Konstrukcyjny wszechświat - Constructible universe

W matematyce , w teorii zbiorów The konstruowalne wszechświat (lub konstruowalne wszechświat Gödla ), oznaczoną przez L , jest szczególną klasę stanowi zestawy , które mogą być opisane wyłącznie w kategoriach tych prostych zestawach. L jest związkiem konstruowalnej hierarchii L _α  . Został on wprowadzony przez Kurta Gödla w swoim artykule z 1938 roku „The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis”. W tym udowodnił, że konstruowalny wszechświat jest wewnętrznym modelem teorii mnogości ZF (czyli teorii mnogości Zermelo-Fraenklaz wykluczeniem aksjomatu wyboru ), a także, że aksjomat wyboru i uogólniona hipoteza kontinuum są prawdziwe w konstruowalnym wszechświecie. To pokazuje, że obie tezy są zgodne z podstawowymi aksjomatami teorii mnogości, jeśli sam ZF jest niesprzeczny. Ponieważ wiele innych twierdzeń obowiązuje tylko w systemach, w których jedno lub oba twierdzenia są prawdziwe, ich spójność jest ważnym wynikiem.

Czym jest L

L można uważać za budowane w "etapach" przypominających budowę wszechświata von Neumanna , V . Etapy są indeksowane liczbami porządkowymi . We wszechświecie von Neumanna, na kolejnym etapie, przyjmuje się, że V _{α +1} jest zbiorem wszystkich podzbiorów poprzedniego etapu, V _α . W przeciwieństwie do tego, w konstruowalnym wszechświecie Gödla L używa się tylko tych podzbiorów z poprzedniego etapu, które są:

• definiowalny przez formułę w formalnym języku teorii mnogości,
• z parametrami z poprzedniego etapu oraz,
• z kwantyfikatorami zinterpretowanymi jako zakres w stosunku do poprzedniego etapu.

Ograniczając się do zbiorów zdefiniowanych jedynie w kategoriach tego, co już zostało skonstruowane, zapewnia się, że powstałe zbiory będą konstruowane w sposób niezależny od specyfiki otaczającego modelu teorii mnogości i zawarty w każdym takim modelu.

Definiować

L jest zdefiniowany przez rekurencję pozaskończoną w następujący sposób:

• ${\displaystyle L_{0}:=\varnic.}$
• ${\ Displaystyle L_ {\ alfa +1}: = \ operatorname {Def} (L_ {\ alfa}).}$
• Jeśli jest liczbą porządkową graniczną , to Tutaj α < λ oznacza , że α poprzedza λ .${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle L_ {\ lambda}: = \ bigcup _ {\ alfa <\ lambda} L_ {\ alfa}.}$
• ${\ Displaystyle L: = \ bigcup _ {\ alfa \ w \ mathbf {Ord}} L_ {\ alfa}.}$Tutaj Ord oznacza klasę wszystkich liczb porządkowych.

Jeśli z jest elementem L _α , to z = { y | y ∈ L _α i y ∈ z } ∈ Def ( L _α ) = L _α+1 . Tak L _alfa jest podzbiorem L _{α +1} , który jest podzestawem zestawu mocy z L _alfa . W konsekwencji jest to wieża zagnieżdżonych zbiorów przechodnich . Ale samo L jest odpowiednią klasą .

Elementy L są nazywane zestawami „konstruktywnymi”; a samo L jest „wszechświatem możliwym do zbudowania”. „ Aksjomat konstruowalności ”, czyli „ V = L ”, mówi, że każdy zbiór (z V ) jest konstruowalny, tj. w L .

Dodatkowe fakty dotyczące zbiorów L _α

Równoważną definicją dla L _α jest:

Dla dowolnej skończonej liczby porządkowej n , zbiory L _n i V _n są takie same (niezależnie od tego, czy V jest równe L czy nie), a zatem L _ω = V _ω : ich elementy są dokładnie dziedzicznie skończonymi zbiorami . Równość poza tym punktem nie obowiązuje. Nawet w modelach ZFC, w których V równa się L , L _{ω +1} jest właściwym podzbiorem V _{ω +1} , a następnie L _{α +1} jest właściwym podzbiorem zbioru potęgowego L _α dla wszystkich α > ω . Z drugiej strony, V = L oznacza, że V _α równa się L _α, jeśli α = ω _α , na przykład, jeśli α jest niedostępne. Bardziej ogólnie, V = L implikuje H _α = L _α dla wszystkich nieskończonych kardynałów α .

