Koniunkcja logiczna - Logical conjunction
ORAZ | |
---|---|
Definicja | |
Tabela prawdy | |
Bramka logiczna | |
Normalne formy | |
Dysjunktywny | |
Łączący | |
Wielomian Żegalkina | |
Kraty posta | |
0-zachowanie | tak |
1-konserwujący | tak |
Monotonia | nie |
Affine | nie |
W logice , matematyce i językoznawstwie , A ( ) jest operatorem prawdziwościowym koniunkcji logicznej ; i stanowi zbiór argumentów jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego argumenty są prawdziwe. Logiczne łącznej , która reprezentuje ten operator jest zazwyczaj zapisana jako lub ⋅ .
jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwe i jest prawdziwe.
Operand spójnika jest koniunkcją .
Poza logiką termin „koniunkcja” odnosi się również do podobnych pojęć w innych dziedzinach:
- W języku naturalnym , oznaczenie wyrażeń takich jak angielski „i”.
- W językach programowania , zwarcie i struktura sterowania .
- W teorii mnogości , przecięcie .
- W teorii sieci , koniunkcja logiczna ( największa dolna granica ).
- W logice predykatów , uniwersalna kwantyfikacja .
Notacja
I jest zwykle oznaczany przez operator wrostkowy: w matematyce i logice jest oznaczany przez , & lub × ; w elektronice, ⋅ ; oraz w językach programowania , , lub . W Jana Łukasiewicza jest prefiks notacja dla logiki , operator jest K , dla polskiego koniunkcja .
&
&&
and
Definicja
Koniunkcja logiczna to operacja na dwóch wartościach logicznych , zazwyczaj wartościach dwóch zdań , która daje wartość true wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej argumenty są prawdziwe.
Tożsamość koniunkcyjna jest prawdziwa, co oznacza, że AND-podanie wyrażenia z prawdą nigdy nie zmieni wartości wyrażenia. Zgodnie z koncepcją bezsensownej prawdy , gdy koniunkcja jest definiowana jako operator lub funkcja arbitralnej arności , pusta koniunkcja (AND-ing nad pustym zbiorem argumentów) jest często definiowana jako mająca wynik prawdziwy.
Tabela prawdy
Tabela prawdy od :
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | F |
Zdefiniowane przez innych operatorów
W systemach, w których koniunkcja logiczna nie jest pierwotną, można ją zdefiniować jako
lub
Wprowadzenie i zasady eliminacji
Z reguły wprowadzenie koniunkcji jest klasycznie ważną , prostą formą argumentacji . Forma argumentu ma dwie przesłanki, A i B . Intuicyjnie pozwala wnioskować o ich koniunkcji.
- ,
- B .
- Dlatego A i B .
lub w notacji operatorów logicznych :
Oto przykład argumentu, który pasuje do wstępu do spójników formularza :
- Bob lubi jabłka.
- Bob lubi pomarańcze.
- Dlatego Bob lubi jabłka, a Bob lubi pomarańcze.
Eliminacja koniunkcji to kolejna klasycznie poprawna , prosta forma argumentu . Intuicyjnie pozwala na wnioskowanie z dowolnej koniunkcji dowolnego elementu tej koniunkcji.
- A i B .
- Dlatego A .
...lub alternatywnie,
- A i B .
- Dlatego B .
W notacji operatorów logicznych :
...lub alternatywnie,
Negacja
Definicja
Koniunkcji jest być fałszywe poprzez ustanowienie albo albo . Jeśli chodzi o język obiektowy, brzmi to
Ta formuła może być postrzegana jako szczególny przypadek
kiedy jest to fałszywa propozycja.
Inne strategie dowodowe
Jeśli implikuje , to zarówno, jak i udowodnij, że spójnik jest fałszywy:
Innymi słowy, można udowodnić, że koniunkcja jest fałszywa po prostu wiedząc o relacji jego koniunkcji, a nie koniecznie o ich wartościach prawdziwości.
Ta formuła może być postrzegana jako szczególny przypadek
kiedy jest to fałszywa propozycja.
Każdy z powyższych jest konstruktywnie ważnymi dowodami przez sprzeczność.
