Paradoks Hausdorffa - Hausdorff paradox

Hausdorffa paradoksem jest paradoksem w matematyce nazwanych Felix Hausdorff . Obejmuje kulę (dwuwymiarową kulę ). Stwierdza, że ​​jeśli pewien policzalny podzbiór zostanie usunięty z , to resztę można podzielić na trzy rozłączne podzbiory i takie, które i są przystające . W szczególności, wynika, że na nie ma skończenie dodatek miara określona na wszystkich podzbiorów takich, że miarą przystających zbiorów jest równe (bo oznaczałoby to, że miarą jest równocześnie , oraz z niezerową miarę całej kuli ). ${\displaystyle {S^{2}}}$${\displaystyle {\mathbb {R} ^{3}}}$${\displaystyle {S^{2}}}$${\displaystyle {A,B}}$${\displaystyle {C}}$${\displaystyle {A,B,C}}$${\displaystyle {B\cup C}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle {B\cup C}}$${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 2/3}$

Paradoks został opublikowany w Mathematische Annalen w 1914 r., A także w książce Hausdorffa Grundzüge der Mengenlehre z tego samego roku. Dowodem znacznie bardziej znanego paradoksu Banacha – Tarskiego są idee Hausdorffa. Dowód tego paradoksu opiera się na Aksjomacie Wyboru .

Ten paradoks pokazuje, że nie istnieje skończona addytywna miara na sferze zdefiniowanej we wszystkich podzbiorach, która byłaby równa na przystających elementach. (Hausdorff po raz pierwszy pokazał w tej samej pracy, że łatwiejszy wynik, że nie istnieje policzalna miara addytywna zdefiniowana dla wszystkich podzbiorów). Struktura grupy obrotów na kuli odgrywa tutaj kluczową rolę - stwierdzenie nie jest prawdziwe na płaszczyźnie lub linia. W rzeczywistości, jak później pokazał Banach , możliwe jest zdefiniowanie "obszaru" dla wszystkich ograniczonych podzbiorów na płaszczyźnie euklidesowej (jak również "długości" na linii rzeczywistej) w taki sposób, że zbiory przystające będą miały równe " powierzchnia". ( Jednak ta miara Banacha jest tylko skończenie addytywna, więc nie jest miarą w pełnym tego słowa znaczeniu, ale jest równa miary Lebesgue'a na zbiorach, dla których ta ostatnia istnieje). Oznacza to, że jeśli dwa otwarte podzbiory płaszczyzny (lub linia rzeczywista) są równo rozkładalne, wtedy mają równe pole.

Zobacz też

• Paradoks Banacha – Tarskiego
• Hausdorff Paradox na ProofWiki

Bibliografia

Dalsza lektura

• Hausdorff, Felix (1914). „Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen” . Mathematische Annalen . 75 : 428–434. doi : 10.1007 / bf01563735 . (Artykuł oryginalny; w języku niemieckim)
• Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre (w języku niemieckim).