Jeśli α jest nieskończoną liczbą porządkową, to istnieje bijekcja między L _α i α , a bijekcja jest konstruowalna. Tak więc zbiory te są równoliczne w każdym modelu teorii mnogości, który je zawiera.

Jak zdefiniowano powyżej, Def( X ) jest zbiorem podzbiorów X określonych przez Δ ₀ formuł (w odniesieniu do hierarchii Levy'ego , tj. formuł teorii mnogości zawierających tylko ograniczone kwantyfikatory ), które używają jako parametrów tylko X i jego elementów.

Inna definicja, dzięki Gödelowi, charakteryzuje każde L _{α +1} jako przecięcie zbioru potęgowego L _α z zamknięciem pod zbiorem dziewięciu jawnych funkcji, podobnych do operacji Gödla . Definicja ta nie odnosi się do definiowalności. ${\ Displaystyle L_ {\ alfa} \ filiżanka \ {L_ {\ alfa} \}}$

Wszystkie podzbiory arytmetyczne ω i relacje na ω należą do L _{ω +1} (ponieważ definicja arytmetyczna podaje jeden w L _{ω +1} ). I odwrotnie, każdy podzbiór ω należący do L _{ω +1} jest arytmetyczny (ponieważ elementy L _ω mogą być kodowane liczbami naturalnymi w taki sposób, że ∈ jest definiowalne, czyli arytmetyczne). Z drugiej strony, L _{ω +2} zawiera już pewne niearytmetyczne podzbiory ω , takie jak zbiór (kodowanie liczb naturalnych) prawdziwych zdań arytmetycznych (można to zdefiniować z L _{ω +1,} więc jest w L _{ω +2} ).

Wszystkie hyperarithmetical podzbiory Ohm i relacje na Ohm należą do (gdzie stoi za porządkowej Kościół-Kleene ) i odwrotnie dowolny podzbiór Ohm , że należy do to hyperarithmetical. ${\ Displaystyle L_ {\ omega _ {1} ^ {\ operatorname {CK}}}}$${\ Displaystyle \ omega _ {1} ^ {\ operatorname {CK}}}$${\ Displaystyle L_ {\ omega _ {1} ^ {\ operatorname {CK}}}}$

L to standardowy model wewnętrzny ZFC

L jest modelem standardowym, tzn. jest klasą przechodnią i wykorzystuje relację elementu rzeczywistego, a więc jest dobrze ugruntowany . L jest modelem wewnętrznym, tzn. zawiera wszystkie liczby porządkowe V i nie ma żadnych „dodatkowych” zbiorów poza tymi w V , ale może to być właściwa podklasa V . L jest modelem ZFC , co oznacza, że ​​spełnia następujące aksjomaty :

• Aksjomat regularności : Każdy niepusty zbiór x zawiera pewien element y taki, że x i y są zbiorami rozłącznymi.

( L ,∈) jest podstrukturą ( V ,∈), która jest dobrze ufundowana, więc L jest dobrze ufundowana. W szczególności, jeśli y ∈ x ∈ L , to przez przechodniość L , y ∈ L . Jeśli użyjemy tego samego y, co w V , to nadal jest ono rozłączne od x, ponieważ używamy tej samej relacji elementów i nie dodano żadnych nowych zestawów.

• Aksjomat ekstensjonalnosci : dwa zbiory sa takie same, jesli maja te same elementy.

Jeśli x i y są w L i mają te same elementy w L , to dzięki przechodniości L , mają te same elementy (w V ). Czyli są równe (w V, a więc w L ).

• Aksjomat zbioru pustego : {} jest zbiorem.

{} = L ₀ = { y | y ∈ L ₀ i y = y } ∈ L ₁ . Więc {} ∈ L . Ponieważ relacja elementów jest taka sama i nie dodano żadnych nowych elementów, jest to pusty zbiór L .

• Aksjomat parowania : Jeśli x , y są zbiorami, to { x , y } jest zbiorem.

Jeśli x ∈ L i y ∈ L , to istnieje pewna liczba porządkowa α taka, że x ∈ L _α i y ∈ L _α . Wtedy { x , y } = { s | s ∈ L _α i ( s = x lub s = y )} ∈ L _{α +1} . Zatem { x , y } L i ma to samo znaczenie dla L jak dla V .

