Słowniczek geometrii riemannowskiej i metrycznej - Glossary of Riemannian and metric geometry

To jest słownik niektórych terminów używanych w geometrii riemannowskiej i geometrii metrycznej - nie obejmuje terminologii topologii różniczkowej .

Poniższe artykuły mogą być również przydatne; albo zawierają specjalistyczne słownictwo, albo przedstawiają bardziej szczegółowe wyjaśnienia poniższych definicji.

• Połączenie
• Krzywizna
• Przestrzeń metryczna
• Rozmaitość riemannowska

Zobacz też:

• Słowniczek topologii ogólnej
• Słowniczek geometrii i topologii różniczkowej
• Lista zagadnień związanych z geometrią różniczkową

O ile nie określono inaczej, litery X , Y , Z poniżej oznaczają przestrzenie metryczne, M , N oznaczają rozmaitości riemannowskie, | xy | lub oznacza odległość pomiędzy punktami x i y w X . Kursywa słowo oznacza samoodnoszenie do tego słownika. ${\ displaystyle | xy | _ {X}}$

Zastrzeżenie : wiele terminów w Riemanna i geometrii metrycznej, takich jak wypukłej funkcji , wypukłego zbioru i innych, nie mają dokładnie takie samo znaczenie jak w powszechnym użyciu matematycznego.

ZA

Przestrzeń Aleksandrowa uogólnienie rozmaitości riemannowskich z górnymi, dolnymi lub całkowitymi granicami krzywizny (ostatnia działa tylko w wymiarze 2)

Prawie płaski kolektor

Izometria łukowa jest taka sama jak izometria ścieżki .

Autoparalelne to samo, co całkowicie geodezyjne

b

Barycenter , patrz środek masy .

mapa Bi-Lipschitz. Mapa nazywa się bi-Lipschitz, jeśli istnieją dodatnie stałe c i C takie, że dla dowolnego x i y w X${\ displaystyle f: X \ do Y}$

${\ Displaystyle c | xy | _ {X} \ równoważnik | f (x) f (y) | _ {Y} \ równoważnik C | xy | _ {X}}$

Funkcja Busemanna dla danego promienia , γ: [0, ∞) → X , funkcja Busemanna jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle B _ {\ gamma} (p) = \ lim _ {t \ do \ infty} (| \ gamma (t) -p | -t)}$

do

Twierdzenie Cartana – Hadamarda jest stwierdzeniem, że połączona, po prostu połączona kompletna rozmaitość riemannowska z niedodatnią krzywizną przekroju jest diffeomorficzna do R ⁿ poprzez mapę wykładniczą; w przypadku przestrzeni metrycznych stwierdzenie, że połączona, po prostu połączona kompletna geodezyjna przestrzeń metryczna z nie dodatnią krzywizną w sensie Aleksandrowa jest (globalnie) przestrzenią CAT (0) .

Cartan rozszerzony Einsteina ogólnej teorii względności do teorii Einsteina-Cartan , używając geometrii Riemanna-Cartan zamiast geometrii Riemanna. To rozszerzenie zapewnia skręcanie afiniczne , które pozwala na niesymetryczne tensory krzywizny i włączenie sprzężenia spin-orbita .

Środek masy . Punkt q  ∈  M nazywamy środkiem masy punktów, jeśli jest punktem globalnego minimum funkcji ${\ Displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ kropki, p_ {k}}$

${\ displaystyle f (x) = \ suma _ {i} | p_ {i} x | ^ {2}}$

Taki punkt jest wyjątkowy, jeśli wszystkie odległości są mniejsze niż promień wypukłości . ${\ displaystyle | p_ {i} p_ {j} |}$

Symbol Christoffel

Rozpadający się kolektor

Kompletna przestrzeń

Ukończenie

Mapa konformalna to mapa z zachowaniem kątów.

Konformalnie płaskie a M jest konformalnie płaskie, jeśli jest lokalnie konformalnie równoważne z przestrzenią euklidesową, na przykład standardowa sfera jest konformalnie płaska.

Punkty sprzężone dwa punkty p i q na geodezyjnejnazwie są sprzężone, jeśli istnieje pole Jacobiego, naktórym znajduje się zero wpunktach p i q . ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$

Funkcja wypukła . Funkcja f na rozmaitości riemannowskiej jest wypukła, jeśli dla dowolnej geodezyjnejfunkcjajest wypukła . Funkcja f nazywana jest-wypukłą, jeśli dla dowolnej geodezyjnejz parametrem naturalnymfunkcjajest wypukła . ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle f \ circ \ gamma}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle f \ circ \ gamma (t) - \ lambda t ^ {2}}$

Wypukłe Podzbiór K z Riemanna kolektora M nazywa się wypukłym, jeżeli dla dwóch dowolnych punktach K jest najkrótsza droga łącząca je która leży całkowicie w K , patrz również całkowicie wypukła .

Pakiet cotangent

Pochodna kowariantna

Wytnij locus

re

Średnica przestrzeni metrycznej jest nadrzędną wartością odległości między parami punktów.

Powierzchnia możliwa do wywołania to powierzchnia izometryczna względem płaszczyzny.

