Formuła wykładnicza - Exponential formula

W kombinatorycznych matematyki The wzór wykładniczy (zwane rozszerzenie polimer w fizyce ) wskazuje, że funkcja wykładnicza generowania struktur o ograniczonych zestawów jest wykładniczą funkcji wykładniczej generujący połączonych struktur. Formuła wykładnicza jest seryjną wersją szczególnego przypadku formuły Faà di Bruno .

Oświadczenie

Dla dowolnego formalnego szeregu potęgowego postaci

{\ Displaystyle f (x) = a_ {1} x + {a_ {2} \ ponad 2} x ^ {2} + {a_ {3} \ ponad 6} x ^ {3} + \ cdots + {a_ {n } \over n!}x^{n}+\cdots \,}

mamy

{\ Displaystyle \ exp f (x) = e ^ {f (x)} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {b_ {n} \ ponad n!} x ^ {n} \, }

gdzie

{\ Displaystyle b_ {n} = \ suma _ {\ pi = \ lewo \ {\, S_ {1}, \, \ kropki, \, S_ {k} \ \ prawo \}} a_ {\ lewo | S_ {1}\right|}\cdots a_{\left|S_{k}\right|},}

a indeks

π

przebiega przez listę wszystkich podziałów { S ₁ , ..., S _k } zbioru { 1, ..., n }. (Gdy produkt jest pusty i z definicji wynosi 1.)

k=0,

Wzór można zapisać w postaci:

{\ Displaystyle b_ {n} = B_ {n} (a_ {1}, a_ {2}, \ kropki, a_ {n})}

a zatem

{\ Displaystyle \ exp \ lewo (\ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ {n} \ ponad n!} x ^ {n} \ po prawej) = \ suma _ {n = 0} ^ { \infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}

gdzie B _n ( ₁ , ..., _n ) jest n p zakończeniu wielomian Bell .

Alternatywnie, wzór wykładniczy można również zapisać za pomocą wskaźnika cyklu grupy symetrycznej w następujący sposób:

{\ Displaystyle \ exp \ lewo (\ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} {x ^ {n} \ ponad n} \ po prawej) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty }Z_{n}(a_{1},\kropki ,a_{n})x^{n},}

gdzie Z _n oznacza wielomian wskaźnika cyklu, dla grupy symetrycznej zdefiniowanej jako:

S_{n}

{\ Displaystyle Z_ {n} (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) = {\ Frac {1} {n!}} \ suma _ {\ sigma \ w S_ {n}} x_ {1} ^{\sigma _{1}}\cdots x_{n}^{\sigma _{n}}}

i oznacza liczbę cykli wielkości . Jest to konsekwencja ogólnego związku między wielomianami Bella i wielomianami Bella :

{\ Displaystyle \ sigma _ {j}}

\sigma

{\ Displaystyle j \ w \ {1, \ cdots, n \}}

{\ Displaystyle Z_ {n}}

{\ Displaystyle Z_ {n} (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) = {1 \ ponad n!} B_ {n} (0! \, x_ {1}, 1! \, x_ {2 },\kropki ,(n-1)!\,x_{n}).}

Przykłady

$b_{3}=B_{3}(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{3}+3a_{2}a_{1}+a_{1}^{3 },$ ponieważ jest jedna partycja zbioru { 1, 2, 3 }, która ma pojedynczy blok o rozmiarze 3, istnieją trzy partycje { 1, 2, 3 }, które dzielą go na blok o rozmiarze 2 i blok o rozmiarze 1 i jest jeden podział { 1, 2, 3 }, który dzieli ją na trzy bloki o rozmiarze 1. Wynika to również z , ponieważ można zapisać grupę jako , używając notacji cyklicznej dla permutacji. $Z_{3}(a_{1},a_{2},a_{3})={1 \ponad 6}(2a_{3}+3a_{1}a_{2}+a_{1}^ {3})={1 \ponad 6}B_{3}(a_{1},a_{2},2a_{3})$ $S_{3}$ ${\ Displaystyle S_ {3} = \ {(1) (2) (3), (1) (23), (2) (13), (3) (12), (123), (132) \} }$
Jeśli jest kilka wykresów, których wierzchołki są dane

N -punktowej jest ustawiona, wówczas _n to liczba połączonych wykresów, których wierzchołki są dane N -punktowej zestawu.

{\ Displaystyle b_ {n} = 2 ^ {n (n-1)/2}}

Istnieją liczne odmiany z poprzedniego przykładu, w którym wykres ma pewne właściwości, na przykład: jeśli b _n zlicza wykresy bez cykli, a następnie A _N zlicza drzewa (połączonych wykresy bez cykli).

Jeśli b _n liczy grafy skierowane, których krawędzie (a nie wierzchołki) są danym zbiorem n punktów, to a _n liczy grafy skierowane połączone z tą krawędzią s

Aplikacje

W aplikacjach liczby a _n często liczą liczbę pewnego rodzaju „połączonych” struktur w zbiorze n- punktowym, a liczby b _n liczą liczbę (prawdopodobnie rozłączonych) struktur. Liczby b _n / n ! policz liczbę klas izomorfizmu struktur na n punktach, przy czym każda struktura jest ważona przez odwrotność jej grupy automorfizmu, a liczby a _n / n ! w ten sam sposób policzyć klasy izomorfizmu połączonych struktur.

W kwantowej teorii pola i mechanice statystycznej funkcje podziału Z , lub bardziej ogólnie funkcje korelacji , są podane przez formalną sumę na diagramach Feynmana . Wykładniczy wzór pokazuje, że log( Z ) można zapisać jako sumę na połączonych diagramach Feynmana, pod względem połączonych funkcji korelacji .

Zobacz też

Surjekcja przestrzeni Frécheta – Charakterystyka suriektywizmu

Bibliografia

Stanley, Richard P. (1999), Kombinatoryka enumeracyjna. Tom. 2 , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 62 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56069-6, MR 1676282 , ISBN 978-0-521-78987-5 Rozdział 5

Languages

In other projects