Stan Höldera - Hölder condition

W matematyce funkcja o wartościach rzeczywistych lub zespolonych f na d- wymiarowej przestrzeni euklidesowej spełnia warunek Höldera lub jest ciągła Höldera , gdy istnieją nieujemne stałe rzeczywiste C , α>0, takie, że

${\ Displaystyle | f (x) - f (y) | \ leq C \ | xy \ | ^ {\ alfa}}$

dla wszystkich x i y w dziedzinie f . Mówiąc bardziej ogólnie, warunek można sformułować dla funkcji między dowolnymi dwiema przestrzeniami metrycznymi . Liczba α nazywana jest wykładnikiem warunku Höldera. Funkcja na przedziale spełniającym warunek z α > 1 jest stała . Jeśli α = 1, funkcja spełnia warunek Lipschitza . Dla dowolnego α > 0 warunek implikuje, że funkcja jest jednostajnie ciągła . Warunek nosi imię Otto Höldera .

Mamy następujący łańcuch ścisłych wtrąceń dla funkcji nad zamkniętym i ograniczonym nietrywialnym przedziałem prostej rzeczywistej

Ciągle różniczkowalna ⊂ Lipschitz ciągła ⊂ α-Hölder ciągła ⊂ jednostajnie ciągła ⊂ ciągła

gdzie 0 < α ≤ 1.

Przestrzenie Höldera

Przestrzenie Höldera składające się z funkcji spełniających warunek Höldera są podstawowe w obszarach analizy funkcjonalnej dotyczącej rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych oraz w układach dynamicznych . Przestrzeń Höldera C ^{k , α} (Ω), gdzie Ω jest otwartym podzbiorem pewnej przestrzeni euklidesowej, a k ≥ 0 jest liczbą całkowitą, składa się z tych funkcji na Ω mających ciągłe pochodne aż do rzędu k i takie, że k- te pochodne cząstkowe są Ciągła Höldera z wykładnikiem α, gdzie 0 < α ≤ 1. Jest to lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa . Jeżeli współczynnik Hölder

${\ Displaystyle | f | _ {C ^ {0, \ alfa}} = \ sup _ {x \ neq y \ w \ Omega} {\ Frac {| f (x) - f (y) |} {\ | xy\|^{\alfa }}},}$

jest skończona, to mówimy , że funkcja f jest (jednostajnie) ciągła Höldera z wykładnikiem α w Ω. W tym przypadku współczynnik Hölder służy jako półnorma . Jeśli współczynnik Höldera jest jedynie ograniczony na zwartych podzbiorach Ω, wtedy mówi się , że funkcja f jest lokalnie ciągła Höldera z wykładnikiem α w Ω.

Jeżeli funkcja f i jej pochodne do rzędu k są ograniczone na domknięciu Ω, to przestrzeni Höldera można przypisać normę ${\ Displaystyle C ^ {k \ alfa} ({\ overline {\ Omega}})}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {k, \ alfa}} = \ | f \ | _ {C ^ {k}} + \ max _ {| \ beta | = k} \ lewo | D ^ {\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}}$

gdzie β waha się po wielu indeksach i

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {k}} = \ max _ {| \ beta | \ leq k} \ sup _ {x \ w \ omega} \ lewo | D ^ {\ beta} f ( x)\prawo|.}$

Te seminormy i normy są często oznaczane po prostu i lub również i w celu podkreślenia zależności od dziedziny f . Jeżeli Ω jest otwarta i ograniczona, to jest przestrzenią Banacha względem normy . ${\displaystyle |f|_{0,\alfa}}$${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, \ alfa}}$${\displaystyle |f|_{0,\alfa,\omega}\;}$${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, \ alfa, \ Omega}}$${\ Displaystyle C ^ {k \ alfa} ({\ overline {\ Omega}})}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {C ^ {k \ alfa}}}$

Kompaktowe osadzenie przestrzeni Hölder

Niech Ω będzie ograniczonym podzbiorem pewnej przestrzeni euklidesowej (lub ogólniej, jakąkolwiek całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną) i niech 0 < α < β ≤ 1 dwa wykładniki Höldera. Następnie istnieje oczywista mapa inkluzji odpowiednich przestrzeni Höldera:

${\ Displaystyle C ^ {0, \ beta} (\ Omega) \ do C ^ {0, \ alfa} (\ Omega),}$

która jest ciągła, ponieważ z definicji norm Höldera mamy:

${\ Displaystyle \ forall f \ w C ^ {0, \ beta} (\ Omega): \ qquad | f | _ {0, \ alfa, \ Omega} \ leq \ operatorname {diam} (\ Omega) ^ {\ beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }.}$

