innego operatora j ² jako wewnętrznego produktu z j o sobie;

${\ Displaystyle \ mathbf {j} ^ {2} = \ operatorka {j_ {x} ^ {2}} + \ operatorka {j_ {y} ^ {2}} + \ operatorka {j_ {z} ^ {2}} } .}$

To jest przykład operatora Casimira . Jest diagonalna, a jej wartość własna charakteryzuje konkretną nieredukowalną reprezentację algebry momentu pędu tak (3) ≅ su (2) . Jest to fizycznie interpretowane jako kwadrat całkowitego momentu pędu stanów, na które działa reprezentacja.

Można również zdefiniować podnoszenia ( j ₊ ) i opuszczania ( j _- ) Operatorzy, tzw operatorzy drabiny ,

${\ Displaystyle \ operatorka {j_ {\ pm}} = \ operatorka {j_ {x}} \ pm ja \ operatorka {j_ {y}}}.$

Podstawa sferyczna dla stanów własnych momentu pędu

Z powyższych definicji można wykazać, że j ² dojeżdża z j _x , j _y i j _z :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i [\ mathbf {j} ^ {2}, \ operatorname {j} _ {k}] = 0 & k i \ w \ {\ operatorname {x}, \ operatorname {y}, \ mathrm {z} \}.\end{wyrównany}}}$

Kiedy dwa operatory hermitowskie dojeżdżają, istnieje wspólny zestaw stanów własnych. Konwencjonalnie, J ² i J _z wybranych. Z relacji komutacyjnych można znaleźć możliwe wartości własne. Te stany własne oznaczono | j m ⟩ gdzie j jest liczbą kwantową momentu pędu, a m jest rzutem momentu pędu na oś z.

Obejmują one podstawę sferyczną , są kompletne i spełniają następujące równania wartości własnych,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {j} ^ {2} | j \ m \ rangle & = \ hbar ^ {2} j (j + 1) | j \ m \ rangle, & j & \ w \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle & =\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}$

Operatory podnoszenia i opuszczania mogą być używane do zmiany wartości m ,

${\ Displaystyle \ operatorname {j} _ {\ pm} | j \ m \ rangle = \ hbar C_ {\ pm} (j, m) | j \ (m \ pm 1) \ rangle,}$

gdzie współczynnik drabiny jest określony wzorem:

${\ Displaystyle C_ {\ pm} (j, m) = {\ sqrt {j (j + 1) - m (m \ pm 1)}} = {\ sqrt {(j \ mp m) (j \ pm m +1)}}.}$

( 1 )

W zasadzie można również wprowadzić (ewentualnie złożony) czynnik fazowy w definicji . Wybór dokonany w tym artykule jest zgodny z konwencją fazy Condon-Shortley . Stany momentu pędu są ortogonalne (ponieważ ich wartości własne względem operatora hermitowskiego są różne) i zakłada się, że są znormalizowane, ${\ Displaystyle C_ {\ pm} (j, m)}$

${\ Displaystyle \ langle j \, m | j '\, m' \ rangle = \ delta _ {j, j'} \ delta _ {m, m'}.}$

Zapisane kursywą j i m oznaczają liczby kwantowe momentu pędu cząstki lub układu będące liczbą całkowitą lub połówkową . Z drugiej strony, rzymskie j _x , j _y , j _z , j ₊ , j ₋ i j ² oznaczają operatory. Te symbole delta Kronecker . ${\ Displaystyle \ delta}$

Tensorowa przestrzeń produktowa

Rozważymy teraz układy z dwoma fizycznie różnymi momentami pędu j ₁ i j ₂ . Przykłady obejmują spin i orbitalny moment pędu pojedynczego elektronu, spiny dwóch elektronów lub orbitalny moment pędu dwóch elektronów. Matematycznie oznacza to, że operatory momentu pędu działają na przestrzeni wymiaru, a także na przestrzeni wymiaru . Następnie zdefiniujemy rodzinę operatorów „całkowitego momentu pędu” działających na tensorową przestrzeń produktu , która ma wymiar . Działanie całkowitego operatora momentu pędu na tę przestrzeń stanowi reprezentację algebry su(2) Liego, ale algebry redukowalnej. Redukcja tej redukowalnej reprezentacji do nieredukowalnych kawałków jest celem teorii Clebscha-Gordana. ${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle 2j_{1}+1}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle 2j_{2}+1}$${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$

Niech V ₁ będzie (2 j ₁ + 1) -wymiarową przestrzenią wektorową rozpiętą przez stany

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i | j_ {1} \ m_ {1} \ rangle & m_ {1} i \ w \ {-j_ {1}, - j_ {1} +1 \ ldots , j_{1}\}\end{wyrównany}}}$,

i V ₂ (2 J ₂ + 1) wymiarowa przestrzeń liniowa rozpięta przez państwa

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i | j_ {2} \ m_ {2} \ rangle & m_ {2} i \ w \ {-j_ {2}, - j_ {2} +1, \ ldots , j_{2}\}\end{wyrównany}}}$.

