Test Friedmana - Friedman test

Test Friedmana to nieparametryczny test statystyczny opracowany przez Miltona Friedmana . Podobnie jak parametryczna ANOVA z powtarzanymi pomiarami , służy do wykrywania różnic w leczeniu w wielu próbach testowych. Procedura obejmuje uszeregowanie każdego wiersza (lub bloku ) razem, a następnie rozważenie wartości rang według kolumn. Ma zastosowanie do kompletnych projektów blokowych , jest to zatem szczególny przypadek testu Durbina .

Klasyczne przykłady użycia to:

• n win ocenia każdy ocenia k różnych win. Czy któreś z win k plasuje się stale wyżej lub niżej niż pozostałe?
• n spawaczy każdy używa k palników spawalniczych, a uzyskane spoiny zostały ocenione pod względem jakości. Czy któryś z palników k wytwarza stale lepsze lub gorsze spoiny?

Test Friedmana służy do jednokierunkowej analizy powtarzanych pomiarów wariancji według rang. W zastosowaniu rang jest podobny do jednokierunkowej analizy wariancji według rang Kruskala-Wallisa .

Test Friedmana jest szeroko obsługiwany przez wiele pakietów oprogramowania statystycznego .

metoda

1. Mając dane , czyli macierz z wierszami ( bloki ), kolumny ( zabiegi ) i pojedynczą obserwację na przecięciu każdego bloku i zabiegu, oblicz rangi w każdym bloku. Jeśli istnieją remisujące wartości, przypisz do każdej remisującej wartości średnią rang, które zostałyby przypisane bez remisów. Zastąp dane nową macierzą, w której wpis jest pozycją w obrębie bloku .${\ Displaystyle \ {x_ {ij} \} _ {n \ razy k}}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ {r_ {ij} \} _ {n \ razy k}}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle i}$
2. Znajdź wartości ${\ Displaystyle {\ bar {r}} _ {\ cdot j} = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} {r_ {ij}}}$
3. Statystyka testu jest podana przez . Zauważ, że wartość Q nie musi być dostosowana do powiązanych wartości w danych.${\ Displaystyle Q = {\ Frac {12n} {k (k + 1)}} \ suma _ {j = 1} ^ {k} \ lewo ({\ bar {r}} _ {\ cdot j} - { \frac {k+1}{2}}\prawo)^{2}}$
4. Wreszcie, gdy n lub k jest duże (tj. n > 15 lub k > 4), rozkład prawdopodobieństwa Q można aproksymować rozkładem chi-kwadrat . W tym przypadku wartość p jest podana przez . Jeśli n lub k jest małe, przybliżenie do chi-kwadrat staje się słabe i wartość p należy uzyskać z tabel Q specjalnie przygotowanych do testu Friedmana. Jeśli wartość p jest znacząca , zostaną przeprowadzone odpowiednie testy wielokrotnych porównań post hoc .${\ Displaystyle \ mathbf {P} (\ chi _ {k-1} ^ {2} \ geq Q)}$

Powiązane testy

• Używając tego rodzaju projektu dla odpowiedzi binarnej, zamiast tego używa się testu Q Cochrana .
• Test znaków (z alternatywą dwustronną) jest równoważny testowi Friedmana na dwóch grupach.
• W Kendalla jest normalizacją statystyki Friedmana między 0 a 1.
• Test Wilcoxona dla par obserwacji jest nieparametryczny test danych nonindependent tylko z dwóch grup.
• Test Skillingsa-Macka jest ogólną statystyką typu Friedmana, którą można stosować w prawie każdym projekcie blokowym o dowolnej strukturze brakujących danych.
• Test Wittkowskiego jest ogólną statystyką typu Friedmana podobną do testu Skillingsa-Macka. Gdy dane nie zawierają braków danych, daje taki sam wynik jak test Friedmana. Ale jeśli dane zawierają brakujące wartości, jest to zarówno dokładniejsze, jak i bardziej czułe niż test Skillingsa-Macka. Implementacja testu istnieje w R .

Analiza post hoc

Testy post-hoc zaproponowali Schaich i Hamerle (1984) oraz Conover (1971, 1980) w celu ustalenia, które grupy różnią się istotnie od siebie, na podstawie średnich różnic rang grup. Procedury te są szczegółowo opisane w Bortz, Lienert i Boehnke (2000, s. 275). Eisinga, Heskes, Pelzer i Te Grotenhuis (2017) dostarczają dokładnego testu do porównywania parami sum rang Friedmana, zaimplementowanego w R . Eisinga CS dokładny test zapewnia znaczną poprawę w dostępnych testów przybliżone, szczególnie jeśli ilość grup ( ) jest duża i liczbę bloków ( ) jest mała. ${\displaystyle k}$${\ Displaystyle n}$

Nie wszystkie pakiety statystyczne obsługują analizę post-hoc dla testu Friedmana, ale istnieje kod napisany przez użytkownika, który zapewnia takie udogodnienia (na przykład w SPSS i R .). W R dostępny jest również wyspecjalizowany pakiet zawierający liczne nieparametryczne metody analizy post-hoc wg Friedmana.

Bibliografia

Dalsza lektura

• Daniel, Wayne W. (1990). "Dwustronna analiza wariancji Friedmana według rang" . Stosowana statystyka nieparametryczna (wyd. 2). Boston: PWS-Kent. s. 262-74. Numer ISBN 978-0-534-91976-4.
• Kendall, MG (1970). Metody korelacji rang (wyd. 4). Londyn: Charles Griffin. Numer ISBN 978-0-85264-199-6.
• Hollander, M.; Wolfe, DA (1973). Statystyka nieparametryczna . Nowy Jork: J. Wiley. Numer ISBN 978-0-471-40635-8.
• Siegel, Sydney ; Kasztelan, N. John Jr. (1988). Statystyki nieparametryczne dla nauk behawioralnych (2nd ed.). Nowy Jork: McGraw-Hill. Numer ISBN 978-0-07-100326-1.