Wykładniczy narzędzie - Exponential utility

Funkcja wykładnicza narzędziowy dla różnych profilach ryzyka

W ekonomii i finansowania , wykładniczy narzędzie odnosi się do konkretnej postaci funkcji użytkowych , stosowane w pewnych sytuacjach ze względu na wygodę, gdy ryzyko (czasem określane jako niepewność) obecny jest w tym przypadku oczekuje się narzędzie jest zmaksymalizowane. Formalnie wykładniczy narzędzie jest dana przez:

${\ Displaystyle u (C) = {\ {zaczynać przypadków} (1-e ^ {- ac}) / a i a \ neq 0 \\ c i a = 0 \\\ koniec {przypadków}}}$

${\ Displaystyle C}$jest zmienna, że ekonomiczny decydent preferuje bardziej, takie jak zużycie, a jest stałą, która reprezentuje stopień preferencji ryzyka ( dla awersji do ryzyka , w odniesieniu do ryzyka neutralności, lub dla ryzyka poszukiwania ). W sytuacjach, gdy tylko awersja do ryzyka jest dozwolony, formuła jest często uproszczone . ${\ A} displaystyle$${\ A displaystyle> 0}$${\ A displaystyle = 0}$${\ Displaystyle a <0}$${\ Displaystyle U (c) = 1-e ^ {- ac}}$

Należy zauważyć, że termin dodatek 1 w powyższej funkcji matematycznie znaczenia i (czasami) zamieszczone jedynie w celach estetycznych cechą, że utrzymuje zakres funkcji pomiędzy zerem i jeden na domenie wartości nieujemne dla C . Powodem jest to, że jego nieistotności maksymalizacji wartości oczekiwanej użyteczności daje ten sam wynik dla zmiennej wyboru jak robi maksymalizacji wartości oczekiwanej ; od oczekiwanych wartości użyteczności (w przeciwieństwie do funkcji użyteczności sobie) są interpretowane ordinally zamiast bezwzględnego , zakres i znakiem oczekiwanych wartości użytkowych nie mają żadnego znaczenia. ${\ Displaystyle u (C) = (1-e ^ {- ac}) / A}$${\ Displaystyle u (C) = - e ^ {- ac} / a}$

Funkcja wykładnicza narzędzie jest szczególnym przypadkiem hiperbolicznych bezwzględnych niechęci ryzyko funkcji użytkowych.

Charakterystyczną awersja do ryzyka

Wykładniczy narzędzie oznacza stałą awersję bezwzględnego ryzyka (CARA), o współczynniku absolutnego awersji ryzyka równej stałej:

${\ Displaystyle {\ Frac {-u '' (C)} {U '(C)}} = a.}$

W standardowym modelu jednego ryzykownych aktywów i jeden aktywów wolnych od ryzyka, na przykład, funkcja ta implikuje, że optymalna gospodarstwo ryzykownych aktywów jest niezależna od poziomu początkowego bogactwa; zatem na marginesie wszelkie dodatkowe bogactwo przyznany zostanie całkowicie dodatkowych posiadanych aktywów wolnych od ryzyka. Funkcja ta wyjaśnia, dlaczego funkcja wykładnicza jest uważany za narzędzie nierealne.

ustępliwość matematyczny

Chociaż isoelastic narzędzia , wykazujących stałą względem awersję ryzyka (CRRA) jest uważany za bardziej prawdopodobne (jak również inne funkcje użytkowe wykazują zmniejszenie absolutnego awersję ryzyka) wykładniczy narzędzie jest szczególnie przydatne dla wielu obliczeń.

przykładem zużycie

Na przykład załóżmy, że zużycie C zależy od podaży pracy X i losowego : c = c ( x ) + . Następnie w wykładniczej użyteczności, oczekuje narzędzie jest dana przez: ${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle \ epsilon}$

${\ Displaystyle {\ tekst {E}} (U (c)) = {\ tekst e}} {[1-e ^ {- a (c (x) + \ epsilon)}]}$

gdzie E jest oczekiwanie operatora. Przy rozkładzie normalnym hałasem, czyli

${\ Displaystyle \ varepsilon \ SIM N (\ iM \ Sigma ^ {2}) \!}$

E ( U ( c )) mogą być łatwo obliczyć wykorzystując fakt, że

${\ Displaystyle {\ tekst {E}} [k ^ {- A \ varepsilon}] = E ^ {- a \ iM + {\ Frac {A ^ {2}} {2}} \ Sigma ^ {2}} .}$