Iloczyn tensorowy tych przestrzeni, V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂ , ma (2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1) -wymiarową niesprzężoną bazę

${\ Displaystyle | j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {2} \ m_ {2} \ rangle \ równoważne | j_ {1} \ m_ {1} \ rangle \ czasami | j {2} \,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\ w \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}}$.

Operatory momentu pędu są zdefiniowane do działania na stany w V ₃ w następujący sposób:

${\ Displaystyle (\ mathbf {j} \ otimes 1) | j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {2} \ m_ {2} \ rangle \ równoważne \ mathbf {j} | j_ {1} \,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$

oraz

${\ Displaystyle (1 \ czasami \ operatorname {\ mathbf {j}} ) | j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {2} \ m_ {2} \ rangle \ equiv | j {1} \ ,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$

gdzie 1 oznacza operator tożsamości.

Operatory całkowitego momentu pędu są zdefiniowane przez koprodukt (lub iloczyn tensorowy ) dwóch reprezentacji działających na V ₁ ⊗ V ₂ ,

Można wykazać, że operatory całkowitego momentu pędu spełniają te same zależności komutacyjne ,

${\ Displaystyle [\ operatorname {J} _ {k}, \ operatorname {J} _ {l}] = ja \ hbar \ varepsilon _ {klm} \ operatorname {J} _ {m} ~}$

gdzie k , l , m { x , y , z } . Rzeczywiście, poprzednia konstrukcja jest standardową metodą konstruowania działania algebry Liego na reprezentacji produktu tensorowego.

Stąd zbiór sprzężonych stanów własnych istnieje również dla operatora całkowitego momentu pędu,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {J} ^ {2} | [j_ {1} \ j_ {2}] \ J \ M \ rangle & = \ hbar ^ {2} J (J +1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J \,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}$

dla M ∈ {− J , − J + 1, ..., J }. Zauważ, że często pomija się część [ j ₁ j ₂ ] .

Całkowita liczba kwantowa J momentu pędu musi spełniać warunek trójkąta, który

${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}}$,

tak, że trzy nieujemne liczby całkowite lub połówkowe mogą odpowiadać trzem bokom trójkąta.

Całkowita liczba stanów własnych momentu pędu jest z konieczności równa wymiarowi V ₃ :

${\ Displaystyle \ suma _ {J = | j_ {1}-j_ {2} |} ^ {j_ {1} + j_ {2}} (2J + 1) = (2j_ {1} + 1) (2j_ { 2}+1)~.}$

Jak sugeruje to obliczenie, reprezentacja iloczynu tensorowego rozkłada się jako bezpośrednia suma jednej kopii każdej z nieredukowalnych reprezentacji wymiaru , gdzie waha się od do w przyrostach o 1. Jako przykład rozważmy iloczyn tensorowy odpowiadającej reprezentacji trójwymiarowej do z dwuwymiarową reprezentacją z . Możliwe wartości to then i . Zatem sześciowymiarowa reprezentacja iloczynu tensorowego rozkłada się jako bezpośrednia suma reprezentacji dwuwymiarowej i reprezentacji czterowymiarowej. ${\ Displaystyle 2J+1}$${\ Displaystyle J}$${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}$${\displaystyle j_{1}+j_{2}}$${\displaystyle j_{1}=1}$${\ Displaystyle j_ {2} = 1/2}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle J = 1/2}$${\ Displaystyle J = 3/2}$

Celem jest teraz wyraźne opisanie poprzedniej dekompozycji, to znaczy wyraźne opisanie elementów bazowych w przestrzeni produktu tensorowego dla każdej z powstałych reprezentacji składowych.

