Grupa symetryczna - Symmetric group

Cayley wykres grupy symetrycznie S, ₄

Cayley tabela grupy symetrycznie S ₃
( tabela mnożenia z matryc permutacji )

Są to pozycje sześciu macierzy: Niektóre schematy nie są rozmieszczone symetrycznie względem głównej przekątnej - tym samym nie jest symetryczna grupa abelowa.

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro obraz suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór Koło Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v T mi

W abstrakcyjnej Algebra The grupa symetryczny zdefiniowano w dowolnym zestawie jest grupa , której elementy są wszystkie bijections z zestawu do siebie, i których działanie grupa jest kompozycja funkcji . W szczególności, ograniczony symetryczna grupa zdefiniowana przez skończonego zbioru z symboli składa się permutacji , które mogą być wykonywane na symbole. Ponieważ istnieją ( silnia ) takie operacje permutacyjne, kolejność (liczba elementów) grupy symetrycznej to . ${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle n!}$${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {n}}$${\displaystyle n!}$

Chociaż grupy symetryczne można zdefiniować na zbiorach nieskończonych , ten artykuł skupia się na skończonych grupach symetrycznych: ich zastosowaniach, ich elementach, ich klasach sprzężeń , skończonej prezentacji , ich podgrupach , ich grupach automorficznych i ich teorii reprezentacji . W dalszej części tego artykułu „grupa symetryczna” będzie oznaczać grupę symetryczną na zbiorze skończonym.

Grupa symetryczny ważne jest, aby w różnych dziedzinach matematycznych takich jak teorii Galois , teorii stałych , w teorii reprezentacji grup Lie i kombinatoryki . Twierdzenie Cayleya mówi, że każda grupa jest izomorficzna z podgrupą grupy symetrycznej na ( podstawowym zbiorze ) . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

Definicja i pierwsze właściwości

Grupa symetryczna na zbiorze skończonym to grupa, której wszystkie elementy są funkcjami bijektywnymi od do i których działaniem grupowym jest działanie złożenie funkcji . W przypadku zbiorów skończonych „permutacje” i „funkcje bijektywne” odnoszą się do tej samej operacji, mianowicie przegrupowania. Symetryczna grupa stopni to symetryczna grupa na planie . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle X = \ {1,2, \ ldots, n \}}$

Grupa symetryczne na zestawie jest oznaczona na różne sposoby, w tym , , , i . Jeśli jest zbiorem następnie nazwa może być skrócona do , , , lub . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {X}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {X}}$${\displaystyle X!}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Sym} (X)}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle \{1,2,\ldots,n\}}$${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Sym} (n)}$

Grupy symetryczne na zbiorach nieskończonych zachowują się zupełnie inaczej niż grupy symetryczne na zbiorach skończonych, co omówiono w ( Scott 1987 , rozdz. 11), ( Dixon i Mortimer 1996 , rozdz. 8) i ( Cameron 1999 ).

Grupa symetryczne na zestaw elementów ma kolejność (The czynnikowe z ). Jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest mniejsza lub równa 2. Dla i ( zbiór pusty i zbiór singletonów ), grupy symetryczne są trywialne (mają porządek ). Grupa S _n jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy . Jest to zasadnicza część dowodu twierdzenia Abla-Ruffiniego, z którego wynika, że ​​dla każdego istnieją wielomiany stopnia, które nie są rozwiązywalne przez pierwiastki, czyli rozwiązania nie mogą być wyrażone przez wykonanie skończonej liczby operacji dodawania, odejmowania , mnożenie, dzielenie i ekstrakcja pierwiastków na współczynnikach wielomianu. ${\ Displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle 0!=1!=1}$${\displaystyle n\leq 4}$${\displaystyle n>4}$${\ Displaystyle n}$

Aplikacje

Grupa symetryczna na zbiorze o rozmiarze n jest grupą Galois ogólnego wielomianu stopnia n i odgrywa ważną rolę w teorii Galois . W teorii niezmienniczej grupa symetryczna działa na zmienne funkcji wielowymiarowej, a funkcje lewostronne to tak zwane funkcje symetryczne . W teorii reprezentacji grup Liego The teorii reprezentacji grupy symetrycznej odgrywa fundamentalną rolę poprzez idee funktorów Schura . W teorii grup Coxeter grupa symetryczny jest grupa Coxeter typu A, _n i występuje jako grupa Weyl o ogólnym grupę liniową . W kombinatoryki , grupy symetryczne, ich elementy ( permutacje ) oraz ich reprezentacje stanowią bogate źródło problemów związanych Młody żywe obrazy , Plactic monoids , a G. Bruhat zamówienie . Podgrupy grup symetrycznych są nazywane grupami permutacji i są szeroko badane ze względu na ich znaczenie w zrozumieniu działania grupy , jednorodnych przestrzeni i grup automorfizm z wykresu , takimi jak grupy Higman-Sims i wykresu Higman-Sims .

