Hiperboliczny awersja ryzyko bezwzględne - Hyperbolic absolute risk aversion

W finansach , ekonomii i teorii decyzji , hiperboliczne awersja ryzyko bezwzględne ( HARA ) odnosi się do rodzaju awersji do ryzyka , który jest szczególnie wygodny do matematycznego modelowania i uzyskanie empirycznych przewidywań. Odnosi się to szczególnie do majątku von Neumanna-Morgensterna funkcji użytkowych , które są zazwyczaj funkcje ostatecznej bogactwa (lub zmiennej pokrewne), i które opisują stopień decydentem jest zadowolenia z wyniku dla bogactwa. Ostateczny wynik bogactwa wpływa zarówno zmiennych losowych i decyzjami. Decydenci Zakłada się, podejmowania decyzji (takie jak, na przykład, alokacje portfelowe ), tak aby zmaksymalizować wartość oczekiwaną funkcji użytkowej.

Wybitne szczególne przypadki Hara funkcji użytkowych należą kwadratową funkcję użytkową , na funkcję użytkową wykładniczy , a funkcję użytkową isoelastic .

Definicja

Funkcja narzędzie mówi się, że wykazują absolutną hiperboliczny awersję ryzyka, jeżeli i tylko jeżeli poziom tolerancji ryzyka -the wzajemne z absolutnego awersji ryzyka -jest liniową funkcję bogactwa W : ${\ Displaystyle T (W)}$ ${\ Displaystyle A (biała)}$

${\ Displaystyle T (W) = {\ Frac {1} {A (biała)}} = {\ Frac {W} {1- \ gamma}} + {\ Frac {B}, {a}}}$

gdzie ( W ) jest zdefiniowana jako - U " ( W ) / U „( W ). Funkcja narzędzie U ( W ) ma taką właściwość, a więc jest funkcją narzędzie Hara, wtedy i tylko wtedy, gdy ma ono postać

${\ Displaystyle U (W) = {\ Frac {1- \ gamma} {\ y}} \ lewo ({\ Frac {aW} {1- \ gamma}} + b \ prawej) ^ {\ y}}$

z ograniczeniami bogactwa i parametry takie, że i Dla danej parametryzacji, ograniczenie stawia dolną granicę na zachód , czy i górną granicą W razie . Dla granicznego przypadku jako → 1, Reguła de L'Hopital w wskazuje, że funkcja narzędzie się liniowy bogactwa; oraz ograniczającym przypadku, udaje się do 0 ° C, funkcja logarytmiczna się narzędzie: . ${\ A displaystyle> 0}$${\ Displaystyle b + {\ Frac {aW} {1- \ y}}> 0,}$${\ Displaystyle \ y <1}$${\ Displaystyle \ y> 1}$${\ Displaystyle \ y}$${\ Displaystyle \ y}$${\ Displaystyle U (W) = {\ tekst {}} log (Aw + b)}$

Maleje, stała i zwiększenie bezwzględnej awersji do ryzyka

Absolutny niechęć ryzyko maleje jeśli (równoważnie T „( W ) 0>), które ma miejsce tylko wtedy, gdy jest skończona i mniejszy niż 1; ten jest uważany za empirycznie wiarygodny przypadek, ponieważ oznacza to, że inwestor wprowadzi więcej środków w ryzykowne aktywa, tym więcej środków dostępnych do inwestowania. Stała absolutna niechęć ryzyko występuje w postaci do dodatniego lub ujemnego nieskończoności, a zwłaszcza nieprawdopodobne przypadku podwyższenia absolutnej awersję ryzyko występuje wtedy, gdy jest większy niż jeden i skończonych.${\ Displaystyle A "(W) <0}$${\ Displaystyle \ y}$${\ Displaystyle \ y}$${\ Displaystyle \ y}$