Całkowite stany momentu pędu tworzą ortonormalną bazę V ₃ :

${\ Displaystyle \ lewo \ langle J \, M | J '\, M' \ prawy \ rangle = \ delta _ {J, J '} \ delta _ {M, M '} ~.}$

Reguły te można iterować, np. połączyć n dubletów ( s =1/2) w celu uzyskania szeregu dekompozycji Clebscha-Gordana ( trójkąt kataloński ),

${\ Displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ otimes n} = \ bigoplus _ {k = 0} ^ {\ l podłoga n/2 \ r podłoga} ~ \ lewo ({\ Frac {n + 1-2 k} {n + 1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}$

gdzie jest funkcją podłogi w liczbach całkowitych ; a liczba poprzedzająca pogrubioną etykietą nieredukowalna wymiarowość reprezentacji ( 2j +1) wskazuje na wielokrotność tej reprezentacji w redukcji reprezentacji. Na przykład z tego wzoru dodanie trzech spinów 1/2s daje spin 3/2 i dwa spiny 1/2s,   . ${\displaystyle \lpodłoga n/2\rpodłoga}$${\ Displaystyle {\ mathbf {2} } \ otimes {\ mathbf {2} } \ otimes {\ mathbf {2} } = {\ mathbf {4} } \ oplus {\ mathbf {2} } \ oplus {\ mathbf {2} }}$

Formalna definicja współczynników Clebscha-Gordana

Stany sprzężone mogą być rozszerzone poprzez relację zupełności (rozdzielczość tożsamości) w bazie niesprzężonej

${\ Displaystyle | J \, M \ rangle = \ suma _ {m_ {1} = -j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ suma _ {m_ {2} = - j_ {2}} ^ { j_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\, m_{2}|J\,M\rangle }$

( 2 )

Współczynniki rozszerzalności

${\ Displaystyle \ langle j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {2} \ m {2} | J \ M \ rangle }$

są współczynnikami Clebscha-Gordana . Zauważ, że niektórzy autorzy piszą je w innej kolejności, np. ⟨ j ₁ j ₂ ; m ₁ m ₂ | J K ⟩ . Innym powszechnym zapisem jest ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ = C^JM
_{j 1 m 1 j 2 m 2}.

Stosowanie operatorów

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {J} & = \ operatorname {j} \ czasami 1 + 1 \ czasami \ operatorname {j} \ \ \ operatorname {J} _ {\ operatorname {Z}} i = \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{wyrównany}}}$

po obu stronach równania definiującego pokazuje, że współczynniki Clebscha-Gordana mogą być niezerowe tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i | j_ {1}-j_ {2} | \ leq J \ leq j_ {1} + j_ {2} \ \ & M = m_ {1} + m_ {2} \ koniec {wyrównany}}}$.

Relacje rekurencji

Relacje rekurencji odkrył fizyk Giulio Racah z Uniwersytetu Hebrajskiego w Jerozolimie w 1941 roku.

Stosowanie operatorów podnoszenia i opuszczania całkowitego momentu pędu

${\ Displaystyle \ operatorname {J} _ {\ pm } = \ operatorname {j} _ {\ pm} \ czasami 1 + 1 \ czasami \ operatorname {j} _ {\ pm}}$

po lewej stronie równania definiującego podaje

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {J} _ {\ pm} | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, M \ rangle & = \ hbar C_ {\ pm} ( J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{ m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_ {2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}$

Zastosowanie tych samych operatorów po prawej stronie daje

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i \ operatorname {J} _ {\ pm} \ suma _ {m_ {1}, m_ {2}} | j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {2 }\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\&=\hbar \sum _{ m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_ {2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{ 2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\&=\hbar \sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }( j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle + C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J \,M\rangle {\Bigr )}{\text{.}}\end{wyrównany}}}$

gdzie C _± zdefiniowano w 1 . Połączenie tych wyników daje relacje rekurencji dla współczynników Clebscha-Gordana:

${\ Displaystyle C_ {\ pm} (J, M) \ langle j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {2} \ m_ {2} | J \ (M \ pm 1) \ rangle = C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J \,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2} \mp 1)|J\,M\rangle }$.

Przyjmując górny znak pod warunkiem, że M = J daje początkową relację rekurencji:

${\ Displaystyle 0 = C_ {+} (j_ {1} m_ {1}-1) \ langle j_ {1} \ (m_ {1}-1) \ j_ {2} \ m_ {2} |J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2} -1)|J\,J\rangle }$.

W konwencji fazy Condon-Shortley dodaje się ograniczenie, które

${\ Displaystyle \ langle j_ {1} \ j_ {1} \ j_ {2} \ (J-j_ {1}) | J \ J \ rangle > 0}$

(i dlatego też jest prawdziwy).

