Operacja Gödel - Gödel operation

W matematycznej teorii mnogości , zestaw operacji Gödel jest skończony zbiór operacji na zbiorach, które mogą zostać wykorzystane do skonstruowania konstruowalnych zestawy z porządkowych. Gödel  ( 1940 ) wprowadził oryginalny zestaw 8 operacji Gödel 𝔉 ₁ , ..., 𝔉 ₈ pod nazwą podstawowych operacji . Inni autorzy czasami użyć nieco inny zestaw około 8 do 10 operacji, zwykle oznaczona G ₁ , G ₂ , ...

Definicja

Gödel (1940) stosowane osiem następujących operacji jako zbiór operacji Gödel (które nazwał podstawowe operacje):

1. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {1} (X, Y) = \ {X, Y \}}$
2. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {2} (X, Y) = E \ cdot X = \ {(a, b) \ in X \ połowy A \ B-\}}$
3. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {3} (X, Y) = XY}$
4. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4} (X, T) = X \ upharpoonright Y = X \ cdot (V \ razy y) = \ {(a, b) \ in X \ mid b \ w Y \}}$
5. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {5} (X, T) = X \ cdot {\ mathfrak {D}} (Y) = \ {b \ in X \ mid \ występuje (a, b) \ w Y \}}$
6. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {6} (X, T) = X \ cdot Y ^ {- 1} = \ {(A, B) \ in X \ mid (B, A) \ w Y \}}$
7. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {7} (X, T) = X \ cdot {\ mathfrak {Cnv}} _ {2} (Y) = \ {(a, b, c) \ X \ średniej (A, C, b) \ w Y \}}$
8. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {8} (X, T) = X \ cdot {\ mathfrak {Cnv}} _ {3}, (Y) = \ {(a, b, c) \ X \ mid (c, a, b) \ w Y \}}$

Drugie wyrażenie w każdym wierszu daje definicję Gödla w swojej oryginalnej notacji, gdzie kropka oznacza przecięcie, V jest wszechświat, E jest relacja członków, i tak dalej.

Jech (2003) wykorzystuje następujący zestaw 10 operacji Gödel.

1. ${\ Displaystyle G_ {1} (X, Y) = \ {X, Y \}}$
2. ${\ Displaystyle G_ {2} (X, T) = X razy Y \}$
3. ${\ Displaystyle G_ {3}, (x, y) = \ {(x, y) \ mid x \ X, Y \ Y w X \ w Y \}}$
4. ${\ Displaystyle G_ {4} (X, Y) = XY}$
5. ${\ Displaystyle G_ {5} (X, T) = X \ Y} nasadki$
6. ${\ Displaystyle G_ {6} (X) = \ kubek X}$
7. ${\ Displaystyle G_ {7} (X) = {\ tekst {dom}} (X)}$
8. ${\ Displaystyle G_ {8} (X) = \ {(x, y) \ mid (y, x) \ X \}}$
9. ${\ Displaystyle G_ {9} (X) = \ {(x, y, z) \ mid (X, Z, Y) \ in X \}}$
10. ${\ Displaystyle G_ {10} (X) = \ {(x, y, z) \ mid (Y, Z, X) \ X \}}$

Nieruchomości

Forma normalne twierdzenie Gödla, że jeśli φ ( x ₁ ... x _n ) jest preparatem ze wszystkimi kwantyfikatorów ograniczony, to funkcja {( x ₁ , ..., x _n ) ∈ x ₁ x x ... X _n | φ ( x ₁ , ..., x _n )) z X ₁ , ..., X _N jest podawany przez składu niektórych operacji Godeł.

Referencje

• Gödel Kurt (1940). Konsystencja Continuum hipotezy . Roczniki Badań matematyki. 3 . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN  978-0-691-07927-1 . MR  0002514 .
• Jech, Thomas (2003), Teoria mnogości: Millennium Edition , Springer Monografie z matematyki, Berlinie, Nowym Jorku: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-44085-7