Nieruchomości
przemienność : tak
asocjatywność : tak
dystrybucyjność : z różnymi operacjami, zwłaszcza z or
inni | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
z wyłącznym lub : z materialnym brakiem implikacji : ze sobą: |
idempotencja : tak
monotoniczność : tak
zachowywanie prawdy: tak
Gdy wszystkie dane wejściowe są prawdziwe, dane wyjściowe są prawdziwe.
(być testowanym) |
zachowywanie fałszu: tak
Gdy wszystkie dane wejściowe są fałszywe, wyjście jest fałszywe.
(być testowanym) |
Widmo Walsha : (1,-1,-1,1)
Dla liniowości : 1 (funkcja jest wygięty )
Jeśli używasz wartości binarnych dla prawdy (1) i fałszu (0), to koniunkcja logiczna działa dokładnie tak, jak normalne mnożenie arytmetyczne .
Zastosowania w inżynierii komputerowej
W programowaniu komputerowym wysokiego poziomu i elektronice cyfrowej koniunkcja logiczna jest powszechnie reprezentowana przez operator wrostkowy, zwykle jako słowo kluczowe, takie jak „ AND
”, mnożenie algebraiczne lub symbol ampersand &
(czasami podwojony jak w &&
). Wiele języków zapewnia również struktury kontroli zwarcia odpowiadające koniunkcjom logicznym.
Sprzężenie logiczne jest często używane do operacji bitowych, gdzie 0
odpowiada fałsz i 1
prawda:
-
0 AND 0
=0
, -
0 AND 1
=0
, -
1 AND 0
=0
, -
1 AND 1
=1
.
Operacja może być również zastosowana do dwóch binarnych słów postrzeganych jako ciągi bitów o równej długości, biorąc bitowe AND każdej pary bitów w odpowiednich pozycjach. Na przykład:
-
11000110 AND 10100011
=10000010
.
Można to wykorzystać do wybrania części ciągu bitów za pomocą maski bitowej . Na przykład = wyodrębnia piąty bit z 8-bitowego ciągu bitów.
10011101 AND 00001000
00001000
W sieciach komputerowych maski bitowe są używane do uzyskania adresu sieciowego podsieci w istniejącej sieci z danego adresu IP poprzez połączenie adresu IP i maski podsieci AND .
Sprzężenie logiczne „ AND
” jest również używane w operacjach SQL do tworzenia zapytań do bazy danych .
Korespondencja Curry-Howard dotyczy logiczną koniunkcję do typów produktów .
Korespondencja mnogościowa
Przynależność elementu zbioru przecięcia w teorii mnogości jest definiowana za pomocą koniunkcji logicznej: x ∈ A ∩ B wtedy i tylko wtedy, gdy ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ). Dzięki tej korespondencji przecięcie teorii mnogości dzieli kilka własności z logiczną koniunkcją, takich jak asocjatywność , przemienność i idempotencja .
Język naturalny
Podobnie jak w przypadku innych pojęć sformalizowanych w logice matematycznej, koniunkcja logiczna i jest powiązana z koniunkcją gramatyczną i w językach naturalnych , ale nie to samo .
Angielskie „i” ma właściwości, które nie są uchwycone przez spójnik logiczny. Na przykład „i” czasami oznacza porządek mający sens „wtedy”. Na przykład „Pobrali się i mieli dziecko” we wspólnym dyskursie oznacza, że małżeństwo było przed dzieckiem.
Słowo „i” może również oznaczać podział rzeczy na części, ponieważ „Amerykańska flaga jest czerwona, biała i niebieska”. Tutaj nie chodzi o to, że flaga jest jednocześnie czerwona, biała i niebieska, ale raczej o to, że ma część każdego koloru.
Zobacz też
- I-inwerter wykres
- I brama
- Bitowe AND
- Algebra Boole'a (logika)
- Tematy algebry Boole'a
- Spójne zapytanie logiczne
- Domena logiczna
- Funkcja Boole'a
- Funkcja o wartości logicznej
- Eliminacja koniunkcji
- Prawa de Morgana
- Logika pierwszego rzędu
- Nierówności Frécheta
- Spójnik gramatyczny
- Logiczna alternatywa
- Logiczna negacja
- Wykres logiczny
- Operacja
- notacja Peano-Russell
- Rachunek zdań
Bibliografia
Zewnętrzne linki
- "Koniunkcja" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
- Wolfram MathWorld: Koniunkcja
- "Tabela własności i prawdy twierdzeń AND" . Zarchiwizowane z oryginału 6 maja 2017 r.