Elementy

Elementy grupy symetrycznie na zbiorze X są kombinacje z X .

Mnożenie

Operacja grupowa w grupie symetrycznej to złożenie funkcji , oznaczana symbolem ∘ lub po prostu zestawieniem permutacji. Kompozycja F ∘ g permutacji f i g , wymawiana jako " f o g " odwzorowuje każdy element X z X do f ( g ( x )). Konkretnie, niech (patrz permutacja dla wyjaśnienia notacji):

${\ Displaystyle f = (1 \ 3) (4 \ 5) = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 2, 3 i 4 i 5 \ \ 3 i 2 i 1 i 5 i 4 \ koniec {pmatrix}}}$

${\ Displaystyle g = (1\ 2\ 5) (3\ 4) = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 2 i 3 i 4 i 5 \ \ 2 i 5 i 4 i 3 i 1 \ koniec {pmatrix}}.}$

Zastosowanie f po g odwzorowuje 1 najpierw na 2, a następnie 2 na siebie; 2 do 5, a następnie do 4; 3 do 4, a potem do 5 i tak dalej. Więc komponowanie f i g daje

${\ Displaystyle fg = f \ circ g = (1 \ 2 \ 4) (3 \ 5) = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 2 i 3 i 4 i 5 \ \ 2 i 4 i 5 i 1 i 3 \ koniec {pmatrix}}.}$

Cykl o długości L = k · m , wykonane z k do potęgi, rozkładają się w k cykli o długości m , na przykład: ( k = 2 , m = 3 ),

${\ Displaystyle (1 ~ 2 ~ 3 ~ 4 ~ 5 ~ 6) ^ {2} = (1 ~ 3 ~ 5) (2 ~ 4 ~ 6).}$

Weryfikacja aksjomatów grupowych

Aby sprawdzić, czy grupa symetryczna na zbiorze X rzeczywiście jest grupą , konieczne jest zweryfikowanie grupowych aksjomatów domknięcia, asocjatywności, identyczności i odwrotności.

1. Operacja złożenia funkcji jest zamknięta w zbiorze permutacji danego zbioru X .
2. Kompozycja funkcji jest zawsze asocjacyjna.
3. Trywialna bijekcja, która przypisuje każdy element X do siebie, służy jako tożsamość grupy.
4. Każda bijekcja ma funkcję odwrotną, która cofa jego działanie, a zatem każdy element grupy symetrycznej ma odwrotność, która jest również permutacją.

Transpozycje, znak i grupa alternująca

Transpozycja jest permutacja który wymienia dwa elementy i utrzymuje wszystkie inne stałe; na przykład (1 3) jest transpozycją. Każdą permutację można zapisać jako produkt transpozycji; na przykład permutację g z góry można zapisać jako g = (1 2) (2 5) (3 4). Ponieważ g można zapisać jako iloczyn nieparzystej liczby transpozycji, nazywa się to permutacją nieparzystą , podczas gdy f jest permutacją parzystą.

Przedstawienie permutacji jako produktu transpozycji nie jest unikatowe; jednak liczba transpozycji potrzebnych do przedstawienia danej permutacji jest zawsze parzysta lub zawsze nieparzysta. Istnieje kilka krótkich dowodów na niezmienność tej parzystości permutacji.

Iloczyn dwóch parzystych permutacji jest parzysty, iloczyn dwóch nieparzystych permutacji jest parzysty, a wszystkie inne iloczyny są nieparzyste. W ten sposób możemy zdefiniować znak permutacji:

${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} f = {\ zacząć {przypadki} + 1 i {\ tekst {jeżeli}} f {\ mbox {jest parzysty}} \ \ 1 i {\ tekst {jeżeli}} f {\text{ jest nieparzysty}}.\end{przypadki}}}$

Z tą definicją,

${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} \ dwukropek \ operatorname {S} _ {n} \ rightarrow \ {+1,-1 \} \}$

jest homomorfizmem grupy ({+1, –1} jest grupą mnożoną, gdzie +1 to e, element neutralny ). Jądro tego homomorfizmu, czyli zbiór wszystkich permutacji parzystych, nazywana jest grupa przemiennego _n . Jest to normalna podgrupa S _n , a dla n ≥ 2 ma n !/2 elementów. Grupa S _n jest półbezpośrednim iloczynem A _n i dowolnej podgrupy wygenerowanej przez pojedynczą transpozycję.