• Aksjomat unii : Dla każdego zbioru x istnieje zbiór y , którego elementy są dokładnie elementami elementów x .

Jeśli x ∈ L _α , to jego elementy są w L _α i ich elementy również w L _α . Więc y jest podzbiorem L _α . y = { s | s ∈ L _α i istnieje z ∈ x takie , że s ∈ z } ∈ L _{α +1} . Zatem y ∈ L .

• Aksjomat nieskończoności : Istnieje zbiór x taki , że { } jest w x i ilekroć y jest w x , tak samo jest w unii .${\ Displaystyle r \ filiżanka \ {y \}}$

Z indukcji pozaskończonej otrzymujemy, że każda liczba porządkowa α ∈ L _{α +1} . W szczególności ω ∈ L _{ω +1} i stąd ω ∈ L .

• Aksjomat separacji : Mając dowolny zbiór S i dowolne zdanie P ( x , z ₁ ,..., z _n ), { x | x ∈ S i P ( x , z ₁ ,..., z _n )} jest zbiorem.

Poprzez indukcję na podformułach P , można pokazać, że istnieje α takie, że L _α zawiera S i z ₁ ,..., z _n i ( P jest prawdziwe w L _α wtedy i tylko wtedy, gdy P jest prawdziwe w L (to nazywana jest „ zasadą odbicia ”)). Więc { x | x ∈ S i P ( x , z ₁ ,..., z _n ) zachodzi w L } = { x | x ∈ L _α i x ∈ S i P ( x , z ₁ ,..., z _n ) zachodzi w L _α } ∈ L _{α +1} . Zatem podzbiór jest w L .

• Aksjomat zamiany : Przy danym zbiorze S i dowolnym odwzorowaniu (formalnie zdefiniowanym jako zdanie P ( x , y ) gdzie P ( x , y ) i P( x , z ) implikuje y = z ), { y | istnieje x ∈ S takie, że P ( x , y )} jest zbiorem.

Niech P ( x , y ) jest formuła relatywizująca P na L , czyli wszystkie kwantyfikatorów w P są ograniczone do L . Q jest znacznie bardziej złożoną formułą niż P , ale wciąż jest skończoną formułą, a ponieważ P było odwzorowaniem na L , Q musi być odwzorowaniem na V ; w ten sposób możemy zastosować zamianę w V na Q . Więc { y | y ∈ L i istnieje x ∈ S takie , że P ( x , y ) zachodzi w L } = { y | istnieje x ∈ S takie, że P ( x , y )} jest zbiorem w V i podklasę L . Ponownie używając aksjomatu zastępowania w V , możemy pokazać, że musi istnieć α taki, że ten zbiór jest podzbiorem L _α ∈ L _{α +1} . Wtedy można użyć aksjomatu separacji w L, aby zakończyć pokazanie, że jest to element L .

• Aksjomat zbioru potęgowego : Dla każdego zbioru x istnieje zbiór y , taki że elementy zbioru y są dokładnie podzbiorami zbioru x .

Ogólnie rzecz biorąc, niektóre podzbiory zbioru w L nie będą w L . Tak więc cały zbiór potęgowy zbioru w L zwykle nie będzie w L . To, czego potrzebujemy, to pokazać, że przecięcie zbioru potęgowego z L jest w L . Użyj zamiany w V, aby pokazać, że istnieje α takie, że przecięcie jest podzbiorem L _α . Wtedy przecięcie to { z | z ∈ L _α i z jest podzbiorem X } ∈ L _{α +1} . Zatem wymagany zestaw jest w L .

• Aksjomat wyboru : Mając zbiór x wzajemnie rozłącznych niepustych zbiorów, istnieje zbiór y (zbiór wyboru dla x ) zawierający dokładnie jeden element z każdego członka x .

Można pokazać, że istnieje definiowalny, dobrze uporządkowany L, którego definicja działa w ten sam sposób w samym L. Tak więc wybiera się najmniejszy element każdego członka x, aby utworzyć y, używając aksjomatów sumy i separacji w L .

Zauważ, że dowód, że L jest modelem ZFC wymaga jedynie, aby V było modelem ZF, tj. nie zakładamy, że aksjomat wyboru zachodzi w V .

