Metoda efektów elementarnych - Elementary effects method

Metoda efektów elementarnych (EE) jest najczęściej stosowaną metodą przesiewową w analizie wrażliwości .

EE stosuje się do identyfikacji niewpływających danych wejściowych dla kosztownego obliczeniowo modelu matematycznego lub dla modelu z dużą liczbą danych wejściowych, gdzie koszty oszacowania innych miar wrażliwości, takich jak miary oparte na wariancji , są nieosiągalne. Podobnie jak w przypadku wszystkich screeningu, metoda EE zapewnia jakościową analizę wrażliwości, tj. Miary, które pozwalają na identyfikację niewpływających danych wejściowych lub które pozwalają uszeregować czynniki wejściowe według ważności, ale nie pozwalają dokładnie określić ilościowo względnej ważności danych wejściowych.

Metodologia

Aby zilustrować metodę EE, załóżmy, że rozważymy model matematyczny z czynnikami wejściowymi. Niech będzie wynikiem zainteresowania (dla uproszczenia skalarem): ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle Y}$

${\ Displaystyle Y = f (X_ {1}, X_ {2}, ... X_ {k}).}$

Oryginalna metoda EE Morrisa zapewnia dwie miary wrażliwości dla każdego czynnika wejściowego:

• środek , oceniający ogólne znaczenie czynnika wejściowego dla wyniku modelu; ${\ displaystyle \ mu}$
• miara opisująca nieliniowe efekty i interakcje. ${\ displaystyle \ sigma}$

Te dwie miary uzyskuje się dzięki projektowi opartemu na konstrukcji szeregu trajektorii w przestrzeni danych wejściowych, w których sygnały wejściowe są losowo przemieszczane One-At-a-Time (OAT). W tym projekcie zakłada się, że dane wejściowe każdego modelu różnią się na wybranych poziomach w przestrzeni czynników wejściowych. Obszar eksperymentów jest więc siatką na poziomie -wymiarowym . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle p}$

Każdy tor składa się z punktów od czynników wejściowych przenieść jeden przez jednego kroku w podczas gdy wszyscy inni pozostają stałe. ${\ displaystyle (k + 1)}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ {0,1 / (p-1), 2 / (p-1), ..., 1 \}}$

Wzdłuż każdej trajektorii tak zwany efekt elementarny dla każdego czynnika wejściowego definiuje się jako:

${\ Displaystyle d_ {i} (X) = {\ Frac {Y (X_ {1}, \ ldots, X_ {i-1}, X_ {i} + \ Delta, X_ {i + 1}, \ ldots, X_ {k}) - Y (\ mathbf {X})} {\ Delta}}}$ ,

gdzie jest dowolną wybraną wartością w taki sposób, że przekształcony punkt nadal znajduje się w każdym indeksie ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, X_ {2}, ... X_ {k})}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle i = 1, \ ldots, k.}$

${\ displaystyle r}$ Efekty elementarne są szacowane dla każdego wejścia przez losowe punkty próbkowania . ${\ Displaystyle d_ {i} \ lewo (X ^ {(1)} \ prawej), d_ {i} \ lewo (X ^ {(2)} \ prawo), \ ldots, d_ {i} \ lewo (X ^ {(r)} \ right)}$ ${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle X ^ {(1)}, X ^ {(2)}, \ ldots, X ^ {(r)}}$

Zwykle ~ 4-10, w zależności od liczby czynników wejściowych, kosztu obliczeniowego modelu i wyboru liczby poziomów , ponieważ duża liczba poziomów do zbadania musi być zrównoważona dużą liczbą trajektorii w celu uzyskania próbki eksploracyjnej. Wykazano, że jest to dogodny dobór parametrów i jest równy i równy , gdyż zapewnia to jednakowe prawdopodobieństwo próbkowania w przestrzeni wejściowej. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle p / [2 (p-1)]}$

W przypadku, gdy współczynniki wejściowe nie są równomiernie rozłożone, najlepszą praktyką jest próbkowanie w przestrzeni kwantyli i uzyskiwanie wartości wejściowych przy użyciu funkcji odwrotnego rozkładu skumulowanego. Zauważ, że w tym przypadku jest równy krokowi wykonanemu przez dane wejściowe w przestrzeni kwantyli. ${\ displaystyle \ Delta}$

Dwie miary i są zdefiniowane jako średnia i odchylenie standardowe rozkładu efektów elementarnych każdego wkładu: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ Displaystyle \ mu _ {i} = {\ Frac {1} {r}} \ sum _ {j = 1} ^ {r} d_ {i} \ lewo (X ^ {(j)} \ prawej)}$ ,

${\ displaystyle \ sigma _ {i} = {\ sqrt {{\ Frac {1} {(r-1)}} \ sum _ {j = 1} ^ {r} \ lewo (d_ {i} \ lewo ( X ^ {(j)} \ right) - \ mu _ {i} \ right) ^ {2}}}}$ .

Te dwie miary należy odczytywać łącznie (np. Na dwuwymiarowym wykresie) w celu uszeregowania czynników wejściowych w kolejności ich ważności i zidentyfikowania tych danych wejściowych, które nie mają wpływu na zmienność wyników. Niskie wartości obu i odpowiadają wejściu bez wpływu. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$

Udoskonalenie tej metody zostało opracowane przez Campolongo i wsp. który zaproponował zrewidowany środek , który sam w sobie jest wystarczający, aby zapewnić wiarygodny ranking czynników wejściowych. Zmieniona miara jest średnią z rozkładu wartości bezwzględnych elementarnych skutków czynników wejściowych: ${\ displaystyle \ mu ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ mu _ {i} ^ {*} = {\ Frac {1} {r}} \ suma _ {j = 1} ^ {r} \ lewo | d_ {i} \ lewo (X ^ {( j)} \ right) \ right |}$ .

Użycie znaku rozwiązuje problem skutków przeciwnych znaków, który występuje, gdy model nie jest monotoniczny i które mogą się wzajemnie znosić, co skutkuje niską wartością for . ${\ displaystyle \ mu ^ {*}}$${\ displaystyle \ mu}$

Skuteczny schemat techniczny konstruowania trajektorii wykorzystywanych w metodzie EE został przedstawiony w oryginalnej pracy Morrisa, natomiast strategię doskonalenia mającą na celu lepsze badanie przestrzeni wejściowej zaproponowali Campolongo i in.

Bibliografia