Promień żyroskopowy - Gyroradius

Promień larmora (znany również jako promień bezwładności , promień Larmora lub promienia cyklotronie ) jest promieniem kołowego ruchu z cząstek naładowanych , w obecności jednolitego pola magnetycznego . W jednostkach SI , nierelatywistyczny promień żyroskopu jest podany przez

${\ Displaystyle R_ {g} = {\ Frac {mv_ {\ sprawca}} {| Q | B}}}$

gdzie jest masą cząstki, to składowa prędkości w kierunku prostopadłym do kierunku pola magnetycznego, jest to ładunek elektryczny na cząstki i jest natężenie pola magnetycznego. ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle v_ {\ sprawca}}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle B}$

Częstotliwość kątową tego ruchu kołowego znany jest jako gyrofrequency lub częstotliwości w cyklotronie , i może być wyrażona jako

${\ Displaystyle \ omega _ {g} = {\ Frac {| q | B} {m}}}$

w radianach /sekundę.

Warianty

Często warto nadać częstotliwości żyroskopowej znak z definicją

${\ Displaystyle \ omega _ {g} = {\ Frac {qB} {m}}}$

lub wyrazić to w jednostkach herców za pomocą

${\ Displaystyle f_ {g} = {\ Frac {qB} {2 \ pi m}}}$.

W przypadku elektronów częstotliwość tę można zmniejszyć do

${\ Displaystyle f_ {g, e} = (2,8 \ razy 10 ^ {10} \ \ operatorname {herc} / \ operatorname {tesla}) \ razy B}$.

W jednostkach cgs-promień żyroskopu

${\ Displaystyle R_ {g} = {\ Frac {mcv_ {\ sprawca}} {| Q | B}}}$

i odpowiednią częstotliwość żyroskopową

${\ Displaystyle \ omega _ {g} = {\ Frac {| q | B} {mc}}}$

uwzględniamy czynnik , czyli prędkość światła, ponieważ pole magnetyczne jest wyrażone w jednostkach . ${\displaystyle c}$${\ Displaystyle [B] = g ^ {1/2} cm ^ {-1/2} s ^ {-1}}$

Przypadek relatywistyczny

Dla cząstek relatywistycznych równanie klasyczne musi być interpretowane w kategoriach pędu cząstki : ${\displaystyle p=\gamma mv}$

${\ Displaystyle R_ {g} = {\ Frac {p_ {\ sprawca}} {| q | B}} = {\ Frac {\ gamma mv_ {\ sprawca}} {| q | B}}}$

gdzie jest współczynnik Lorentza . Równanie to jest poprawne również w przypadku nierelatywistycznym. ${\ Displaystyle \ gamma}$

Do obliczeń w akceleratorach i Astroparticle fizyki wzór na promień larmora można przekształcić otrzymując

${\ Displaystyle R_ {g} / \ operatorname {metr} = 3,3 \ razy {\ Frac {(\ gamma mc ^ {2}/\ operatorname {GeV}) (v_ {\ sprawca} / c) {(| q |/e)(B/\mathrm {Tesla} )}}}$,

gdzie jest prędkością światła, jest jednostką giga - elektronowoltów i jest ładunkiem elementarnym . ${\displaystyle c}$${\ Displaystyle \ operatorname {GeV}}$${\displaystyle e}$

Pochodzenie

Jeśli naładowana cząstka się porusza, doświadczy siły Lorentza podanej przez

${\ Displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {v}} \ razy {\ vec {B}})}$,

gdzie jest wektorem prędkości i jest wektorem pola magnetycznego. ${\displaystyle {\vec {v}}}$${\ Displaystyle {\ vec {B}}}$

Zauważ, że kierunek siły jest określony przez iloczyn poprzeczny prędkości i pola magnetycznego. Tak więc siła Lorentza zawsze będzie działać prostopadle do kierunku ruchu, powodując wirowanie cząstki lub poruszanie się po okręgu. Promień tego okręgu, , można określić, przyrównując wielkość siły Lorentza do siły dośrodkowej jako ${\displaystyle r_{g}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {mv_ {\ sprawca} ^ {2}} {r_ {g}}} = | q | v_ {\ sprawca} B}$.

Zmieniając, promień żyroskopu można wyrazić jako

${\ Displaystyle R_ {g} = {\ Frac {mv_ {\ sprawca}} {| Q | B}}}$.

Zatem promień bezwładności jest wprost proporcjonalny do masy cząstki i prędkości prostopadłej, podczas gdy jest odwrotnie proporcjonalny do ładunku elektrycznego cząstki i natężenia pola magnetycznego. Czas potrzebny cząstce na ukończenie jednego obrotu, zwany okresem , można obliczyć jako

${\ Displaystyle T_ {g} = {\ Frac {2 \ pi r_ {g}} {v_ {\ sprawca}}}}$.

Ponieważ okres jest odwrotnością odnalezionej przez nas częstotliwości

${\ Displaystyle f_ {g} = {\ Frac {1} {T_ {g}}} = {\ Frac {| q | B} {2 \ pi m}}}$

i dlatego

${\ Displaystyle \ omega _ {g} = {\ Frac {| q | B} {m}}}$.

Zobacz też

• Sztywność belki
• Częstotliwość cyklotronowa
• Cyklotron
• Ruch cząstek magnetosfery
• Żyrokinetyka

Bibliografia