L jest absolutne i minimalne

Jeśli W jest dowolnym standardowym modelem ZF mającym te same liczby porządkowe co V , to L zdefiniowane w W jest takie samo jak L zdefiniowane w V . W szczególności L _α jest takie samo w W i V , dla dowolnej liczby porządkowej α . I te same formuły i parametry w Def ( L _α ) dają te same konstruowalne zbiory w L _{α +1} .

Ponadto, ponieważ L jest podklasą V i podobnie L jest podklasą W , L jest najmniejszą klasą zawierającą wszystkie liczby porządkowe, co jest standardowym modelem ZF. Rzeczywiście, L jest przecięciem wszystkich takich klas.

Jeśli istnieje zbiór W w V, który jest standardowym modelem ZF, a liczba porządkowa κ jest zbiorem liczb porządkowych występujących w W , to L _κ jest L z W . Jeżeli istnieje zbiór będący standardowym modelem ZF, to najmniejszym takim zbiorem jest taki L _κ . Ten zestaw nazywa się minimalnym modelem ZFC. Używając w dół twierdzenia Löwenheima-Skolema , można pokazać, że model minimalny (jeśli istnieje) jest zbiorem przeliczalnym.

Oczywiście każda niesprzeczna teoria musi mieć model, więc nawet w minimalnym modelu teorii mnogości istnieją zbiory, które są modelami ZF (zakładając, że ZF jest niesprzeczny). Jednak te zestawy są niestandardowe. W szczególności nie stosują one normalnej relacji elementu i nie są dobrze ugruntowane.

Ponieważ zarówno L z L, jak i V z L są rzeczywistymi L i oba L z L _κ i V z L _κ są rzeczywistymi L _κ , otrzymujemy, że V = L jest prawdziwe w L i w każdym L _{κ ,} które to model ZF. Jednak V = L nie obowiązuje w żadnym innym standardowym modelu ZF.

L i duzi kardynałowie

Ponieważ Ord ⊂ L ⊆ V , właściwości liczb porządkowych, które zależą od braku funkcji lub innej struktury (tj. formuły Π ₁ ^ZF ) są zachowywane przy przechodzeniu od V do L . Stąd początkowe liczby porządkowe kardynałów pozostają początkowe w L . Regularne liczby porządkowe pozostają regularne w L . Słabe kardynały graniczne stają się mocnymi kardynałami limitowymi w L, ponieważ uogólniona hipoteza kontinuum obowiązuje w L . Słabo niedostępni kardynałowie stają się bardzo niedostępni. Słabo kardynałowie Mahlo stać mocno Mahlo. I bardziej ogólnie, każda duża właściwość kardynalna słabsza niż 0 ^# (patrz lista dużych właściwości kardynalnych ) zostanie zachowana w L .

Jednak 0 ^# jest fałszywe w L, nawet jeśli jest prawdziwe w V . Tak więc wszyscy wielcy kardynałowie, których istnienie implikuje 0 ^#, przestają mieć te duże właściwości kardynalne, ale zachowują właściwości słabsze niż 0 #, które również posiadają. Na przykład mierzalni kardynałowie przestają być mierzalni, ale pozostają Mahlo w L .

Jeśli 0 ^# zawiera się w V , to istnieje zamknięta, nieograniczona klasa liczb porządkowych, które są nieodróżnialne w L . Chociaż niektóre z nich nie są nawet początkowymi liczbami porządkowymi w V , mają wszystkie duże właściwości kardynalne słabsze niż 0 ^# w L . Ponadto, każda grupa ściśle rosnącą funkcją z klasy indiscernibles do siebie może być wydłużany w sposób niepowtarzalny na podstawowej osadzania z L do L . Daje to L ładną strukturę powtarzających się segmentów.

L może być dobrze uporządkowane

Istnieją różne sposoby uporządkowania L . Niektóre z nich dotyczą „drobnej struktury” L , którą po raz pierwszy opisał Ronald Bjorn Jensena w jego artykule z 1972 roku zatytułowanym „Dokładna struktura konstruktywnej hierarchii”. Zamiast wyjaśniać drobną strukturę, przedstawimy zarys tego, jak L może być uporządkowane, używając tylko definicji podanej powyżej.

