Pseudokompaktowa przestrzeń - Pseudocompact space

W matematyce , w dziedzinie topologii , mówi się , że przestrzeń topologiczna jest pseudozwarta , jeśli jej obraz pod jakąkolwiek funkcją ciągłą do R jest ograniczony . Wielu autorów umieszcza w definicji pseudozwartości wymóg, aby przestrzeń była całkowicie regularna . Przestrzenie pseudozwarte zostały zdefiniowane przez Edwina Hewitta w 1948 roku.

Właściwości związane z pseudozwartością

  • Dla przestrzeni Tichonowa X bycia pseudozwarta wymaga, aby każdy lokalnie skończony zbiór z niepustych zbiorów otwartych w X jest skończony . Istnieje wiele równoważnych warunków dla pseudozwartości (czasami należy przyjąć jakiś aksjomat separacji ); duża ich liczba jest cytowana w Stephenson 2003. Kilka uwag historycznych na temat wcześniejszych wyników można znaleźć w Engelking 1989, s. 211.
  • Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń jest pseudokompaktowa. Dla normalnych przestrzeni Hausdorffa jest odwrotnie.
  • W konsekwencji powyższego wyniku każda sekwencyjnie zwarta przestrzeń jest pseudozwarta. Odwrotność jest prawdziwa dla przestrzeni metrycznych . Ponieważ zwartość sekwencyjna jest warunkiem równoważnym do zwartości przestrzeni metrycznych, oznacza to, że zwartość jest warunkiem równoważnym do pseudozwartości również dla przestrzeni metrycznych.
  • Słabszy wynik, że każda zwarta przestrzeń jest pseudozwarta, można łatwo udowodnić: obraz zwartej przestrzeni pod dowolną ciągłą funkcją jest zwarty, a każdy zwarty zbiór w przestrzeni metrycznej jest ograniczony.
  • Jeśli Y jest ciągłym obrazem pseudozwartego X , to Y jest pseudozwartym. Należy zauważyć, że dla funkcji ciągłych g  :  X  →  Y i h  :  Y  →  R , do kompozycji o g i h , zwany F jest funkcją ciągłą od X do rzeczywistych. Dlatego f jest ograniczone, a Y jest pseudozwarte.
  • Niech X będzie zbiorem nieskończonym przy danej topologii punktowej . Wtedy X nie jest ani zwarty, sekwencyjnie zwarty, przeliczalnie zwarty, parazwarty ani metazwarty (chociaż jest ortozwarty ). Ponieważ jednak X jest hiperpołączone, jest pseudozwarte. To pokazuje, że pseudozwartość nie implikuje żadnej z tych innych form zwartości.
  • Aby przestrzeń Hausdorffa X była zwarta , X musi być pseudozwartą i rzeczywistą zwartą (zob. Engelking 1968, s. 153).
  • Aby przestrzeń Tychonowa X była zwarta wymaga, aby X był pseudozwarty i metazwarty (patrz Watson).

Pseudokompaktowe grupy topologiczne

Dla pseudozwartych grup topologicznych dostępna jest stosunkowo wyrafinowana teoria . W szczególności WW Comfort i Kenneth A. Ross udowodnili, że iloczyn pseudozwartych grup topologicznych jest nadal pseudozwarty (może to się nie udać dla dowolnych przestrzeni topologicznych).

Uwagi

Zobacz też

Bibliografia

  • Engelking, Ryszard (1968), Zarys topologii ogólnej , przekład z polskiego, Amsterdam: North-Holland.
  • Engelking, Ryszard (1989), Topologia ogólna , Berlin: Heldermann Verlag.
  • Kerstan, Johannes (1957), „Zur Charakterisierung der pseudokompakten Räume”, Mathematische Nachrichten , 16 (5–6): 289–293, doi : 10.1002/mana.19570160505.
  • Stephenson, RM Jr (2003), Pseudocompact Spaces , rozdział d-7 w Encyclopedia of General Topology, pod redakcją: Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata i Jerry E. Vaughan, strony 177-181, Amsterdam: Elsevier BV.
  • Watson, W. Stephen (1981), „Pseudokompaktowe przestrzenie metazwarte są zwarte”, Proc. Amer. Matematyka. Soc. , 81 : 151–152, doi : 10.1090/s0002-9939-1981-0589159-1.
  • Willard, Stephen (1970), Topologia ogólna , Reading, Mass.: Addison-Wesley.
  • Yan-Min, Wang (1988), „Nowe charakterystyki przestrzeni pseudozwartych”, Bull. Południowy. Matematyka. Soc. , 38 (2): 293–298, doi : 10.1017/S0004972700027568.

Linki zewnętrzne