Ponadto każdą permutację można zapisać jako iloczyn sąsiednich transpozycji , czyli transpozycji postaci ( a a +1) . Na przykład, permutację g z góry można również zapisać jako g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5) . Zastosowaniem tego faktu jest algorytm sortowania bąbelkowego . Reprezentacja permutacji jako produktu sąsiednich transpozycji również nie jest wyjątkowa.

Cykle

Cykl o długości k jest permutacją F , dla których istnieje element X w {1, ..., n }, że x , f ( x ), f ² ( x ), ..., K ^k ( x ) = x to jedyne elementy przesuwane przez f ; wymagane jest, aby k ≥ 2, ponieważ przy k = 1 sam element x również nie byłby przesunięty. Permutacja h zdefiniowana przez

${\ Displaystyle h = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 2 i 3 i 4 i 5 \ \ 4 i 2 i 1 i 3 i 5 \ koniec {pmatrix}}}$

jest cyklem o długości trzy, ponieważ h (1) = 4 , h (4) = 3 i h (3) = 1 , pozostawiając 2 i 5 nietknięte. Taki cykl oznaczamy przez (1 4 3) , ale równie dobrze można go zapisać (4 3 1) lub (3 1 4) rozpoczynając w innym punkcie. Kolejność cyklu jest równa jego długości. Cykle o długości dwa są transpozycjami. Dwa cykle są rozłączne, jeśli poruszają rozłączne podzbiory elementów. Rozłączne cykle komutują : na przykład w S ₆ jest równość (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3) . Każdy element S _n można zapisać jako iloczyn rozłącznych cykli; Ta reprezentacja jest wyjątkowy do kolejności czynników, niniejszy swoboda reprezentujący każdy indywidualny cyklu poprzez wybór punktu początkowego.

Cykle dopuszczają następującą własność koniugacji z dowolną permutacją , ta własność jest często używana do uzyskania jej generatorów i relacji . ${\displaystyle \sigma}$

${\ Displaystyle \ Sigma {\ zacząć {pmatrix} a & b & c & \ ldots \ koniec {pmatrix}} \ sigma ^ {-1} = {\ zacząć {pmatrix} \ sigma (a) i \ sigma (b) i \ sigma (c )&\ldots \end{pmatrix}}}$

Elementy specjalne

Niektóre elementy symetrycznej grupy {1, 2, ..., n } są szczególnie interesujące (można je uogólnić na grupę symetryczną dowolnego skończonego, całkowicie uporządkowanego zbioru, ale nie na grupę nieuporządkowaną).

ten permutacją odwracającą kolejność jest ta podana przez:

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1 i 2 & \ cdots & n \ \ n & n-1 & \ cdots i 1 \ koniec {pmatrix}}.}$

Jest to unikalny element maksymalny w stosunku do rzędu Bruhata i najdłuższy element w grupie symetrycznej w odniesieniu do zbioru generującego składającego się z sąsiednich transpozycji ( i i +1) , 1 ≤ i ≤ n − 1 .

Jest to inwolucja i składa się z (nie sąsiadujących) transpozycji ${\displaystyle \lpodłoga n/2\rpodłoga}$

${\ Displaystyle (1 \ n) (2 \ n-1) \ cdots {\ tekst {lub}} \ suma _ {k = 1} ^ {n-1} k = {\ Frac {n (n -1)}{2}}{\text{ sąsiednie transpozycje: }}}$

${\displaystyle (n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots (2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\ cdoty ,}$

więc ma znak:

${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (\ rho _ {n}) = (-1) ^ {\ l piętro n/2 \ r piętro} = (-1) ^ {n (n-1)/2} = {\ begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

który jest 4-okresowy w n .

W S _{2 n} The doskonałe losowego jest permutacją zbioru, który dzieli się na 2 stosy i przeplata im. Jego znakiem jest również${\ Displaystyle (-1) ^ {\ l piętro n/2 \ r piętro}.}$

Zauważ, że odwrotność na n elementach i idealne przetasowanie na 2 n elementach mają ten sam znak; są one ważne dla klasyfikacji algebr Clifforda , które są ośmiookresowe.

Klasy koniugatu

Te klasy conjugacy z S _n odpowiadają strukturom cyklu permutacji; oznacza to, że dwa elementy S _n są sprzężone w S _n wtedy i tylko wtedy, gdy składają się z tej samej liczby rozłącznych cykli o tych samych długościach. Na przykład, w S ₅ (1 2 3) (4 5) i (1 3 4) (2 5) są sprzężone; (1 2 3) (4 5) i (1 2) (4 5) nie są. Sprzężony element _Sn może być skonstruowany w „notacji dwuliniowej” przez umieszczenie „zapisów cyklicznych” dwóch sprzężonych permutacji jeden na drugim. Kontynuując poprzedni przykład:

${\ Displaystyle k = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 2 i 3 i 4 i 5 \ \ 1 i 4 i 3 i 2 i 5 \ koniec {pmatrix}}}$

który można zapisać jako iloczyn cykli, a mianowicie: (2 4).