Załóżmy, że x i y są dwoma różnymi zbiorami w L i chcemy określić, czy x < y , czy x > y . Jeśli x po raz pierwszy pojawia się w L _{α +1 ,} a y najpierw pojawia się w L _{β +1 ,} a β jest różne od α , to niech x < y wtedy i tylko wtedy , gdy α < β . Odtąd zakładamy, że β = α .

Etap L _{α +1} = Def ( L _α ) wykorzystuje wzory z parametrami z L _α do zdefiniowania zbiorów x i y . Jeśli dyskontuje (na razie) parametry, to formułom można nadać standardową numerację Gödla przez liczby naturalne. Jeśli Φ jest formułą o najmniejszej liczbie Gödla, która może być użyta do zdefiniowania x , a Ψ jest formułą z najmniejszą liczbą Gödla, która może być użyta do zdefiniowania y , a Ψ różni się od Φ , to niech x < y jeśli i tylko jeśli Φ < Ψ w numeracji Gödla. Odtąd zakładamy, że Ψ = Φ .

Załóżmy, że Φ używa n parametrów z L _α . Załóżmy, że z ₁ ,..., z _n jest sekwencją parametrów, których można użyć z Φ do zdefiniowania x , a w ₁ ,..., w _n robi to samo dla y . Wtedy niech x < y wtedy i tylko wtedy, gdy z _n < w _n lub ( z _n = w _n i z _{n − 1} < w _{n − 1} ) lub (z _n = w _n i z _{n − 1} = w _{n − 1} oraz z _{n − 2} < w _{n − 2} ) itd. Nazywa się to odwrotnym porządkowaniem leksykograficznym ; jeśli istnieje wiele sekwencji parametrów, które definiują jeden z zestawów, wybieramy przynajmniej jeden pod tym porządkiem. Zrozumiałe jest, że możliwe wartości każdego parametru są uporządkowane zgodnie z ograniczeniem uporządkowania od L do L _α , więc ta definicja obejmuje rekurencję pozaskończoną na α .

Dobre uporządkowanie wartości pojedynczych parametrów zapewnia hipoteza indukcyjna o indukcji pozaskończonej. Wartości n -krotek parametrów są dobrze uporządkowane przez zamawiającego produkt. Formuły z parametrami są uporządkowane według uporządkowanej sumy (liczby Gödla) uporządkowania. A L jest uporządkowane według uporządkowanej sumy (indeksowanej przez α ) uporządkowań na L _{α +1} .

Zauważ, że to uporządkowanie można zdefiniować w samym L za pomocą wzoru teorii mnogości bez parametrów, tylko ze zmiennymi swobodnymi x i y . I ta formuła daje taką samą wartość prawdy niezależnie od tego, czy jest oceniana w L , V , czy W (jakiś inny standardowy model ZF z tymi samymi liczbami porządkowymi) i założymy, że formuła jest fałszywa, jeśli x lub y nie jest w L .

Powszechnie wiadomo, że aksjomat wyboru jest równoznaczny z umiejętnością uporządkowania każdego zestawu. Możliwość uporządkowania właściwej klasy V (jak zrobiliśmy tutaj z L ) jest równoważna aksjomatowi globalnego wyboru , który jest silniejszy niż zwykły aksjomat wyboru, ponieważ obejmuje również właściwe klasy zbiorów niepustych.

L ma zasadę odbicia

Udowodnienie, że aksjomat separacji , aksjomat zastępowania i aksjomat wyboru obowiązują w L wymaga (przynajmniej jak pokazano powyżej) zastosowania zasady odbicia dla L . Tutaj opisujemy taką zasadę.

Poprzez indukcję na n < ω , możemy użyć ZF w V do udowodnienia, że ​​dla dowolnej liczby porządkowej α , istnieje liczba porządkowa β > α taka, że ​​dla dowolnego zdania P ( z ₁ ,..., z _k ) z z ₁ ,. .., z _k w L _β i zawierające mniej niż n symboli (licząc stały symbol elementu L _β jako jeden symbol) otrzymujemy, że P ( z ₁ ,..., z _k ) zachodzi w L _β jeśli i tylko wtedy, gdy zachodzi w L .

