F -dystrybucja - F-distribution

Fisher-Snedecora

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	d 1 , d 2 > 0 st. wolności
Wsparcie	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$jeśli , inaczej${\displaystyle d_{1}=1}$${\displaystyle x\w [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2 })^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_ {2}}{2}}\prawo)}}\!}$
CDF	${\ Displaystyle I_ {\ Frac {d_ {1} x}{ d_ {1} x + d_ {2}}} \ lewo ({\ tfrac {d_ {1}} {2}}, {\ tfrac {d_ { 2}}{2}}\prawo)}$
Mieć na myśli	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ dla d 2 > 2
Tryb	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ dla d 1 > 2
Zmienność	${\ Displaystyle {\ Frac {2 \ d_ {2} ^ {2} \ (d_ {1} + d_ {2} -2) {d_ {1} (d_ {2} -2) ^ {2} }(d_{2}-4)}}\!}$ dla d 2 > 4
Skośność	${\ Displaystyle {\ Frac {(2d_ {1}+ d_ {2}-2) {\ sqrt {8 (d_ {2}-4)}}} {(d_ {2} -6) {\ sqrt {d_ {1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ dla d 2 > 6
Były. kurtoza	zobacz tekst
Entropia	${\ Displaystyle \ ln \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {d_ {1}} {2}} \ po prawej) + \ ln \ gamma \ lewo ({\ tfrac {d_ {2}} {2}} \ po prawej) -\ln \Gamma \lewo({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\prawo)+\!}$ ${\ Displaystyle \ lewo (1-{\ tfrac {d_ {1}} {2}} \ po prawej) \ psi \ lewo (1 + {\ tfrac {d_ {1}} {2}} \ po prawej) - \ po lewej (1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!}$ ${\ Displaystyle + \ lewo ({\ tfrac {d_ {1} + d_ {2}} {2}} \ po prawej) \ psi \ lewo ({\ tfrac {d_ {1} + d_ {2}} {2} }\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!}$
MGF	nie istnieje, surowe momenty określone w tekście i w
CF	zobacz tekst

W teorii prawdopodobieństwa i statystyki The F -Dystrybucja lub F-stosunek , znany również jako Snedecora F rozkładu lub rozkładu Fishera-Snedecora (po Ronald Fisher i George W. Snedecora ) jest ciągły rozkład prawdopodobieństwa , że często pojawia się jako dystrybucji zerowej z statystyka testowa , w szczególności w analizie wariancji (ANOVA) i innych F -tests .

Definicja

Rozkład F z d ₁ i d ₂ stopniami swobody jest rozkładem

${\ Displaystyle X = {\ Frac {S_ {1}/d_ {1}}{S_ {2}/d_ {2}}}}$

gdzie i są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie chi-kwadrat o odpowiednich stopniach swobody i . ${\textstyle S_{1}}$${\textstyle S_{2}}$${\textstyle d_{1}}$${\textstyle d_{2}}$

Można wykazać, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa (pdf) dla X jest dana przez

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} f (x; d_ {1}, d_ {2}) i = {\ Frac {\ sqrt {\ Frac {(d_ {1} x) ^ {d_ {1}} \ ,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\nazwa operatora {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\ nazwa operatora {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1} }{d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2 }}}\,x\right)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{wyrównany}}}$

dla rzeczywistych x > 0. Tutaj jest funkcja beta . W wielu zastosowaniach parametry d ₁ i d ₂ są dodatnimi liczbami całkowitymi , ale rozkład jest dobrze zdefiniowany dla dodatnich wartości rzeczywistych tych parametrów. ${\ Displaystyle \ operatorname {B}}$

Funkcja dystrybucji skumulowanej to

${\ Displaystyle F (x; d_ {1}, d_ {2}) = I_ {d_ {1} x / (d_ {1} x + d_ {2})} \ lewo ({\ tfrac {d_ {1} }{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\prawo),}$

gdzie I jest uregulowaną niekompletną funkcją beta .