Ta permutacja następnie odnosi się do (1 2 3)(4 5) i (1 4 3)(2 5) poprzez koniugację, czyli

${\ Displaystyle (2 ~ 4) \ ok (1 ~ 2 ~ 3) (4 ~ 5) \ ok (2 ~ 4) = (1 ~ 4 ~ 3) (2 ~ 5).}$

Oczywiste jest, że taka permutacja nie jest wyjątkowa.

Grupy niskiego stopnia

Grupy symetryczne niskiego stopnia mają prostszą i wyjątkową strukturę i często muszą być traktowane oddzielnie.

S ₀ i S ₁

Grupy symetryczne na zbiorze pustym i zbiorze singletonowym są trywialne, co odpowiada 0! = 1! = 1 . W tym przypadku grupa naprzemienna zgadza się z grupą symetryczną, a nie jest podgrupą o indeksie 2, a mapa znaków jest trywialna. W przypadku S ₀ jedynym jej elementem jest pusta funkcja .

S ₂

Ta grupa składa się z dokładnie dwóch elementów: tożsamości i permutacji zamieniających dwa punkty. Jest to grupa cykliczna, a zatem abelowa . W teorii Galois odpowiada to faktowi, że wzór kwadratowy daje bezpośrednie rozwiązanie ogólnego wielomianu kwadratowego po wyodrębnieniu tylko jednego pierwiastka. W teorii niezmienniczej teoria reprezentacji grupy symetrycznej w dwóch punktach jest dość prosta i jest postrzegana jako zapis funkcji dwóch zmiennych jako sumy jej części symetrycznych i antysymetrycznych: Ustawienie f _s ( x , y ) = f ( x , y ) + f ( r , x ) i f ( x , y ) = f ( x , y ) - f ( r , x ) , dostaje że 2⋅ f = f _s + f . Proces ten jest znany jako symetryzacja .

S ₃

S ₃ to pierwsza nieabelowa grupa symetryczna. Ta grupa jest izomorficzna z dwuścienną grupą rzędu 6 , grupą symetrii odbicia i obrotu trójkąta równobocznego , ponieważ symetrie te permutują trzy wierzchołki trójkąta. Cykle o długości dwa odpowiadają odbiciom, a cykle o długości trzy to obroty. W teorii Galois odwzorowanie znaku od S ₃ do S ₂ odpowiada rozwiązywalnej kwadratowi wielomianu sześciennego , jak odkrył Gerolamo Cardano , podczas gdy jądro A ₃ odpowiada użyciu dyskretnej transformacji Fouriera rzędu 3 w rozwiązaniu, w postaci rezolwentów Lagrange'a .

S ₄

Grupa S ₄ jest izomorficzna z grupą właściwych obrotów wokół przeciwległych ścian, przeciwległych przekątnych i przeciwległych krawędzi, 9, 8 i 6 permutacji sześcianu . Poza grupą A ₄ , S ₄ ma czterogrupę Klein V jako właściwą podgrupę normalną , a mianowicie parzyste transpozycje {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(24), (1 4)(2 3)}, z ilorazem S ₃ . W teorii Galois to odwzorowanie odpowiada sześciennemu wielomianowi kwartykowi , który pozwala na rozwiązywanie kwarty przez rodniki, jak ustalił Lodovico Ferrari . Grupę Kleina można rozumieć w kategoriach rezolwentów Lagrange'a w kwartyce. Mapa od S ₄ do S ₃ daje również dwuwymiarową nieredukowalną reprezentację, która jest nieredukowalną reprezentacją symetrycznej grupy stopnia n wymiaru poniżej n − 1 , która występuje tylko dla n = 4 .

S ₅

S ₅ to pierwsza nierozwiązalna grupa symetryczna. Wraz ze specjalną grupą liniową SL(2,5) i grupą dwudziestościenną A ₅ × S ₂ , S ₅ jest jedną z trzech nierozwiązywalnych grup rzędu 120, aż do izomorfizmu. S ₅ to grupa Galois ogólnego równania kwinty , a fakt, że S ₅ nie jest grupą rozwiązywalną, przekłada się na nieistnienie ogólnego wzoru do rozwiązywania wielomianów kwintyki przez pierwiastki. Istnieje egzotyczna mapa inkluzji S ₅ → S ₆ jako podgrupa przechodnia ; oczywista mapa inkluzji S _n → S _{n +1} ustala punkt, a zatem nie jest przechodnia. Daje to zewnętrzna automorfizm S ₆ , opisane poniżej, i odpowiada sextic rezolwent z Quintic.

