Proces Gaussa-Markowa - Gauss–Markov process

Procesy stochastyczne Gaussa-Markowa (nazwane na cześć Carla Friedricha Gaussa i Andreya Markowa ) to procesy stochastyczne, które spełniają wymagania zarówno procesów Gaussa, jak i procesów Markowa . Stacjonarny proces Gaussa-Markowa jest unikalny aż do przeskalowania; taki proces jest również znany jako proces Ornsteina-Uhlenbecka .

Podstawowe właściwości

Każdy proces Gaussa-Markowa X ( t ) posiada trzy następujące właściwości:

1. Jeśli h ( t ) jest niezerową funkcją skalarną t , to Z ( t ) = h ( t ) X ( t ) jest również procesem Gaussa-Markowa
2. Jeśli f ( t ) jest niemalejącą funkcją skalarną t , to Z ( t ) = X ( f ( t )) jest również procesem Gaussa-Markowa
3. Jeśli proces jest niezdegenerowany i średniokwadratowy ciągły, to istnieje niezerowa funkcja skalarna h ( t ) i ściśle rosnąca funkcja skalarna f ( t ) taka, że X ( t ) = h ( t ) W ( f ) ( t )), gdzie W ( t ) jest standardowym procesem Wienera .

Właściwość (3) oznacza, że ​​każdy niezdegenerowany średniokwadratowy ciągły proces Gaussa-Markowa można zsyntetyzować ze standardowego procesu Wienera (SWP).

Inne właściwości

Stacjonarny proces Gaussa-Markowa z wariancją i stałą czasową ma następujące właściwości. ${\ Displaystyle {\ textbf {E}} (X ^ {2} (t)) = \ sigma ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ beta ^ {-1}}$

• Wykładniczy autokorelacji :
  $${\ Displaystyle {\ textbf {R}} _ {x} (\ tau) = \ sigma ^ {2} e ^ {- \ beta | \ tau |}.}$$

  
• Funkcja gęstości widmowej mocy (PSD), która ma taki sam kształt jak rozkład Cauchy'ego :
  $${\ Displaystyle {\ textbf {S}} _ {x} (j \ omega ) = {\ Frac {2 \ sigma ^ {2} \ beta} {\ omega ^ {2} + \ beta ^ {2}}} .}$$

  
  (Zauważ, że rozkład Cauchy'ego i to widmo różnią się współczynnikami skali.)
• Powyższe daje następującą faktoryzację widmową:
  $${\ Displaystyle {\ textbf {S}} _ {x} (s) = {\ Frac {2 \ sigma ^ {2} \ beta {-s ^ {2} + \ beta ^ {2}}} = { \frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\ beta )}}.}$$

  
  co jest ważne w filtrowaniu Wienera i innych obszarach.

Istnieje również kilka trywialnych wyjątków od wszystkich powyższych.

Bibliografia