Współczynniki Clebscha-Gordana ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ można wtedy znaleźć z tych relacji rekurencji. Normalizacja jest ustalona przez wymaganie, aby suma kwadratów, która odpowiada wymaganiu, że norma stanu |[ j ₁ j ₂ ] J J ⟩ musi być jeden.

Dolny znak w relacji rekurencji może być użyty do znalezienia wszystkich współczynników Clebscha-Gordana z M = J − 1 . Wielokrotne użycie tego równania daje wszystkie współczynniki.

Ta procedura znajdowania współczynników Clebscha-Gordana pokazuje, że wszystkie są rzeczywiste w konwencji Condona-Shortleya.

Wyrażenie jawne

Relacje ortogonalności

Najwyraźniej zapisuje się je wprowadzając zapis alternatywny

${\ Displaystyle \ langle J \ M | j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {2} \ m_ {2} \ rangle \ equiv \ langle j_ {1} \ m_ {1} \, j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$

Pierwsza relacja ortogonalności to

${\ Displaystyle \ suma _ {J = | j_ {1}-j_ {2} |} ^ {j_ {1} + j_ {2}} \ suma _ {M = - J} ^ {J} \ langle j_ { 1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2 }\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_ {2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$

(wynika z faktu, że 1 ≡ Σ _x | x ⟩ ⟨ x | ), a druga to

${\ Displaystyle \ suma _ {m_ {1}, m_ {2}} \ langle J \ M | j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {2} \ m_ {2} \ rangle \ langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}}$.

Przypadki specjalne

Dla J = 0 współczynniki Clebscha-Gordana są podane przez

${\ Displaystyle \ langle j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {2} \ m {2} | 0 \ 0 \ rangle = \ delta _ {j_ {1} j_ {2}} \ delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}}$.

Dla J = j ₁ + j ₂ i M = J mamy

${\ Displaystyle \ langle j_ {1} \ j_ {1} \ j_ {2} \ j_ {2} | (j_ {1} + j_ {2}) \ (j_ {1} + j_ {2} })\rangle =1}$.

Dla j ₁ = j ₂ = J / 2 i m ₁ = − m ₂ mamy

${\ Displaystyle \ langle j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {1} \ (-m_ {1}) | (2j_ {1}) \ 0 \ rangle = {\ Frac {(2j_ { 1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}}$.

Dla j ₁ = j ₂ = m ₁ = − m ₂ mamy

${\ Displaystyle \ langle j_ {1} \ j_ {1} \ j_ {1} \ (-j_ {1}) | J \ 0 \ rangle = (2j_ {1})! {\ sqrt {\ frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}$

Dla j ₂ = 1 , m ₂ = 0 mamy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ langle j_ {1} \ m \ 1 \ 0 | (j_ {1} + 1) \ m \ rangle & = {\ sqrt {\ Frac {(j_ { 1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\ ,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}\\\langle j_{1} \,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)} {j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{wyrównany}}}$

Dla j ₂ = 1/2 mamy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo \ langle j_ {1} \ \ lewo (M-{\ Frac {1} {2}} \ prawej) \ {\ Frac {1} {2}} \ ,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm { \sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\ \left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1 }{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\ frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}$

Właściwości symetrii

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ langle j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {2} \ m_ {2} | J \ M \ rangle & = (-1) ^ {j_ { 1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\, M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1} \,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2} }{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\, (-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}} \langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_ {2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1 }\,m_{1}\rangle \end{wyrównany}}}$

Wygodnym sposobem wyprowadzenia tych relacji jest konwersja współczynników Clebscha-Gordana na symbole Wignera 3-j przy użyciu 3 . Właściwości symetrii symboli Wignera 3-j są znacznie prostsze.

Zasady dotyczące czynników fazowych

Należy zachować ostrożność podczas upraszczania czynników fazowych: liczba kwantowa może być liczbą połówkową, a nie liczbą całkowitą, dlatego (-1) ^{2 k} niekoniecznie oznacza 1 dla danej liczby kwantowej k, chyba że można udowodnić, że jest liczbą całkowitą. Zamiast tego zastępuje ją następująca słabsza zasada:

${\ Displaystyle (-1) ^ {4k} = 1}$

dla dowolnej liczby kwantowej podobnej do pędu kątowego k .