S ₆

W przeciwieństwie do wszystkich innych grup symetrycznych, S ₆ , ma zewnętrzny automorfizm . Używając języka teorii Galois , można to również rozumieć w kategoriach rezolwentów Lagrange'a . Rozdzielczość kwintyki jest stopnia 6 — odpowiada to egzotycznej mapie inkluzji S ₅ → S ₆ jako podgrupie przechodniej (oczywista mapa inkluzji S _n → S _{n +1} ustala punkt, a zatem nie jest przechodnia) i podczas gdy ta mapa nie sprawia, że ​​ogólna kwintyka jest rozwiązywalna, daje egzotyczny zewnętrzny automorfizm S ₆ — patrz Automorfizmy grup symetrycznych i przemiennych po szczegóły.

Zauważ, że chociaż A ₆ i A ₇ mają wyjątkowy mnożnik Schur ( potrójne pokrycie ) i że rozciągają się one na potrójne pokrycie S ₆ i S ₇ , nie odpowiadają one wyjątkowym mnożnikom Schur grupy symetrycznej.

Mapy pomiędzy symetrycznymi grupami

Poza trywialnym odwzorowaniem S _n → C ₁ ≅ S ₀ ≅ S ₁ i odwzorowaniem znaków S _n → S ₂ , najbardziej zauważalnymi homomorfizmami między grupami symetrycznymi, w kolejności wymiaru względnego , są:

• S ₄ → S ₃ odpowiadające wyjątkowej podgrupie normalnej V < A ₄ < S ₄ ;
• S ₆ → S ₆ (a raczej klasa takich odwzorowań aż do automorfizmu wewnętrznego) odpowiadająca automorfizmowi zewnętrznemu S ₆ .
• S ₅ → S ₆ jako podgrupa przechodnia, dająca zewnętrzny automorfizm S _6, jak omówiono powyżej.

Istnieje również wiele innych homomorfizmów S _m → S _n gdzie m < n .

Relacja z grupą przemienną

Dla n ≥ 5 , przemienna grupa A _n jest prosta , a indukowany iloraz jest odwzorowaniem znaków: A _n → S _n → S _{2 ,} który jest dzielony przez transpozycję dwóch elementów. Zatem S _n jest iloczynem półbezpośrednim A _n ⋊ S ₂ , i nie ma innych właściwych podgrup normalnych, ponieważ przecinałyby one A _n w obu identyczności (a zatem same były identycznością lub grupą 2-elementową, co nie jest normalne) , lub w A _n (a zatem same być A _n lub S _n ).

S _n działa na swoją podgrupę A _n przez koniugację, a dla n ≠ 6 , S _n jest pełną grupą automorfizmu A _n : Aut(A _n ) ≅ S _n . Sprzężenie przez elementy parzyste to automorfizmy wewnętrzne A _n, podczas gdy automorfizm zewnętrzny A _n rzędu 2 odpowiada koniugacji przez element nieparzysty. Dla n = 6 , istnieje wyjątkowy zewnętrzny automorfizm A _{n ,} więc S _n nie jest pełną grupą automorfizmu A _n .

Odwrotnie, dla n 6 , S _n nie ma zewnętrznych automorfizmów, a dla n ≠ 2 nie ma centrum, więc dla n 2, 6 jest to kompletna grupa , jak omówiono w grupie automorfizmów poniżej.

Dla n ≥ 5 , S _n jest prawie prostą grupą , ponieważ leży pomiędzy prostą grupą A _n a jej grupą automorfizmów.

S _n można osadzić w A _{n +2} przez dodanie transpozycji ( n + 1, n + 2) do wszystkich nieparzystych permutacji, podczas gdy osadzenie w A _{n +1} jest niemożliwe dla n > 1 .

Generatory i relacje

Symetryczna grupa na n literach jest generowana przez sąsiednie transpozycje, które zamieniają i oraz i + 1 . Kolekcja generuje S _n zgodnie z następującymi zależnościami: ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} = (i, i + 1)}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} \ ldots \ sigma _ {n-1}}$

• ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} ^ {2} = 1,}$
• ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = \ sigma _ {j} \ sigma _ {i}}$dla , i${\displaystyle |ij|>1}$
• ${\ Displaystyle (\ sigma _ {i} \ sigma _ {i + 1}) ^ {3} = 1,}$

gdzie 1 reprezentuje permutację tożsamości. Ta reprezentacja nadaje grupie symetrycznej strukturę grupy Coxetera (a więc także grupy refleksyjnej ).

Inne możliwe zestawy generujące obejmują zestaw transpozycji, które zamieniają 1 i i na 2 ≤ i ≤ n oraz zestaw zawierający dowolny n- cykl i 2- cykl sąsiednich elementów w n- cyklu.