Oczekiwanie, wariancja i inne szczegóły dotyczące F( d ₁ , d ₂ ) są podane w ramce bocznej; dla d ₂  > 8 nadmierna kurtoza wynosi

${\ Displaystyle \ gamma _ {2} = 12 {\ Frac {d_ {1} (5d_ {2}-22) (d_ {1} + d_ {2}-2) + (d_ {2}-4) ( d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$

W k -tej moment F ( d ₁ , d ₂ ) rozkład istnieje i jest ograniczony tylko wtedy, gdy 2 K < d ₂ i jest ona równa

${\ Displaystyle \ mu _ {X} (k) = \ lewo ({\ Frac {d_ {2}} {d_ {1}}} \ prawej) ^ {k} {\ Frac {\ Gamma \ lewo ({\ tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left( {\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}$  

Rozkład F jest szczególną parametryzacją rozkładu beta pierwszego , który jest również nazywany rozkładem beta drugiego rodzaju.

Funkcja charakterystyczna jest błędnie wymieniona w wielu normach (np.). Prawidłowe wyrażenie to

${\ Displaystyle \ varphi _ {d_ {1}, d_ {2}} ^ {F} (s) = {\ Frac {\ Gamma \ lewo ({\ Frac {d_ {1} + d_ {2}} {2 }}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}}, 1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$

gdzie U ( a , b , z ) jest konfluentną funkcją hipergeometryczną drugiego rodzaju.

Charakteryzacja

Losowo variate z F -Dystrybucja parametrów i pojawia się jako stosunek dwóch odpowiednio skalowane chi-kwadrat zmiennymi: ${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$

${\ Displaystyle X = {\ Frac {U_ {1}/d_ {1}}{U_ {2}/d_ {2}}}}$

gdzie

• ${\displaystyle U_{1}}$i mają rozkłady chi-kwadrat z odpowiednio stopniami swobody i stopniami swobody , oraz${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$
• ${\displaystyle U_{1}}$i są niezależne .${\displaystyle U_{2}}$

W przypadkach, w których używany jest rozkład F , na przykład w analizie wariancji , niezależność i można wykazać stosując twierdzenie Cochrana . ${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$

Równoważnie można również zapisać zmienną losową rozkładu F

${\ Displaystyle X = {\ Frac {s_ {1} ^ {2}} \ sigma _ {1} ^ {2}}} \ div {\ Frac {s_ {2} ^ {2}} {\ sigma _ {2}^{2}}},}$

gdzie i , jest sumą kwadratów zmiennych losowych z rozkładu normalnego i jest sumą kwadratów zmiennych losowych z rozkładu normalnego . ${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$${\displaystyle S_{1}^{2}}$${\displaystyle d_{1}}$${\ Displaystyle N (0, \ sigma _ {1} ^ {2})}$${\displaystyle S_{2}^{2}}$${\displaystyle d_{2}}$${\ Displaystyle N (0, \ sigma _ {2} ^ {2})}$

W kontekście częstościowym skalowany rozkład F daje zatem prawdopodobieństwo , z samym rozkładem F , bez żadnego skalowania, przy zastosowaniu gdzie jest przyjmowany równy . Jest to kontekst, w którym rozkład F najczęściej pojawia się w testach F : gdzie hipoteza zerowa mówi, że dwie niezależne normalne wariancje są równe, a obserwowane sumy niektórych odpowiednio dobranych kwadratów są następnie badane, aby sprawdzić, czy ich stosunek jest istotnie istotny. niezgodne z tą hipotezą zerową. ${\ Displaystyle p (s_ {1} ^ {2} / s_ {2} ^ {2} \ mid \ sigma _ {1} ^ {2} \ sigma _ {2} ^ {2})}$${\displaystyle \sigma_{1}^{2}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2}}$

Wielkość ma taki sam rozkład w statystyce Bayesa, jeśli an uninformative przeskalowania-niezmiennicze Jeffreys przed jest prawdopodobnie przeznaczony na wcześniejszych prawdopodobieństw z i . W tym kontekście skalowany rozkład F daje zatem prawdopodobieństwo a posteriori , gdzie obserwowane sumy i są teraz traktowane jako znane. ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle \sigma_{1}^{2}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2}}$${\ Displaystyle p (\ sigma _ {2} ^ {2} / \ sigma _ {1} ^ {2} \ mid s_ {1} ^ {2}, s_ {2} ^ {2})}$${\displaystyle s_{1}^{2}}$${\displaystyle s_{2}^{2}}$

