Twierdzenie Heinego-Borela - Heine–Borel theorem

W rzeczywistym analizy Twierdzenie Heinego-Borel , nazwany Eduard Heine i Émile Borel , stwierdza:

Dla podzbioru S w przestrzeni euklidesowej R ⁿ , dwa następujące warunki są równoważne:

• S jest zamknięte i ograniczone
• S jest zwarty , to znaczy każda otwarta pokrywa z S ma skończoną subcover.

Historia i motywacja

Historia tego, co dziś nazywamy twierdzeniem Heinego–Borela, rozpoczyna się w XIX wieku od poszukiwania solidnych podstaw analizy rzeczywistej. Centralnym punktem teorii była koncepcja jednostajnej ciągłości i twierdzenie, że każda ciągła funkcja na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła. Peter Gustav Lejeune Dirichlet był pierwszym, który to udowodnił i domyślnie wykorzystał w swoim dowodzie istnienie skończonej podprzykrywki danej otwartej pokrywy przedziału domkniętego. Dowód ten wykorzystał w swoich wykładach z 1852 r., które zostały opublikowane dopiero w 1904 r. Później podobne techniki stosowali Eduard Heine , Karl Weierstrass i Salvatore Pincherle . Émile Borel w 1895 roku jako pierwszy stwierdził i udowodnił formę tego, co obecnie nazywa się twierdzeniem Heinego-Borela. Jego formuła ograniczała się do policzalnych okładek. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) i Schoenflies (1900) uogólnili ją na arbitralne okładki.

Dowód

Jeśli zestaw jest zwarty, musi być zamknięty.

Niech S będzie podzbiorem R ⁿ . Obserwować najpierw następuje: jeśli jest punktu granicznego z S , wtedy każdy skończonej zbierania C otwartych odbiorników tak, że każdy zbiór otwarty U ∈ C jest odłączony od pewnego sąsiedztwie V _U o , nie pokrywa się z S . Rzeczywiście, przecięcie skończonej rodziny zestawów V _U jest otoczeniem W z w R ⁿ . Ponieważ a jest punktem granicznym S , W musi zawierać punkt x w S . To x ∈ S nie jest objęte rodziną C , ponieważ każde U w C jest rozłączne od V _{U ,} a zatem rozłączne od W , które zawiera x .

Jeśli S jest zwarty, ale nie zamknięty, to ma punkt graniczny a nie w S . Rozważmy zbiór C  ", który składa się z otwartego sąsiedztwa N ( x ) dla każdego x ∈ S , wybraną małe na tyle, aby nie przecinają się pewnym otoczeniu V _x o . Wtedy C  ′ jest otwartą okładką S , ale każda skończona podzbiór C  ′ ma omówioną wcześniej postać C , a zatem nie może być otwartą okładką S . Przeczy to zwartości S . Stąd każdy punkt graniczny S znajduje się w S , więc S jest domknięty.

Powyższy dowód dotyczy prawie bez zmiany pokazując, że każdy zwarty podzbiór S z Hausdorffa przestrzeni topologicznej X jest domknięty w X .

Jeśli zbiór jest zwarty, to jest ograniczony.

Niech będzie zwarty zbiór w , a kula o promieniu 1 wyśrodkowana w . Wtedy zbiór wszystkich takich kulek wyśrodkowanych na jest wyraźnie otwartą pokrywą , ponieważ zawiera wszystkie . Ponieważ jest kompaktowy, weź skończoną podkrywkę tej okładki. Ta podokładka jest skończoną sumą kul o promieniu 1. Rozważ wszystkie pary środków tych (skończenie wielu) kul (o promieniu 1) i niech będzie maksimum odległości między nimi. Wtedy jeśli i są środkami (odpowiednio) kul jednostkowych zawierających dowolne , nierówność trójkąta mówi: ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle U_ {x}}$${\ Displaystyle x \ w \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle x \ w S}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ filiżanka _ {x \ w S} U_ {x}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle C_{q}}$${\displaystyle p,q\w S}$

${\ Displaystyle d (p, q) \ leq d (p, C_ {p}) + d (C_ {p}, C_ {q}) + d (C_ {q}, q) \ równoważnik 1 + M + 1 =M+2.}$

Więc średnica jest ograniczona przez . ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle M + 2}$

Zamknięty podzbiór zbioru kompaktowego jest zwarty.