Ponadto włączenie to jest zwarte, co oznacza, że ​​zbiory ograniczone w normie ‖ · ‖ _0,β są stosunkowo zwarte w normie ‖ · ‖ _0,α . Jest to bezpośrednia konsekwencja twierdzenia Ascoli-Arzelà . Rzeczywiście, niech ( u _n ) będzie ciągiem ograniczonym w C ^0,β (Ω). Dzięki twierdzeniu Ascoli-Arzelà możemy założyć bez utraty ogólności, że u _n → u jednostajnie, a także możemy założyć u = 0. Wtedy

${\ Displaystyle | u_ {n} -u | _ {0, \ alfa} = | u_ {n} | _ {0, \ alfa} \ do 0,}$

ponieważ

${\ Displaystyle {\ Frac {| u_ {n} (x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ {\ alfa}}} = \ lewo ({\ Frac {| u_ {n}) ( x)-u_{n}(y)|}{|xy|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alfa }{\beta }}\left|u_{n}(x)- u_{n}(y)\right|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\frac {\alpha } {\beta }}\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1).}$

Przykłady

• Jeśli 0 < α ≤ β ≤ 1 to wszystkie funkcje ciągłe Höldera na zbiorze ograniczonym Ω są również ciągłe Höldera. Obejmuje to również β = 1, a zatem wszystkie funkcje ciągłe Lipschitza na zbiorze ograniczonym są również ciągłe C ^{0, α} Höldera.${\ Displaystyle C ^ {0, \ beta} ({\ overline {\ Omega}})}$${\ Displaystyle C ^ {0, \ alfa} ({\ overline {\ Omega}})}$
• Funkcja f ( x ) = x ^β (przy β ≤ 1) zdefiniowana w [0, 1] służy jako prototypowy przykład funkcji, która jest ciągła C ^0,α Höldera dla 0 < α ≤ β, ale nie dla α > β. Ponadto, gdybyśmy zdefiniowali f analogicznie na , byłaby to ciągła ciągła C ^0,α Höldera tylko dla α = β.${\displaystyle [0,\infty )}$
• Dla α > 1, dowolna ciągła funkcja α–Höldera na [0, 1] (lub dowolnym przedziale) jest stałą.
• Istnieją przykłady funkcji jednostajnie ciągłych, które nie są ciągłe α-Höldera dla dowolnego α. Na przykład funkcja zdefiniowana na [0, 1/2] przez f (0) = 0 i przez f ( x ) = 1/log( x ) w przeciwnym razie jest ciągła, a zatem jednostajnie ciągła przez twierdzenie Heine-Cantora . Nie spełnia jednak warunku Hölder żadnego zamówienia.
• Funkcja Weierstrassa zdefiniowana przez:

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n} \ cos \ lewo (b ^ {n} \ pi x \ prawej)}$

gdzie jest liczbą całkowitą, a α-Hölder jest ciągła z ${\displaystyle 0<a<1,b}$${\displaystyle b\geq 2}$${\displaystyle ab>1+{\tfrac {3\pi}{2}}}$

${\ Displaystyle \ alfa = - {\ Frac {\ log (a)} {\ log (b)}}.}$

• Funkcja Cantora jest ciągła Höldera dla dowolnego wykładnika i dla żadnego większego. W pierwszym przypadku nierówność definicji zachodzi przy stałej C  := 2.${\ Displaystyle \ alfa \ leq {\ tfrac {\ log 2} {\ log 3}}}$
• Krzywe Peano od [0, 1] do kwadratu [0, 1] ² mogą być skonstruowane jako 1/2–Hölder-ciągłe. Można wykazać, że gdy obraz funkcji ciągłej α–Höldera od przedziału jednostkowego do kwadratu nie może wypełnić kwadratu.${\displaystyle \alfa>{\tfrac {1}{2}}}$
• Przykładowe ścieżki ruchu Browna są prawie na pewno wszędzie lokalnie α-Hölder dla każdego${\ Displaystyle \ alfa < {\ tfrac {1} {2}}.}$
• Funkcje, które są lokalnie całkowalne i których całki spełniają odpowiedni warunek wzrostu, są również ciągłe Höldera. Na przykład, jeśli pozwolimy

${\ Displaystyle u_ {x, r} = {\ Frac {1} {| B_ {r} |}} \ int _ {B_ {r} (x)} u (y) dy}$

i u spełnia

${\ Displaystyle \ int _ {B_ {r} (x)} \ lewo | u (y)-u_ {x, r} \ prawo | ^ {2} dy \ leq Cr ^ {n + 2 \ alfa}}$

wtedy u jest ciągłą metodą Höldera z wykładnikiem α.