Niemniej jednak, kombinacja j _I i m _I jest zawsze liczbą całkowitą, więc silniejsza zasada odnosi się do tych kombinacji:

${\ Displaystyle (-1) ^ {2 (j_ {i}-m_ {i})} = 1}$

Tożsamość ta obowiązuje również wtedy, gdy znak j _i lub m _i lub oba są odwrócone.

Warto zauważyć, że każdy czynnik fazowy dla danej pary ( j _i , m _i ) można sprowadzić do postaci kanonicznej:

${\ Displaystyle (-1) ^ {aj_ {i} + b (j_ {i}-m_ {i})}}$

gdzie a {0, 1, 2, 3} i b ∈ {0, 1} (możliwe są również inne konwencje). Przekształcenie współczynników fazy w tę postać ułatwia stwierdzenie, czy dwa współczynniki fazy są równoważne. (Zauważ, że ta forma jest tylko lokalnie kanoniczna: nie uwzględnia reguł rządzących kombinacjami par ( j _i , m _i ), takich jak ta opisana w następnym akapicie.)

Dodatkowa zasada obowiązuje dla kombinacji j ₁ , j ₂ i j ₃ powiązanych współczynnikiem Clebscha-Gordana lub symbolem Wignera 3-j:

${\ Displaystyle (-1) ^ {2 (j_ {1} + j_ {2} + j_ {3})} = 1}$

Tożsamość ta obowiązuje również wtedy, gdy znak dowolnego j _i jest odwrócony, lub jeśli którykolwiek z nich jest zastąpiony przez m _i .

Związek z symbolami Wignera 3-j

Współczynniki Clebscha-Gordana są związane z symbolami Wignera 3-j, które mają wygodniejsze relacje symetrii.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ langle j_ {1} \ m_ {1} \ j_ {2} \ m_ {2} | J \ M \ rangle & = (-1) ^ {-j_ {1}+j_{2}-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&J\\m_{1}&m_{2}&-M\end {pmatrix}}\\&=(-1)^{2j_{2}}(-1)^{JM}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&J&j_{2} \\m_{1}&-M&m_{2}\end{pmatrix}}\end{wyrównany}}}$

( 3 )

Współczynnik (−1) ^{2 j ₂} wynika z ograniczenia Condona–Shortleya, że ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J − j ₁ )| JJ ⟩ > 0 , natomiast (–1) ^{J − M} wynika z odwróconego w czasie charakteru | JM ⟩ .

Związek z macierzami D Wignera

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ alfa \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ beta \ d \ beta \ int _ {0 }^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{ j_{1}}(\alfa ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alfa ,\beta ,\gamma )\\&={\ szczelina {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_ {1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}$

Związek z harmonicznymi sferycznymi

W przypadku, gdy zaangażowane są liczbami całkowitymi, współczynniki mogą być związane z całek z harmoniki sferyczne :

${\ Displaystyle \ int _ {4 \ pi} Y_ {\ ell _ {1}} ^ {m_ {1}} ^ {*} (\ Omega) Y_ {\ ell _ {2}} ^ {m_ { 2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)( 2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0 \rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }$

Z tego i ortonormalności harmoniki sferycznej wynika, że ​​współczynniki CG są w rzeczywistości współczynnikami rozszerzenia iloczynu dwóch harmoniki sferycznej w ujęciu jednej harmonicznej sferycznej:

${\ Displaystyle Y_ {\ ell _ {1}} ^ {m_ {1}} (\ Omega) Y_ {\ _ ll {2}} ^ {m_ {2}} (\ Omega ) = \ suma _ {L, M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{ 1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2 }|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$

Inne właściwości

${\ Displaystyle \ suma _ {m} (-1) ^ {jm} \ langle j \ m \ j \ (-m) | J \ 0 \ rangle = \ delta _ {J, 0} {\ sqrt {2j+1}}}$

SU( n ) współczynniki Clebscha-Gordana

Dla arbitralnych grup i ich reprezentacji współczynniki Clebscha-Gordana nie są ogólnie znane. Znane są jednak algorytmy do wytwarzania współczynników Clebscha-Gordana dla specjalnej grupy unitarnej . W szczególności, współczynniki su (3) Clebsch-Gordan zostały wyliczone w tabeli i z powodu ich użyteczności w charakteryzowaniu hadronów zaników, w którym aromat istnieje -SU (3) symetrii, która odnosi się do góry , w dół i obcych kwarkach. Interfejs internetowy tabulacja współczynników su (N) Clebsch-Gordan jest łatwo dostępna.

