Topologia, którą można zliczyć - Cocountable topology

Cocountable topologii lub przeliczalny Topologia uzupełnienie na każdym zbiorze X składa się ze zbioru pustego i wszystkich cocountable podzbiorów X , czyli wszystkie zestawy, których dopełnienie w X jest przeliczalny . Wynika z tego, że tylko zamknięte są podzbiory X i przeliczalne podzbiory X .

Każdy zestaw X z cocountable topologii jest Lindelof , gdyż każdy niepustych zbiór otwarty pomija tylko przeliczalnie wiele punktów X . Jest to również T ₁ , ponieważ wszystkie singletony są zamknięte.

Jeśli X jest zbiorem niepoliczalnym, dwa dowolne zbiory otwarte przecinają się, stąd przestrzeń nie jest Hausdorffem . Jednak w topologii dającej się zliczać wszystkie zbieżne sekwencje są ostatecznie stałe, więc granice są niepowtarzalne. Ponieważ zbiory zwarte w X są podzbiorami skończonymi, wszystkie podzbiory zwarte są zamknięte, co jest kolejnym warunkiem zwykle związanym z aksjomatem separacji Hausdorffa.

Topologia policzalna w policzalnym zbiorze jest topologią dyskretną . Topologia policzalna w niepoliczalnym zbiorze jest hiperłączona , a więc połączona , połączona lokalnie i pseudokompaktowa , ale ani słabo policzalnie zwarta, ani metakompaktowa , a zatem nie zwarta.

Zobacz też

• Topologia współdzielona
• Lista topologii

Bibliografia

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( przedruk Dover z 1978 r.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446 (Patrz przykład 20) .