Uogólniona hipoteza kontinuum obowiązuje w L

Niech , i niech T będzie dowolnym konstruowalnym podzbiorem S . Wtedy jest trochę β z , więc , dla jakiejś formuły Φ i trochę z . Zgodnie z twierdzeniem Löwenheima-Skolema i upadkiem Mostowskiego , musi istnieć pewien zbiór przechodni K zawierający i pewien , i mający tę samą teorię pierwszego rzędu, jak w przypadku podstawienia dla ; a to K będzie miało taki sam kardynał jak . Ponieważ jest prawdziwe w , jest również prawdziwe w K , więc dla niektórych γ ma taki sam kardynał jak α . A ponieważ i mają tę samą teorię. Tak więc T jest w rzeczywistości w . ${\ Displaystyle S \ w L_ {\ alfa}}$${\ Displaystyle T \ w L_ {\ beta +1}}$${\ Displaystyle T = \ {x \ w L_ {\ beta}: x \ w S \ klin \ Phi (x, z_ {i}) \} = \ {x \ w S: \ Phi (x, z_ {i })\}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle L_{\beta}}$${\displaystyle L_{\alfa}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle L_{\beta}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle L_{\alfa}}$${\ Displaystyle V = L}$${\displaystyle L_{\beta}}$${\ Displaystyle K = L_ {\ gamma}}$${\ Displaystyle T = \ {x \ w l_ {\ beta}: x \ w S \ klin \ Phi (x, z_ {i}) \} = \ {x \ w l_ {\ gamma}: x \ w S \wedge \Phi (x,w_{i})\}}$${\displaystyle L_{\beta}}$${\displaystyle L_{\gamma}}$${\ Displaystyle L_ {\ Gamma +1}}$

Zatem wszystkie konstruowalne podzbiory nieskończonego zbioru S mają rang z (co najwyżej) tym samym kardynalnym κ co rangą S ; z tego wynika, że ​​jeśli δ jest początkową liczbą porządkową κ ⁺ , to służy jako „zestaw potęg” S w L . Stąd ów "zestaw mocy" . A to z kolei oznacza, że ​​„zbiór potęg” S ma co najwyżej || Æ ||. Zakładając, że samo S ma kardynalne κ , „zestaw potęg” musi mieć kardynalny dokładnie κ ⁺ . Ale to jest właśnie uogólniona hipoteza kontinuum relatywizowana do L . ${\ Displaystyle L \ czapka {\ mathcal {P}} (S) \ subseteq L_ {\ delta}}$${\ Displaystyle L \ czapka {\ mathcal {P}} (S) \ w L_ {\ delta +1}}$

Zbiory, które można konstruować, są definiowalne na podstawie liczb porządkowych

Istnieje wzór teorii mnogości, który wyraża ideę, że X = L _α . Ma tylko wolne zmienne dla X i α . Korzystając z tego możemy rozszerzyć definicję każdego konstruowanego zestawu. Jeżeli s ∈ L _{α +1} , to s = { y | y ∈ L _α i Φ ( y , z ₁ ,..., z _n ) zachodzi w ( L _α ,∈)} dla pewnego wzoru Φ i niektórych z ₁ ,..., z _n w L _α . Jest to równoznaczne z powiedzeniem, że: dla wszystkich y , y ∈ s wtedy i tylko wtedy, gdy [istnieje X takie, że X = L _α i y ∈ X i Ψ ( X , y , z ₁ ,..., z _n )] gdzie Ψ ( X ,...) jest wynikiem ograniczenia każdego kwantyfikatora w Φ (...) do X . Zauważ, że każdy z _k ∈ L _{β +1} dla niektórych β < α . Łączenie preparatów dla oo "S o wzorze o s i stosuje kwantyfikatorów egzystencjalnych nad Z zewnątrz jest i dostaje wzór, który określa konstruowalnych Seta s przy użyciu tylko porządkowe a które pojawiają się w wyrażeniach jak X = L _alfa jako parametry.

Przykład: Zbiór {5, ω } jest konstruowalny. Jest to unikalny zestaw s , który spełnia następujący wzór:

gdzie jest skrótem od: ${\ Displaystyle Ord (a)}$

Właściwie nawet ta złożona formuła została uproszczona na podstawie instrukcji podanych w pierwszym akapicie. Ale kwestia pozostaje, istnieje formuła teorii mnogości, która jest prawdziwa tylko dla pożądanego zbioru konstruowalnego s i która zawiera parametry tylko dla liczb porządkowych.