Struktura podgrupy

Podgrupa grupy symetrycznie nazywany jest grupa permutacji .

Podgrupy normalne

W normalnych podgrupa skończonego grup symetrycznych są dobrze rozumiane. Jeśli n ≤ 2 , S _n ma co najwyżej 2 elementy, a więc nie ma nietrywialnych odpowiednich podgrup. Grupa zmiennego stopnia n jest zawsze normalny podgrupy, właściwa jeden dla n ≥ 2 i nietrywialna dla n ≥ 3 ; dla n ≥ 3 jest to w rzeczywistości jedyna nietrywialna właściwa podgrupa normalna S _n , z wyjątkiem sytuacji, gdy n = 4, gdzie istnieje jedna dodatkowa taka podgrupa normalna, która jest izomorficzna z grupą Klein cztery .

Grupa symetryczna na zbiorze nieskończonym nie ma podgrupy o indeksie 2, ponieważ Vitali (1915) udowodnił, że każdą permutację można zapisać jako iloczyn trzech kwadratów. Zawiera jednak normalną podgrupę S permutacji, które ustalają wszystkie, ale skończenie wiele elementów, która jest generowana przez transpozycje. Te elementy S , które są produkty o liczbie nawet transpozycji tworzą podgrupę o indeksie 2 w S , zwanego zmiennego podgrupa . Od jest nawet charakterystyka podgrupy z S , to jest to normalny podgrupa pełnej symetryczna grupa nieskończonej zestawie. Grupy A i S są jedynymi nietrywialnymi prawidłowymi podgrupami normalnymi grupy symetrycznej na przeliczalnie nieskończonym zbiorze. Po raz pierwszy udowodnili to Onofri (1929) i niezależnie Schreier – Ulam (1934). Po więcej szczegółów patrz ( Scott 1987 , rozdz. 11.3) lub ( Dixon i Mortimer 1996 , rozdz. 8.1).

Maksymalne podgrupy

Do podgrupy maksymalne skończonych grup symetrycznych można podzielić na trzy klasy: nieprzechodnich The imprimitive i prymitywnych. Nieprzechodnie maksymalne podgrupy mają dokładnie postać Sym( k ) × Sym( n − k ) dla 1 ≤ k < n /2 . Prymitywnymi podgrupami maksymalnymi są dokładnie te, które mają postać Sym( k ) wr Sym( n / k ), gdzie 2 ≤ k ≤ n /2 jest właściwym dzielnikiem n, a „wr” oznacza produkt wiankowy działający prymitywnie. Pierwotne podgrupy maksymalne są trudniejsze do zidentyfikowania, ale przy pomocy twierdzenia O'Nan-Scotta i klasyfikacji skończonych grup prostych ( Liebeck, Praeger i Saxl 1988 ) dał dość zadowalający opis maksymalnych podgrup tego typu. według ( Dixon i Mortimer 1996 , s. 268).

Podgrupy Sylowa

W Sylow podgrupy grup symetrycznych ważne przykłady p -grupy . Łatwiej je opisać najpierw w szczególnych przypadkach:

Podgrupy p Sylowa symetrycznej grupy stopnia p są tylko podgrupami cyklicznymi generowanymi przez p- cykle. Są ( p − 1)!/( p − 1) = ( p − 2)! takie podgrupy po prostu zliczając generatory. Dlatego normalizator ma porządek p ⋅( p − 1) i jest znany jako grupa Frobeniusa F _{p ( p −1)} (szczególnie dla p = 5 ) i jest afiniczną ogólną grupą liniową , AGL(1, p ) .

Podgrupy p Sylowa symetrycznej grupy stopnia p ² są produktem wieńca dwóch cyklicznych grup rzędu p . Na przykład, gdy p = 3 , podgrupa Sylowa 3 z Sym(9) jest generowana przez a = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9) i elementy x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9) , a każdy element podgrupy Sylowa 3 ma postać a ⁱ x ^j y ^k z ^l dla . ${\displaystyle 0\leq i,j,k,l\leq 2}$

Podgrupy p Sylowa symetrycznej grupy stopnia p ⁿ są czasami oznaczane W _p ( n ), a używając tego zapisu można stwierdzić, że W _p ( n + 1) jest iloczynem wieńca W _p ( n ) i W _p ( 1).

Na ogół, Sylow P -subgroups symetrycznej grupy stopnia n są bezpośrednim produktem a _ı kopii W _s ( I ), gdzie 0 ≤ _i ≤ p - 1 , a n = ₀  +  P ⋅ ₁  + ... +  p ^k ⋅ a _k ( rozwinięcie podstawy p n ).