Zobacz też

Uwagi

Uwagi

Bibliografia

• Alex, A.; Kalus, M.; Huckleberry, A.; von Delft, J. (2011). „Algorytm numeryczny do jawnego obliczania SU (N) i SL (N, C) współczynników Clebscha-Gordana”. J. Matematyka. Fiz . 82 (2): 023507. arXiv : 1009.0437 . Kod bib : 2011JMP ....52b3507A . doi : 10.1063/1.3521562 .
• Condon, Edward U.; Shortley, GH (1970). „Rozdz. 3”. Teoria widm atomowych . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 978-0-521-09209-8.
• Edmonds, AR (1957). Pęd kątowy w mechanice kwantowej . Princeton, New Jersey: Princeton University Press. Numer ISBN 978-0-691-07912-7.
• Greinera, Waltera ; Müllera, Berndta (1994). Mechanika kwantowa: symetrie (2nd ed.). Springer Verlag . Numer ISBN 978-3540580805.
• Hall, Brian C. (2015), Grupy Liego, algebry Liego i reprezentacje: wprowadzenie elementarne , teksty magisterskie z matematyki, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Kaplana, LM; Resnikoff, M. (1967). „Produkty macierzy i wyraźne 3, 6, 9 i 12j współczynniki regularnej reprezentacji SU (n)”. J. Matematyka. Fiz . 8 (11): 2194. Kod bib : 1967JMP....8.2194K . doi : 10.1063/1.1705141 .
• Kaeding, Thomas (1995). „Tabele czynników izoskalarnych SU(3)”. Tabele danych atomowych i danych jądrowych . 61 (2): 233–288. arXiv : nucl-th/9502037 . Kod bib : 1995ADNDT..61..233K . doi : 10.1006/adnd.1995.1011 .
• Merzbacher, Eugen (1998). Mechanika kwantowa (3rd ed.). Johna Wileya. s.  428 –9. Numer ISBN 978-0-471-88702-7.
• Albert Mesjasz (1966). Mechanika kwantowa (tom I i II), tłumaczenie na język angielski z francuskiego: GM Temmer. Holandia Północna, John Wiley & Sons.
• de Swart, JJ (1963). „Model Octet i jego współczynniki Clebscha-Gordana” . Mod. Fiz. (Przesłany rękopis). 35 (4): 916. Kod bib : 1963RvMP...35..916D . doi : 10.1103/RevModPhys.35.916 .

Zewnętrzne linki

• Nakamura, Kenzo; i in. (2010). „Przegląd fizyki cząstek: współczynniki Clebscha-Gordana, harmoniki sferyczne i funkcje d ” (PDF) . Journal of Physics G: Fizyka Jądrowa i Cząstek . 37 (75021): 368. Częściowa aktualizacja do edycji 2012
• Kalkulator sieciowy współczynników Clebscha-Gordana, 3-j i 6-j
• Kalkulator współczynnika Clebscha-Gordana do pobrania dla komputerów Mac i Windows
• Interfejs sieciowy do tabelaryzowania współczynników SU(N) Clebscha-Gordana

Dalsza lektura

• Mechanika kwantowa , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Easy Oulines Crash Course Schauma, McGraw Hill (USA), 2006, ISBN  978-007-145533-6
• Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych, jąder i cząstek (wydanie drugie), R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
• Mechanika kwantowa , E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  978-0-13-146100-0
• Fizyka atomów i cząsteczek , BH Bransden, CJ Joachain, Longman, 1983, ISBN  0-582-44401-2
• The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2 .
• Encyklopedia Fizyki (2nd Edition), RG Lerner , GL Trigg, VHC Publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Encyklopedia fizyki McGraw Hill (wydanie drugie), CB Parker, 1994, ISBN  0-07-051400-3
• Biedenharn, LC; Luck, JD (1981). Pęd kątowy w fizyce kwantowej . Czytanie, Massachusetts: Addison-Wesley. Numer ISBN 978-0-201-13507-7.
• Brzeg, DM; Satchler, GR (1993). „Rozdz. 2”. Pęd kątowy (3rd ed.). Oxford: Clarendon Press. Numer ISBN 978-0-19-851759-7.
• Mesjasz Albert (1981). „Rozdz. XIII”. Mechanika Kwantowa (Tom II) . Nowy Jork: North Holland Publishing. Numer ISBN 978-0-7204-0045-8.
• Zare, Richard N. (1988). „Rozdz. 2”. Pęd kątowy . Nowy Jork: John Wiley i synowie. Numer ISBN 978-0-471-85892-8.