Względna konstruktywność

Czasami pożądane jest znalezienie modelu teorii mnogości, który jest tak wąski jak L , ale zawiera lub ma wpływ na zbiór, który nie jest konstruowalny. Daje to początek koncepcji względnej konstruowalności, której istnieją dwa smaki, oznaczane przez L ( A ) i L [ A ].

Klasa L ( A ) dla niekonstruowalnego zbioru A jest przecięciem wszystkich klas, które są standardowymi modelami teorii mnogości i zawierają A oraz wszystkie liczby porządkowe.

L ( A ) jest definiowane przez rekurencję pozaskończoną w następujący sposób:

• L ₀ ( A ) = najmniejszy zbiór przechodni zawierający A jako element, tj. domknięcie przechodnie { A }.
• L _{α + 1} ( A ) = Def ( L _α ( ))
• Jeśli λ jest liczbą porządkową graniczną, to .${\ Displaystyle L_ {\ lambda} (A) = \ bigcup _ {\ alfa <\ lambda} L_ {\ alfa} (A) \!}$
• ${\ Displaystyle L (A) = \ bigcup _ {\ alfa} L_ {\ alfa} (A) \!}$.

Jeśli L ( A ) zawiera dobre uporządkowanie domknięcia przechodniego A, to można to rozszerzyć na dobre uporządkowanie L ( A ). W przeciwnym razie aksjomat wyboru zawiedzie w L ( A ).

Typowym przykładem jest , najmniejszy model, który zawiera wszystkie liczby rzeczywiste, który jest szeroko stosowany we współczesnej opisowej teorii mnogości . ${\ Displaystyle L (\ mathbb {R} )}$

Klasa L [ A ] to klasa zbiorów, na których budowę ma wpływ A , gdzie A może być zbiorem (przypuszczalnie niekonstruowalnym) lub klasą właściwą. Definicja tej klasy wykorzystuje Def _A ( X ), która jest taka sama jak Def ( X ) z tym wyjątkiem, że zamiast oceniać prawdziwość formuł Φ w modelu ( X ,∈ ), używa się modelu ( X ,∈, A ) gdzie A jest predykatem jednoargumentowym. Zamierzone interpretacja A ( y ) jest Y ∈ . Wtedy definicja L [ A ] jest dokładnie taka sama jak L tylko z Def zastąpionym przez Def _A .

L [ A ] jest zawsze modelem aksjomatu wyboru. Nawet jeśli A jest zbiorem, A niekoniecznie samo jest członkiem L [ A ], chociaż zawsze tak jest, jeśli A jest zbiorem liczb porządkowych.

Zbiory w L ( A ) lub L [ A ] zazwyczaj nie są w rzeczywistości konstruowalne, a własności tych modeli mogą być zupełnie inne niż własności samego L.

Zobacz też

• Aksjomat konstruowalności
• Stwierdzenia prawdziwe w L
• Zasada odbicia
• Aksjomatyczna teoria mnogości
• Zestaw przechodni
• L(P)
• Porządkowe definiowalne

Uwagi

Bibliografia

• Barwise, Jon (1975). Dopuszczalne zestawy i konstrukcje . Berlin: Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-07451-1.
• Devlin, Keith J. (1984). Konstrukcyjność . Berlin: Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-13258-9.
• Felgner, Ulrich (1971). Modele teorii zbiorów ZF . Notatki z wykładu z matematyki. Springer-Verlag. Numer ISBN 3-540-05591-6.
• Gödel, Kurt (1938). „Spójność aksjomatu wyboru i uogólnionej hipotezy kontinuum” . Materiały Narodowej Akademii Nauk Stanów Zjednoczonych Ameryki . Narodowa Akademia Nauk. 24 (12): 556–557. Kod Bibcode : 1938PNAS...2...556G . doi : 10.1073/pnas.24.12.556 . JSTOR  87239 . PMC  1077160 . PMID  16577857 .
• Gödel, Kurt (1940). Spójność hipotezy continuum . Roczniki studiów matematycznych. 3 . Princeton, NJ: Princeton University Press. Numer ISBN 978-0-691-07927-1. MR  0002514 .
• Jech, Tomasz (2002). Teoria mnogości . Monografie Springera w matematyce (red. 3. tysiąclecia). Skoczek. Numer ISBN 3-540-44085-2.