Na przykład W ₂ (1) = C ₂ i W ₂ (2) = D ₈ , dwuścienna grupa rzędu 8 , a więc podgrupa Sylowa 2 symetrycznej grupy stopnia 7 jest generowana przez { (1,3 )(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) } i jest izomorficzny z D ₈ × C ₂ .

Obliczenia te przypisuje się ( Kaloujnine 1948 ) i opisuje bardziej szczegółowo w ( Rotman 1995 , s. 176) . Należy jednak zauważyć, że ( Kerber 1971 , s. 26) przypisuje wynik pracy Cauchy'ego z 1844 roku i wspomina, że ​​jest ona nawet opisana w formie podręcznikowej w ( Netto 1882 , §39-40). błąd harv: brak celu: CITEREFRotman1995 ( pomoc )

Podgrupy przechodnie

Przechodni podgrupa S _n jest podgrupą których działanie na {1, 2, ...,  N } jest przechodnia . Na przykład grupa Galois ( skończonego ) rozszerzenia Galois jest przechodnią podgrupą S _n , dla niektórych n .

Twierdzenie Cayleya

Twierdzenie Cayleya mówi, że każda grupa G jest izomorficzna z podgrupą jakiejś grupy symetrycznej. W szczególności można wziąć podgrupę grupy symetrycznej na elementach G , ponieważ każda grupa działa wiernie na siebie przez (lewe lub prawe) mnożenie.

Grupa automorfizmu

Dla n 2, 6 , S _n jest kompletną grupą : jej środkowa i zewnętrzna grupa automorfizmu są trywialne.

Dla n = 2 grupa automorfizmu jest trywialna, ale S ₂ nie jest trywialna: jest izomorficzna z C ₂ , która jest abelowa, a zatem centrum stanowi cała grupa.

Dla n = 6 , ma on automorfizm zewnętrzny rzędu 2: Out(S ₆ ) = C ₂ , a grupa automorfizmu jest iloczynem półbezpośrednim Aut(S ₆ ) = S ₆ ⋊ C ₂ .

W rzeczywistości, dla każdego zbioru X o kardynalności innej niż 6, każdy automorfizm grupy symetrycznej na X jest wewnętrzny, co wynika po raz pierwszy z ( Schreier i Ulam 1937 ) według ( Dixon i Mortimer 1996 , s. 259). błąd harv: brak celu: CITEREFSchreierUlam1937 ( pomoc )

Homologia

Homologii grupa S _n jest bardzo regularne i stabilizuje: pierwszy homologii (Konkretnie abelianization ) stanowi:

${\ Displaystyle H_ {1} (\ operatorname {S} _ {n}, \ mathbf {Z} ) = {\ zacząć {przypadki} 0 i n <2 \ \ \ mathbf {Z} /2 i n \ geq 2. \ koniec { sprawy}}}$

Pierwsza grupa homologii to abelianizacja i odpowiada mapie znaków S _n → S _2, która jest abelianizacją dla n ≥ 2; dla n < 2 grupa symetryczna jest trywialna. Tę homologię łatwo obliczyć w następujący sposób: S _n jest generowane przez inwolucje (2-cykle, które mają rząd 2), więc jedyne nietrywialne odwzorowania S _n → C _p są do S ₂ i wszystkie inwolucje są sprzężone, stąd mapowanie do ten sam element w abelianizacji (ponieważ koniugacja jest banalna w grupach abelowych). Zatem jedyne możliwe odwzorowania S _n → S ₂ ≅ {±1} wysyłają inwolucję do 1 (mapa trywialna) lub -1 (mapa znaku). Trzeba też wykazać, że mapa znaków jest dobrze zdefiniowana, ale przy założeniu, że daje to pierwszą homologię S _n .

Druga homologia (konkretnie mnożnik Schura ) to:

${\ Displaystyle H_ {2} (\ operatorname {S} _ {n}, \ mathbf {Z} ) = {\ zacząć {przypadki} 0 i n <4 \ \ \ mathbf {Z} /2 & n \ geq 4. \ koniec { sprawy}}}$

Zostało to obliczone w ( Schur 1911 ) i odpowiada podwójnemu okryciu grupy symetrycznej 2· _Sn .

