Konwergencja Gromov–Hausdorff - Gromov–Hausdorff convergence

W matematyce , Gromow-Hausdorffa zbieżność , nazwany Michaił Gromow i Felix Hausdorff , to pojęcie dla zbieżności przestrzeni metrycznych , która jest uogólnieniem Hausdorffa konwergencji .

Odległość Gromov–Hausdorff

Jak daleko i jak blisko znajdują się niektóre postacie w odległości Gromova–Hausdorffa.

Odległość Gromova-Hausdorffa została wprowadzona przez Davida Edwardsa w 1975 roku, a później została ponownie odkryta i uogólniona przez Michaiła Gromowa w 1981 roku. Odległość ta mierzy, jak daleko dwie zwarte przestrzenie metryczne są od izometryczne . Jeżeli X i Y są dwa zwartych metryczne, a następnie d GH ( X , Y ) są zdefiniowane jako infimum wszystkich liczb d H ( F ( X ) g ( Y )) dla metryki przestrzeni M i wszystkie izometryczny zanurzeń f  :  X  →  M i g  :  Y  →  M . Tutaj d H oznacza odległość Hausdorffa między podzbiorami w M, a zanurzenie izometryczne jest rozumiane w sensie globalnym, tj. musi zachować wszystkie odległości, a nie tylko nieskończenie małe; na przykład żadna zwarta rozmaitość riemannowska nie dopuszcza takiego osadzenia w przestrzeni euklidesowej o tym samym wymiarze.

Odległość Gromova-Hausdorffa przekształca zbiór wszystkich klas izometrycznych zwartych przestrzeni metrycznych w przestrzeń metryczną, zwaną przestrzenią Gromowa-Hausdorffa, a zatem definiuje pojęcie zbieżności dla ciągów zwartych przestrzeni metrycznych, zwanej zbieżnością Gromowa-Hausdorffa. Przestrzeń metryczna, do której taki ciąg jest zbieżny, nazywa się granicą Gromova-Hausdorffa ciągu.

Niektóre własności przestrzeni Gromova-Hausdorffa

Przestrzeń Gromova-Hausdorffa jest połączona ścieżkami , kompletna i rozdzielna . Jest to również geodezyjne , tzn. dowolne dwa z jego punktów są punktami końcowymi geodezyjnej minimalizacyjnej . W sensie globalnym przestrzeń Gromowa-Hausdorffa jest całkowicie niejednorodna, tzn. jej grupa izometrii jest trywialna, ale lokalnie istnieje wiele nietrywialnych izometrii.

Spiczasta konwergencja Gromov-Hausdorff

Zaostrzona zbieżność Gromova–Hausdorffa jest odpowiednikiem zbieżności Gromova–Hausdorffa właściwej dla przestrzeni niezwartych. Zaostrzoną metryki przestrzeni pary ( x , t ), składające się z metryki przestrzeni X i punkt P w X . Ciąg ( X n , p n ) zaostrzonych przestrzeni metrycznych zbiega się do zaostrzonej przestrzeni metrycznej ( Y ,  p ) jeśli dla każdego R  > 0 ciąg zamkniętych R - kulek wokół p n w X n zbiega się do zamkniętego R -piłka wokół p w Y w zwykłym sensie Gromova-Hausdorffa.

Aplikacje

Pojęcie zbieżności Gromova-Hausdorffa zostało użyte przez Gromova do udowodnienia, że ​​każda dyskretna grupa o wzroście wielomianowym jest praktycznie nilpotencjalna (tj. zawiera nilpotencjalną podgrupę o skończonym indeksie ). Zobacz twierdzenie Gromova o grupach wzrostu wielomianowego . (Zobacz też wcześniejszą pracę D. Edwardsa.) Kluczowym składnikiem dowodu była obserwacja, że ​​w przypadku grafu Cayleya grupy o wielomianowym wzroście sekwencja przeskalowań jest zbieżna we wskazanym sensie Gromova-Hausdorffa.