Dylatacja mapy między przestrzeniami metrycznymi jest dolnym krańcem liczb L takim, że daną mapą jest L - Lipschitz .

mi

Mapa wykładnicza : mapa wykładnicza (teoria Lie) , mapa wykładnicza (geometria riemannowska)

fa

Metryka Finslera

Pierwsza podstawowa forma dla osadzania lub zanurzenie jest wycofywanie się banków z tensora metrycznego .

sol

Geodezyjna to krzywa, która lokalnie minimalizuje odległość .

Geodezyjnej przepływu jest przepływem na styczna wiązki TM rozgałęźną M , generowane przez pola wektorowego , który tory są postaci, w którychjest geodezyjny . ${\ Displaystyle (\ gamma (t), \ gamma '(t))}$${\ displaystyle \ gamma}$

Konwergencja Gromova-Hausdorffa

Geodezyjna przestrzeń metryczna to przestrzeń metryczna, w której dowolne dwa punkty są punktami końcowymi minimalizującej geodezyjnej .

H.

Przestrzeń Hadamarda jest całkowicie połączoną przestrzenią o niepozytywnej krzywiźnie.

Horosphere to zestaw poziomów funkcji Busemanna .

ja

Promień iniekcyjności Promień iniekcji w punkcie p kolektora Riemannowskiego jest największym promieniem, dla którego mapa wykładnicza w p jest dyfeomorfizmem . Promień zatłaczania z Riemanna kolektora jest infimum promieniami zatłaczania we wszystkich punktach. Zobacz także wycięte miejsce .

W przypadku całych rozmaitości, jeśli promień wtrysku w p jest liczbą skończoną r , to albo istnieje geodezja o długości 2 r, która zaczyna się i kończy na p, albo istnieje sprzężenie punktu q z p (patrz punkt sprzężony powyżej) i na odległość r od p . W przypadku zamkniętego kolektora riemannowskiego promień iniekcji jest równy połowie minimalnej długości zamkniętego układu geodezyjnego lub minimalnej odległości między punktami sprzężonymi na geodezyjnej.

Infranilmanifold Biorąc pod uwagę po prostu podłączona Grupa Nilpotentna Lie N działająca w sobie lewym mnożenia i skończonej grupy automorfizmy C z N można określić takie działanie produktu iloczynów w N . Przestrzeń orbity N utworzona przez dyskretną podgrupę, która oddziałuje swobodnie na N, nazywana jest rozgałęzieniem infranil . Nieskończoność nieskończona jest pokryta przez zerową . ${\ displaystyle N \ rtimes F}$${\ displaystyle N \ rtimes F}$

Izometria to mapa, która zachowuje odległości.

Metryka wewnętrzna

jot

Pole jacobi pola jacobi to pole wektorowe na geodezyjnej y, które można otrzymać w następujący sposób: Należy gładką jedną rodzinę parametru geodezyjnychz, wówczas pole jacobi jest opisana ${\ displaystyle \ gamma _ {\ tau}}$${\ displaystyle \ gamma _ {0} = \ gamma}$

${\ Displaystyle J (t) = \ lewo. {\ Frac {\ częściowe \ gamma _ {\ tau} (t)} {\ częściowe \ tau}} \ prawo | _ {\ tau = 0}.}$

Krzywa Jordana

K.

Zabijanie pola wektorowego

L

Metryka długości taka sama jak metryka wewnętrzna .

Połączenie Levi-Civita to naturalny sposób na różnicowanie pól wektorowych na rozmaitościach riemannowskich.

Zbieżność Lipschitza zbieżność zdefiniowana przez miernik Lipschitza.

Odległość Lipschitza między przestrzeniami metrycznymi jest dolnym krańcem liczb r takim, że istnieje bijektywna mapa bi-Lipschitza między tymi przestrzeniami ze stałymi exp (- r ), exp ( r ).

Mapa Lipschitz

Mapa logarytmiczna jest prawą odwrotnością mapy wykładniczej.

M

Średnia krzywizna

Kula metryczna

Tensor metryczny

Minimalna powierzchnia jest podrozmaitością o (wektorze) średniej krzywizny zerowej.

N

Parametryzacja naturalna to parametryzacja według długości.

Netto . Podzbiór S przestrzeni metrycznej X nazywany jest -net, jeśli dla dowolnego punktu w X istnieje punkt w S na odległości . Różni się to od sieci topologicznych, które uogólniają granice. ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ leq \ epsilon}$

Rozmaitość zerowa : Element minimalnego zbioru rozmaitości, który zawiera punkt i ma następującą własność: każda zorientowana-wiązka na rozstawie zerowej jest kolektorem zerowym. Można go również zdefiniować jako czynnik połączonej nilpotentnej grupy Liego za pomocą sieci . ${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Wiązka normalna : związana z osadzeniem rozmaitości M w otaczającej przestrzeni euklidesowej, wiązka normalna jest wiązką wektorów, której włókno w każdym punkcie p jest dopełnieniem ortogonalnym (w) przestrzeni stycznej. ${\ Displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {N}}$${\ Displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {N}}$${\ displaystyle T_ {p} M}$

Mapa nierozwijająca się taka sama jak mapa krótka

P.