Maleje, stała i zwiększenie względnej awersji do ryzyka

Względne ryzyko niechęć jest zdefiniowana jako R ( W ) = Waszyngton ( W ); Jeśli jest zwiększenie , czy zmniejszenie , a w przypadku stałej . Zatem względna niechęć ryzyko zwiększa się, jeśli b > 0 ( ), stałą, gdy b = 0, i maleje, gdy b <0 ( ).${\ Displaystyle R (W) 0>}$${\ Displaystyle R (W) <0}$${\ Displaystyle R (W) = 0}$${\ Displaystyle \ y \ 1} Neq$${\ Displaystyle - \ infty <\ y <1}$

przypadki szczególne

• Narzędzie jest liniowa (the ryzyko neutralne przypadek) jeśli .${\ Displaystyle \ y = 1}$
• Narzędzie jest kwadratowa (an nieprawdopodobne choć bardzo matematycznie tractable przypadku, wraz ze wzrostem awersji do ryzyka absolutny) jeśli .${\ Displaystyle \ y = 2}$
• Funkcja wykładnicza narzędzie , który posiada stałą bezwzględnego ryzyka awersję, występuje wtedy, gdy b = 1 i przechodzi do minus nieskończoności.${\ Displaystyle \ y}$
• Funkcja narzędzie mocy występuje wtedy, i .${\ Displaystyle \ y <1}$${\ Displaystyle a = 1 \ y}$

• Im bardziej szczególny przypadek z użytkowego isoelastic funkcji ze stałym względnym awersji ryzyka, jeśli występuje, dalej, b = 0.

• Logarytmiczna funkcja użyteczności występuje na co idzie do 0.${\ Displaystyle a = 1}$${\ Displaystyle \ y}$

• Im bardziej szczególnym przypadkiem ciągłego względnej awersji ryzyka równej jednej - U ( W ) = log ( W ) - jeśli występuje, dalej, b = 0.

Przewidywania zachowania wynikających z narzędzia HARA

statyczne portfele

Jeśli wszyscy inwestorzy mają Hara funkcji użytkowych z tym samym wykładnikiem, a następnie w obecności aktywów wolnych od ryzyka a dwoma funduszami twierdzenie separacja pieniężnej Wyniki: każdy inwestor posiada dostępne ryzykowne aktywa w tych samych proporcjach, jak wszystkie inne inwestorów, a inwestorzy różnią się od siebie w swoim portfelu zachowania tylko w odniesieniu do ułamka ich portfelach aktywa bez ryzyka zamiast w zbiorach ryzykowne aktywa.

Ponadto, jeśli inwestor posiada funkcję użytkową Hara i aktywów wolna od ryzyka jest dostępna, a następnie wymagania inwestora dla aktywów wolnych od ryzyka i wszystkie aktywa ryzykowne są liniowe w początkowym bogactwa.

W modelu wyceny aktywów kapitałowych , istnieje reprezentatywną funkcję użytkową inwestora w zależności od funkcji użytkowych poszczególnych inwestorów oraz poziomu zamożności, niezależnie od dostępnych zasobów, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie inwestorzy mają Hara funkcji użytkowych z tym samym wykładnikiem. Przedstawiciel funkcja użyteczności zależy od dystrybucji bogactwa i można opisać zachowanie rynku, jak gdyby nie było jednego inwestora z reprezentatywnym funkcji użyteczności.

Z kompletem papierów państwowych warunkowe , warunkiem wystarczającym do cen papierów wartościowych w równowadze być niezależny od podziału początkowych gospodarstw bogactwa jest to, że wszyscy inwestorzy mają Hara funkcji użytkowych z identycznym wykładnik i identycznej stopie preferencji czasowej pomiędzy początkiem-of okres i end-of-okresie konsumpcja.

Dynamiczne portfele w czasie dyskretnym

W dyskretnego czasu kontekście optymalizacji dynamiczny portfel, pod użytkowego HARA optymalnego wyboru portfela polega na częściowej krótkowzroczność jeśli jest atutem wolne od ryzyka i nie jest seryjny niezależność od zysków majątkowych: znalezienie optymalnego portfela bieżącego okresu, trzeba wiedzieć, nie ma przyszłości dystrybucyjny informacje na temat zwrotu aktywów z wyjątkiem przyszłych wolnych od ryzyka zwrotu.

Z deklaracji majątkowych, które są niezależnie i identycznie rozłożonych w czasie i z aktywów wolnych od ryzyka, ryzykownych aktywów proporcje są niezależne od inwestora pozostałego życia.

Dynamiczne portfele w czasie ciągłym

Z deklaracji majątkowych, których ewolucja jest opisany przez Browna i które są niezależnie i identycznie rozłożone w czasie, a także z aktywów wolnych od ryzyka, można uzyskać wyraźne rozwiązanie dla popytu na unikalnej optymalnej funduszu, a popyt jest liniowy początkowy bogactwo.

Referencje

Linki zewnętrzne

• Zamknięta forma rozwiązanie dla problemu oszczędności zużycia z narzędzia HARA