Niech K będzie domkniętym podzbiorem zbioru zwartego T w R ⁿ i niech C _K będzie otwartą pokrywą K . Wtedy U = R ⁿ \ K jest zbiorem otwartym i

${\ Displaystyle C_ {T} = C_ {K} \ filiżanka \ {U \}}$

to otwarta okładka T . Ponieważ T jest zwarty, to C _T ma skończoną dolną osłonę, która obejmuje również mniejszy zbiór K . Ponieważ U nie zawiera żadnego punktu K , zbiór K jest już objęty, który jest skończonym podzbiorem oryginalnego zbioru C _K . Jest więc możliwe, aby ekstrakt z każdej otwartej pokrywie C _K w K skończoną subcover. ${\displaystyle C_{T}',}$${\ Displaystyle C_ {K} '= C_ {T} '\ setminus \ {U \}}$

Jeśli zbiór jest zamknięty i ograniczony, to jest zwarty.

Jeśli zbiór S w R ⁿ jest ograniczony, to może być zamknięty w n -pudełku

${\ Displaystyle T_ {0}= [-a, a] ^ {n}}$

gdzie a > 0. Na podstawie powyższej własności wystarczy pokazać, że T ₀ jest zwarte.

Załóżmy, na zasadzie sprzeczności, że T ₀ nie jest zwarte. Wtedy istnieje nieskończona otwarta pokrywa C z T ₀ , która nie dopuszcza żadnej skończonej podpokrywy. Przez dwusiecznej każdego z boków T ₀ , pole T ₀ może być podzielona na 2, ⁿ sub n -boxes, z których każdy ma średnicę równą połowie średnicy T ₀ . Wtedy co najmniej jedna z 2 ⁿ sekcji T ₀ musi wymagać nieskończonej podkrywy C , w przeciwnym razie samo C miałoby skończoną podkrywę, łącząc ze sobą skończone okładki sekcji. Nazwij tę sekcję T ₁ .

Podobnie, boki T ₁ mogą być podzielone na pół, dając 2 ⁿ odcinków T ₁ , z których przynajmniej jeden musi wymagać nieskończonego przykrycia C . Kontynuacja w podobny sposób daje malejący ciąg zagnieżdżonych n -boksów:

${\displaystyle T_{0}\supset T_{1}\supsetT_{2}\supset\ldots\supsetT_{k}\supset\ldots}$

gdzie długość boku T _k wynosi (2  a ) / 2 ^k , która dąży do 0, gdy k dąży do nieskończoności. Zdefiniujmy ciąg ( x _k ) taki , że każdy x _k jest w T _k . Ta sekwencja to Cauchy, więc musi być zbieżna do pewnej granicy L . Ponieważ każda T _k jest zamknięta i dla każdego k sekwencja ( x _k ) jest ostatecznie zawsze wewnątrz T _k , widzimy, że L  ∈  T _k dla każdego k .

Ponieważ C pokrywa T ₀ , to ma taki element U  ∈ C , że L  ∈ U . Ponieważ U jest otwarte, istnieje n- kula B ( L ) ⊆ U . Dla wystarczająco dużego k mamy T _k ⊆ B ( L ) ⊆ U , ale wtedy nieskończoną liczbę elementów C potrzebnych do pokrycia T _k można zastąpić tylko jednym: U , sprzeczność.

Zatem T ₀ jest zwarty. Ponieważ S jest zamknięty i podzbiór zwartego zestawu T ₀ , to S jest zwarty (patrz wyżej).