Transport równoległy

Przestrzeń wielościenna jest prostym kompleksem z metryką taką, że każdy simplex z metryką indukowaną jest izometryczny do simplexu w przestrzeni euklidesowej .

Główna krzywizna to maksymalna i minimalna normalna krzywizna w punkcie na powierzchni.

Główny kierunek to kierunek głównych krzywizn.

Izometria ścieżki

Właściwa przestrzeń metryczna to przestrzeń metryczna, w której każda zamknięta kula jest zwarta . Odpowiednio, jeśli każdy zamknięty podzbiór ograniczony jest zwarty. Każda właściwa przestrzeń metryczna jest kompletna .

Q

Quasigeodesic ma dwa znaczenia; tutaj podajemy najczęściej. Mapa (gdzie jest podsegmentem) nazywana jest quasigeodesic, jeśli istnieją stałe i taka, że ​​dla każdego${\ displaystyle f: ja \ do Y}$${\ Displaystyle I \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle K \ geq 1}$${\ displaystyle C \ geq 0}$${\ displaystyle x, y \ in I}$

${\ Displaystyle {1 \ przez K} d (x, r) -C \ równoważnik d (f (x), f (r)) \ równoważnik Kd (x, r) + do.}$

Zauważ, że quasigeodesic niekoniecznie jest krzywą ciągłą.

Quasi-izometria . Mapanazywana jest quasi-izometrią, jeśli istnieją stałeitakie tam ${\ displaystyle f: X \ do Y}$${\ displaystyle K \ geq 1}$${\ displaystyle C \ geq 0}$

${\ Displaystyle {1 \ przez K} d (x, r) -C \ równoważnik d (f (x), f (r)) \ równoważnik Kd (x, r) + do.}$

a każdy punkt w Y ma odległość co najwyżej C od pewnego punktu f ( X ). Należy zauważyć, że quasi-izometria nie jest uważana za ciągłą. Na przykład każda mapa między zwartymi przestrzeniami metrycznymi jest quasi izometrią. Jeśli istnieje quasi-izometria od X do Y, to mówi się, że X i Y są quasi-izometryczne .

R

Promień przestrzeni metrycznej to minima promieni kulek metrycznych, które całkowicie obejmują przestrzeń.

Promień wypukłości w punkcie p kolektora riemannowskiego jest największym promieniem kuli, która jest podzbiorem wypukłym .

Promień jest jednostronnie nieskończoną geodezyjną, która jest minimalizowana w każdym przedziale

Tensor krzywizny Riemanna

Rozmaitość riemannowska

Zanurzenie riemannowskie to mapa pomiędzy rozmaitościami riemannowskimi, która jest jednocześnie zanurzeniem i submetrią .

S

Drugą formą podstawową jest forma kwadratowa w przestrzeni stycznej hiperpowierzchni, zwykle oznaczana przez II, równoważny sposób opisu operatora kształtu hiperpowierzchni,

${\ Displaystyle {\ tekst {II}} (v, w) = \ langle S (v), w \ rangle}$

Można go również uogólnić na dowolny kowymiar, w którym to przypadku jest to forma kwadratowa z wartościami w przestrzeni normalnej.

Operator kształt dla hiperpowierzchni M jest operatorem liniowy przestrzeniami tangens S _s :  t _s M → T _P K . Jeśli n jest jednostkowym polem normalnym do M, a v jest wektorem stycznym, to

${\ Displaystyle S (v) = \ pm \ nabla _ {v} n}$

(nie ma standardowej umowy, czy w definicji używać + czy -).

Mapa krótka jest mapą odległościową, która nie rośnie.

Gładka kolektor

Kolektor Sol jest czynnikiem połączonej rozwiązalnej grupy Liego za pomocą sieci .

Submetria krótka mapa f między przestrzeniami metrycznymi nazywana jest submetrią, jeśli istnieje R> 0 taka, że ​​dla dowolnego punktu x i promienia r <R mamy ten obraz metrycznejkulki r, która jestkulą r , tj.

${\ Displaystyle f (B_ {r} (x)) = B_ {r} (f (x))}$

Rozmaitość sub-riemannowska

Systole . K -systole z M ,jest minimalna objętość k -cycle niehomologicznej do zera. ${\ displaystyle syst_ {k} (M)}$

T

Pakiet styczny

Całkowicie wypukłe. Podzbiór K rozmaitości riemannowskiej M nazywany jest całkowicie wypukłym, jeśli dla dowolnych dwóch punktów w K jakakolwiek łącząca je geodezyjna leży całkowicie w K , patrz także wypukła .

Całkowicie geodezyjna podrozmaitość jest podrozmaitością w taki sposób, że cała geodezja w podrozmaitości jest również geodezją otaczającej rozmaitości.

U

Wyjątkowo geodezyjna przestrzeń metryczna to przestrzeń metryczna, w której dowolne dwa punkty są punktami końcowymi unikalnej minimalizującej geodezyjnej .

W.

Metryka słowa w grupie to metryka wykresu Cayleya zbudowana przy użyciu zestawu generatorów.