A zatem

${\ Displaystyle {\ tekst {E}} (U (c)) = {\ tekst {E}} [1-e ^ {- a (c (x) + \ epsilon)}] = {\ tekst {E} } [1-e ^ {- AC (x)} e ^ {- A \ varepsilon}] = 1-e ^ {- AC (x)} {\ tekst {e}} [k ^ {- A \ epsilon} ] = 1-e ^ {- AC (x)} e {^ - a \ iM + {\ Frac {A ^ {2}, {2}}} \ Sigma ^ {2}}.}$

Wielu aktywów portfela przykład

Rozważmy problemu alokacji portfela maksymalizacji spodziewany gwałtowny użyteczność ostatecznego bogactwo W zastrzeżeniem ${\ Displaystyle {\ tekst e}} {[- e ^ {- AW}]}$

${\ Displaystyle W = x'r + (W_ {0} -x'k) \ cdot r_ {f}}$

gdzie pierwsza znak wskazuje wektor transpozycję i gdy jest początkowe bogactwo, x jest wektorem kolumna ilości umieszczonych w n wartości ryzykowne R jest wektor losowej z stochastycznych powraca na n trwałych, k jest wektorem te (to jest ilości wprowadzanej składnika bez ryzyka), a R _f jest znany na powrót skalarne składnika ryzyka. Załóżmy następnie, że wektor losowy R jest wspólnie rozkład normalny . Następnie oczekuje narzędzie można zapisać jako ${\ Displaystyle W_ {0}}$${\ Displaystyle W_ {0} -x'k}$

${\ Displaystyle {\ tekst e}} {[- e ^ {- AW}] = - {\ tekst {E}} [k ^ {- A [x'r + (W_ {0} -x'k) \ cdot r_ {f}]}] = - e ^ {- A [(W_ {0} -x'k) r_ {f}]} {\ tekst {e}} [k ^ {- x'r \ cdot} ] = - e ^ {- A [(W_ {0} -x'k) r_ {f}]} e ^ {- a \ cdot x '\ iM + {\ Frac {A ^ {2}} {2} } \ Sigma ^ {2}}}$

gdzie jest średnią wektor wektor R i jest wariancja ostatecznego bogactwa. Maksymalizacja odpowiada to minimalizując ${\ Displaystyle \ il}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {2}}$

${\ Displaystyle e ^ {ar_ {f} (x'k) -a \ cdot x '\ iM + {\ Frac {A ^ {2}, {2}}} \ Sigma ^ {2}}}$

która z kolei jest równa maksymalizacji

${\ Displaystyle x '(\ mu -r_ {f} \ cdot k) -. {\ Frac {A} {2}} \ Sigma ^ {2}}$

Oznaczając macierz kowariancji z R , jak V , wariancja końcowego bogactwa można zapisać . W ten sposób chcemy zmaksymalizować poniżej w odniesieniu do wyboru wektora x ilości do umieszczenia w ryzykownych aktywów: ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {2}}$${\ Displaystyle x'Vx}$

${\ Displaystyle x '(\ mu -r_ {f} \ cdot k) -. {\ Frac {A} {2}} \ cdot x'Vx}$

Jest to prosty problem rachunku matrycy , a jego rozwiązanie

${\ Displaystyle x ^ {*} = {\ Frac {1} {A}} v ^ {. - 1} (\ -r_ il {f} \ cdot k)}$

Z tego widać, że (1) gospodarstwa x * z ryzykownych aktywów są niezależne od początkowej bogactwa W ₀ , własności nierealne, oraz (2) gospodarstwo każdego składnika aktywów ryzykownych jest mniejsza im większa jest awersja do ryzyka parametr (tak jak oczekiwano intuicyjnie). Ten przykład pokazuje portfolio dwie kluczowe funkcje wykładniczą użytkowy: ustępliwość pod wspólną normalność i brak realizmu ze względu na jego cechy stałej bezwzględnej awersji do ryzyka.

Zobacz też

• Miara ryzyka entropicznego
• Isoelastic (zasilanie), funkcja narzędzie

Referencje