Własność Heine-Borel

Twierdzenie Heinego-Borela nie jest zgodne z ogólnymi metrycznymi i topologicznymi przestrzeniami wektorowymi , a to powoduje konieczność rozważenia specjalnych klas przestrzeni, w których twierdzenie to jest prawdziwe. Nazywa się je przestrzeniami o własności Heine-Borel .

W teorii przestrzeni metrycznych

Metryki przestrzeni mówi się mieć właściwość Heine-BOREL jeśli każdy zamknięty zbiór ograniczony w to kompaktowy. ${\ Displaystyle (X, d)}$${\ Displaystyle X}$

Wiele przestrzeni metrycznych nie ma własności Heinego-Borela, takich jak przestrzeń metryczna liczb wymiernych (lub w rzeczywistości niepełna przestrzeń metryczna). Kompletne przestrzenie metryczne mogą również nie posiadać nieruchomości; na przykład żadne nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha nie mają własności Heinego-Borela (jako przestrzenie metryczne). Jeszcze bardziej trywialnie, jeśli rzeczywista linia nie jest wyposażona w zwykłą metrykę, może nie mieć właściwości Heine-Borel.

Przestrzeń metryczna ma metrykę Heinego-Borela, która jest lokalnie identyczna z Cauchym wtedy i tylko wtedy, gdy jest kompletna , -kompaktowa i lokalnie zwarta . ${\ Displaystyle (X, d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \sigma}$

W teorii topologicznych przestrzeni wektorowych

Przestrzeń liniowo-topologiczna mówi się, że mają właściwości Heine-Borel (RE Edwards używa terminu boundedly zwarta ), jeżeli każdy zbiór domknięty graniczącego jest zwarty. Żadne nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha nie mają własności Heinego-Borela (jako topologiczne przestrzenie wektorowe). Ale niektóre nieskończenie wymiarowe przestrzenie Frécheta mają, na przykład, przestrzeń funkcji gładkich na zbiorze otwartym i przestrzeń funkcji holomorficznych na zbiorze otwartym . Bardziej ogólnie, każda quasi-zupełna przestrzeń jądrowa ma własność Heinego-Borela. Wszystkie przestrzenie Montela mają również własność Heine–Borel. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ Omega \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle H (\ Omega )}$${\ Displaystyle \ Omega \ podzbiór \ mathbb {C} ^ {n}}$

Zobacz też

• Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Uwagi

Bibliografia

• P. Dugac (1989). „Sur la korespondencja de Borel et le théorème de Dirichlet-Heine-Weierstrass-Borel-Schoenflies-Lebesgue”. Łuk. wewn. Hist. Nauka . 39 : 69–110.
• BookOfProofs: Własność Heine-Borel
• Jeffreys, H.; Jeffreys, BS (1988). Metody fizyki matematycznej . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0521097239.
• Williamson, R.; Janos, L. (1987). "Miary budowy z własnością Heine-Borel" . Proc. AMS . 100 (3): 567-573. doi : 10.1090/S0002-9939-1987-0891165-X .
• Kiriłłow, AA; Gvishiani, AD (1982). Twierdzenia i problemy w analizie funkcjonalnej . Springer-Verlag Nowy Jork. Numer ISBN 978-1-4613-8155-6.
• Edwards, RE (1965). Analiza funkcjonalna . Holta, Rineharta i Winstona. Numer ISBN 0030505356.

Zewnętrzne linki

• Ivan Kenig, dr prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004). Twierdzenie Heinego-Borela . Hanower: Leibniz Universität. Zarchiwizowane z oryginału (avi • mp4 • mov • swf • przesyłane strumieniowo wideo) w dniu 19.07.2011.
• "Twierdzenie Borela-Lebesgue'a o pokrywaniu" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworld "Twierdzenie Heinego-Borela"
• „Analiza pierwszych dowodów twierdzenia Heinego-Borela – dowód Lebesgue'a”