Właściwości i powiązane dystrybucje

• Jeśli i są niezależne , to${\ Displaystyle X \ sim \ chi _ {d_ {1}} ^ {2}}$${\ Displaystyle Y \ SIM \ Chi _ {d_ {2}} ^ {2}}$${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$
• Jeżeli ( rozkład gamma ) są niezależne, to${\ Displaystyle X_ {k} \ sim \ Gamma (\ alfa _ {k} \ beta _ {k}) \}$${\ Displaystyle {\ Frac {\ alfa _ {2} \ beta _ {1} X_ {1}}{\ alfa _ {1} \ beta _ {2} X_ {2}}} \ sim \ operatorname {F} (2\alfa _{1},2\alfa _{2})}$
• Jeśli ( Dystrybucja Beta ) to${\ Displaystyle X \ sim \ operatorname {Beta} (d_ {1}/2, d_ {2}/2)}$${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$
• Równoważnie, jeśli , to .${\ Displaystyle X \ SIM F (d_ {1}, d_ {2})}$${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{ 2}/2)}$
• Jeśli , to ma dystrybucję pierwszą w wersji beta : .${\ Displaystyle X \ SIM F (d_ {1}, d_ {2})}$${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime}} ({\tfrac {d_{1}}{2}},{\ tfrac {d_{2}}{2}})}$
• Jeśli to ma rozkład chi-kwadrat${\ Displaystyle X \ SIM F (d_ {1}, d_ {2})}$${\ Displaystyle Y = \ Lim _ {d_ {2} \ do \ infty} d_ {1} X}$ ${\ Displaystyle \ chi _ {d_ {1}} ^ {2}}$
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$jest odpowiednikiem przeskalowanego rozkładu T-kwadrat Hotellinga .${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operator {T} ^{2}(d_{1},d_{1 }+d_{2}-1)}$
• Jeśli wtedy .${\ Displaystyle X \ SIM F (d_ {1}, d_ {2})}$${\ Displaystyle X ^ {-1} \ SIM F (d_ {2}, d_ {1})}$
• Jeżeli — rozkład t-Studenta — wtedy:${\ Displaystyle X \ sim t_ {(n)}}$

${\ Displaystyle X ^ {2} \ SIM \ Operatorname {F} (1, n)}$

${\ Displaystyle X ^ {-2} \ sim \ operatorname {F} (n, 1)}$

• F – rozkład jest szczególnym przypadkiem rozkładu Pearsona typu 6
• Jeśli i są niezależne, z Laplace'em( μ , b ) wtedy${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle X,Y\sim}$

${\ Displaystyle {\ Frac {| X-\ mu |} {| Y \ mu |}} \ sim \ operatorname {F} (2,2)}$

• Jeśli to ( Rozkład Fishera )${\ Displaystyle X \ SIM F (n, m)}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ log {X}} {2}} \ sim \ operatorname {FisherZ} (n, m)}$
• Noncentral F -Dystrybucja upraszcza do F -Dystrybucja razie .${\ Displaystyle \ lambda = 0}$
• Podwójnie noncentral F -Dystrybucja upraszcza do F -Dystrybucja jeśli${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = 0}$
• Jeśli jest kwantylem p dla i jest kwantylem dla , to${\ Displaystyle \ Operatorname {Q} _ {X} (p)}$${\ Displaystyle X \ SIM F (d_ {1}, d_ {2})}$${\ Displaystyle \ operatorname {Q} _ {Y} (1-p)}$${\ Displaystyle 1-p}$${\ Displaystyle Y \ SIM F (d_ {2}, d_ {1})}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Q} _ {X} (p) = {\ Frac {1} {\ Operatorname {Q} _ {Y} (1-p)}}.}$

• F -dystrybucja jest przykładem rozkładów ilorazowych

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Tabela wartości krytycznych rozkładu F
• Najwcześniejsze zastosowania niektórych słów matematyki: wpis na temat F – dystrybucja zawiera krótką historię
• Darmowy kalkulator do testów F