Należy zauważyć, że wyjątkowa niskowymiarowa homologia grupy naprzemiennej ( odpowiadająca nietrywialnej abelianizacji i ze względu na wyjątkowe 3-krotne pokrycie) nie zmienia homologii grupy symetrycznej; zjawiska grup naprzemiennych dają symetryczne zjawiska grupowe – mapa rozciąga się, a potrójne pokrycia A ₆ i A ₇ rozciągają się na potrójne pokrycia S ₆ i S ₇ – ale nie są one homologiczne – mapa nie zmienia abelianizacji S ₄ , a potrójne osłony również nie odpowiadają homologii. ${\ Displaystyle H_ {1} (\ operatorname {A} _ {3}) \ cong H_ {1} (\ operatorname {A} _ {4}) \ cong \ operatorname {C} _ {3}}$${\ Displaystyle H_ {2} (\ operator {A} _ {6}) \ cong H_ {2} (\ operator {A} _ {7}) \ cong \ operator {C} _ {6}}$${\ Displaystyle \ operatorname {A} _ {4}\ twoheadrightarrow \ operatorname {C} _ {3}}$${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {4}\ twoheadrightarrow \ operatorname {S} _ {3}}$${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {4}\ twoheadrightarrow \ operatorname {S} _ {3}}$

Homologia „stabilizuje się” w sensie stabilnej teorii homotopii : istnieje mapa inkluzji S _n → S _{n +1} , a dla ustalonego k , indukowana mapa homologii H _k (S _n ) → H _k (S _{n +1} ) jest izomorfizmem dla wystarczająco wysokiego n . Jest to analogiczne do homologii rodzin stabilizujących się grup Liego .

Homologia nieskończenie symetrycznej grupy jest obliczona w ( Nakaoka 1961 ), z algebrą kohomologii tworzącą algebrę Hopfa .

Teoria reprezentacji

Teorii reprezentacji grupy symetrycznym jest szczególnym przypadkiem teorii reprezentacji grup skończonych , na którym betonowy i wyszczególnione teoria można uzyskać. Ma to duży obszar potencjalnych zastosowań, od teorii funkcji symetrycznych po problemy mechaniki kwantowej dla wielu identycznych cząstek .

Grupa symetryczna S _n ma rząd n !. Jej zajęcia conjugacy są oznaczone przez partycji z  n . Dlatego też, zgodnie z teorią reprezentacji skończonej grupy, liczba nierównoważnych nieredukowalnych reprezentacji , na liczbach zespolonych , jest równa liczbie podziałów  n . W przeciwieństwie do ogólnej sytuacji dla grup skończonych, w rzeczywistości istnieje naturalny sposób parametryzacji nieredukowalnej reprezentacji za pomocą tego samego zbioru, który parametryzuje klasy sprzężeń, a mianowicie przez podziały n lub równoważne diagramy Younga o rozmiarze  n .

Każda taka nieredukowalna reprezentacja może być zrealizowana na liczbach całkowitych (każda permutacja działająca przez macierz o współczynnikach całkowitych); można ją jawnie skonstruować, obliczając symetryzatory Younga działające na przestrzeni generowanej przez tablice Younga o kształcie podanym przez diagram Younga.

W innych dziedzinach sytuacja może się znacznie bardziej skomplikować. Jeśli pole K ma charakterystyczny równe zero lub większą niż n następnie Maschke Twierdzenie grupa Algebra K S _n jest półprosty. W tych przypadkach nieredukowalne reprezentacje zdefiniowane na liczbach całkowitych dają pełny zestaw nieredukowalnych reprezentacji (po redukcji modulo charakterystyka, jeśli to konieczne).

Jednak nieredukowalne reprezentacje grupy symetrycznej nie są znane w arbitralnej charakterystyce. W tym kontekście częściej używa się języka modułów niż reprezentacji. Reprezentacja uzyskana z nieredukowalnej reprezentacji zdefiniowanej na liczbach całkowitych przez zmniejszenie modulo cechy nie będzie na ogół nieredukowalna. Tak skonstruowane moduły nazywane są modułami Specht , a każdy nieredukowalny pojawia się wewnątrz takiego modułu. Obecnie jest mniej nieredukowalnych i chociaż można je sklasyfikować, są one bardzo słabo rozumiane. Na przykład nawet ich wymiary nie są na ogół znane.

Wyznaczanie nieredukowalnych modułów dla symetrycznej grupy nad dowolnym polem jest powszechnie uważane za jeden z najważniejszych otwartych problemów w teorii reprezentacji.

Zobacz też

• Grupa plecionek
• Historia teorii grup
• Symetryczna grupa ze znakiem i uogólniona grupa symetryczna
• Symetria w mechanice kwantowej § Symetria wymiany lub symetria permutacyjna
• Symetryczna odwrotna półgrupa
• Moc symetryczna

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Grupa symetryczna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Grupa symetryczna” . MatematykaŚwiat .
• Weisstein, Eric W. „Symetryczny wykres grupowy” . MatematykaŚwiat .
• Marcus du Sautoy: Symetria, zagadka rzeczywistości (nagranie rozmowy)
• Wpisy OEIS dotyczące Grupy Symetrycznej