Innym prostym i bardzo użytecznym wynikiem w geometrii riemannowskiej jest twierdzenie Gromova o zwartości , które stwierdza, że ​​zbiór rozmaitości riemannowskich o krzywiźnie Ricciego  ≥  c i średnicy  ≤  D jest stosunkowo zwarty w metryce Gromova-Hausdorffa. Przestrzenie graniczne są przestrzeniami metrycznymi. Dodatkowe właściwości na przestrzeniach długości zostały udowodnione przez Cheeger i Colding .

Metryka odległości Gromova-Hausdorffa została zastosowana w dziedzinie grafiki komputerowej i geometrii obliczeniowej, aby znaleźć odpowiedniki między różnymi kształtami.

Odległość Gromova-Hausdorffa została wykorzystana przez Sormaniego do udowodnienia stabilności modelu Friedmanna w kosmologii. Ten model kosmologii nie jest stabilny w odniesieniu do płynnych zmian metryki.

W szczególnym przypadku koncepcja granic Gromova-Hausdorffa jest ściśle związana z teorią dużych odchyleń .

Metryka odległości Gromova-Hausdorffa została wykorzystana w neuronauce do porównywania sieci mózgowych.

Bibliografia

  1. ^ David A. Edwards, „Struktura superprzestrzeni”, w „Studia topologii”, Academic Press, 1975, pdf
  2. ^ A. Tuzhilin, „Kto wynalazł odległość Gromov-Hausdorff? (2016)”, arXiv : 1612.00728
  3. ^ M. Gromow. "Structures métriques pour les variétés riemanniennes", pod redakcją Lafontaine'a i Pierre'a Pansu , 1981.
  4. ^ M. Gromov, Grupy wzrostu wielomianowego i mapy rozszerzające, publikacje mathematiques IHÉ.S. , 53, 1981
  5. ^ D.Burago, Yu.Burago, S.Ivanov, Kurs geometrii metrycznej , AMS GSM 33, 2001.
  6. ^ A.Ivanov, N.Nikolaeva, A.Tuzhilin (2015), Metryka Gromova-Hausdorffa na przestrzeni zwartych przestrzeni metrycznych jest ściśle nieodłączna , arXiv : 1504.03830 . Aby uzyskać jednoznaczną konstrukcję geodezji, patrz Chowdhury, S. i Mémoli, F. (2016). „Konstruowanie geodezji na przestrzeni zwartych przestrzeni metrycznych”. arXiv : 1603.02385 .
  7. ^ A.Ivanov, A.Tuzhilin (2018), Grupa izometryczna Gromov-Hausdorff Space , arXiv : 1806.02100
  8. ^ A.Ivanov, A.Tuzhilin (2016), lokalna struktura przestrzeni Gromov-Hausdorff w pobliżu skończonych przestrzeni metrycznych w pozycji ogólnej , arXiv : 1611.04484
  9. ^ André Bellaïche (1996), „Przestrzeń styczna w geometrii sub-Riemanna”, w André Bellaïche; Jean-Jacques Risler (red.), Geometria sub-riemannowska , Progress in Mathematics, 144 , Birkhauser, s. 56
  10. ^ Cheeger-Colding: O strukturze przestrzeni o krzywiźnie Ricciego ograniczonej poniżej I
  11. ^ Memoli F. i Sapiro G. (2004, lipiec). Porównywanie chmur punktów. W Proceedings of 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH sympozjum na temat przetwarzania geometrii (str. 32–40). ACM.
  12. ^ Sormani: kosmologia Friedmanna i prawie izotropia
  13. ^ Kotani M., Sunada T. , Duże odchylenie i stożek styczny w nieskończoności sieci krystalicznej , Matematyka. Z. 254, (2006), 837-870.
  14. ^ Lee, H., Chung, M., Kang, H., Kim, BN., Lee, DS (2011) Obliczanie kształtu sieci mózgowych przy użyciu filtracji wykresów i metrycznych Gromova-Hausdorffa MICCAI 2011, część II, LNCS 6892, s. 302–309
  • M. Gromow. Struktury metryczne dla przestrzeni riemannowskich i nieriemannowskich , Birkhäuser (1999). ISBN  0-8176-3898-9 (tłumaczenie z dodatkową treścią).