• Funkcje, których oscylacja zanika ze stałą szybkością w odniesieniu do odległości, jest ciągła Höldera z wykładnikiem, który jest określony przez szybkość zaniku. Na przykład, jeśli

${\ Displaystyle w (u, x_ {0}, r) = \ sup _ {B_ {r} (x_ {0})} u- \ inf _ {B_ {r} (x_ {0})} u}$

dla pewnej funkcji u ( x ) spełnia

${\ Displaystyle w \ lewo (u, x_ {0}, {\ tfrac {r} {2}} \ prawo) \ leq \ lambda w \ lewo (u, x_ {0}, r \ po prawej)}$

dla ustalonego λ z 0 < λ < 1 i wszystkimi wystarczająco małymi wartościami r , wtedy u jest ciągłą metodą Höldera.

• Funkcje w przestrzeni Sobolewa mogą być osadzone w odpowiedniej przestrzeni Höldera poprzez nierówność Morreya, jeśli wymiar przestrzenny jest mniejszy niż wykładnik przestrzeni Sobolewa. Mówiąc dokładniej, jeśli wtedy istnieje stała C , zależna tylko od p i n , taka, że:${\displaystyle n<p\leq \infty}$

${\ Displaystyle \ forall u \ w C ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ czapka L ^ {p} (\ mathbf {R} ^ {n}): \ qquad \ | u \ | _{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n}) },}$

gdzie Zatem jeśli u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ), to u jest w rzeczywistości ciągłą Höldera wykładnika γ, po ewentualnym przedefiniowaniu na zbiorze miary 0.${\ Displaystyle \ gamma = 1- {\ tfrac {n} {p}}.}$

Nieruchomości

• Zamknięta addytywna podgrupa nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta H , połączona ciągłymi łukami α–Höldera o α > 1/2, jest podprzestrzenią liniową. Istnieją zamknięte addytywne podgrupy H , a nie podprzestrzenie liniowe, połączone łukami ciągłymi 1/2–Höldera. Przykładem jest dodatek podgrupa l ² ( R , Z ) w Hilberta L ² ( R , R ).
• Każda ciągła funkcja α-Höldera f na przestrzeni metrycznej X dopuszcza przybliżenie Lipschitza za pomocą sekwencji funkcji ( f _k ) takiej, że f _k jest k -Lipschitz i

${\ Displaystyle \ | f-f_ {k} \ | _ {\ infty, X} = O \ lewo (k ^ {- {\ Frac {\ alfa} {1-\ alfa}}} \ prawej).}$

Odwrotnie, każda taka sekwencja ( f _k ) funkcji Lipschitza zbiega się do ciągłej jednorodnej granicy α–Höldera f .

• Każda funkcja α-Höldera f na podzbiorze X unormowanej przestrzeni E dopuszcza jednostajnie ciągłe rozszerzenie do całej przestrzeni, która jest ciągła Höldera z tą samą stałą C i tym samym wykładnikiem α. Największym takim rozszerzeniem jest:

${\ Displaystyle f ^ {*} (x): = \ inf _ {y \ w X} \ lewo \ {f (y) + C | xy | ^ {\ alfa} \ prawej \}.}$

• Obraz dowolnego pod funkcją α-Hölder ma co najwyżej wymiar Hausdorffa , gdzie jest wymiar Hausdorffa .${\ Displaystyle U \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ dim _ {H} (U)} {\ alfa}}}$${\ Displaystyle \ dim _ {H} (U)}$${\ Displaystyle U}$
• Przestrzeń nie da się rozdzielić.${\ Displaystyle C ^ {0, \ alfa} (\ Omega), 0 <\ alfa \ leq 1}$
• Osadzanie nie jest gęste.${\ Displaystyle C ^ {0, \ beta} (\ Omega) \ podzbiór C ^ {0, \ alfa} (\ Omega), 0 <\ alfa < \ beta \ równa 1}$

Uwagi

Bibliografia

• Lawrence C. Evans (1998). Równania różniczkowe cząstkowe . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence. Numer ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D.; Trudingera, Neila (1983). Eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu . Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 3-540-41160-7..
• Han, Qing; Lin, Fanghua (1997). Eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe . Nowy Jork: Courant Institute of Mathematical Sciences . Numer ISBN 0-9658703-0-8. OCLC  38168365 . MR 1669352