Krzywa matematyczna utworzona z innej krzywej
Dwie ewolwenty (czerwone) paraboli
W matematyce An spiralny (znany również jako evolvent ) stanowi szczególny typ krzywej , który jest zależny od innego kształtu lub krzywej. Ewolwenta krzywej jest umiejscowieniem punktu na kawałku naprężonej struny, gdy struna jest rozwijana z krzywej lub owinięta wokół niej.
Jest to klasa krzywych należąca do rodziny krzywych ruletki .
Ewolutna od ewolwenty jest oryginalna krzywa.
Pojęcia ewolwenty i ewolucję krzywej wprowadził Christiaan Huygens w swojej pracy zatytułowanej Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricae (1673).
Ewolwenta sparametryzowanej krzywej
Niech będzie regularną krzywą w płaszczyźnie z jej krzywizną nigdzie 0 , a następnie krzywą z reprezentacją parametryczną
jest ewolwenty podanej krzywej.
Dowód
Sznurek działa jako styczna do krzywej . Jego długość zmienia się o wartość równą długości łuku pokonywanego podczas nawijania lub odwijania. Długość łuku pokonywanego łuku w przedziale jest podana przez
gdzie jest punktem początkowym, od którego mierzona jest długość łuku. Ponieważ wektor styczny przedstawia tutaj naprężoną strunę, otrzymujemy wektor struny jako
Wektor odpowiadający końcowemu punktowi ciągu ( ) można łatwo obliczyć za pomocą dodawania wektorów i otrzymujemy
|
Dodanie dowolnej, ale ustalonej liczby do całki powoduje powstanie ewolwenty odpowiadającej sznurkowi rozciągniętemu o (jak kłębek przędzy wełnianej, której nitka zwisa już przed rozwinięciem). Stąd ewolwenta może być zmieniana przez stałą i / lub dodanie liczby do całki (patrz Ewolwenty paraboli półkolistej ).
Jeśli dostaniesz
Właściwości ewolwentów
Ewolwentowy: właściwości. Przedstawione kąty to 90 stopni.
Żeby właściwości wywodzą się z regularnego łuku, korzystne jest, by przypuszczać na długości łuku być parametrem danego łuku, co prowadzi do uproszczenia poniższych: i z tej krzywizny i jednostki normalnym. Za ewolwenty dostaje się:
-
i
oraz oświadczenie:
- W punkcie ewolwenta nie jest regularna (ponieważ ),
i z następujących:
- Normalna ewolwenty w punkcie jest styczną danej krzywej w punkcie .
- Ewolwenty są równoległymi krzywymi , z powodu i faktu, że jest to jednostka normalna w .
Przykłady
Ewolwenty koła
W przypadku koła z reprezentacją parametryczną mamy
. Stąd długość ścieżki wynosi .
Oceniając powyższe równanie ewolwenty, otrzymujemy
dla parametrycznego równania ewolwenty koła.
Termin jest opcjonalna; służy do ustalenia położenia początkowego krzywej na okręgu. Rysunek przedstawia ewolwenty dla (zielony), (czerwony), (fioletowy) i (jasnoniebieski). Ewolwenty wyglądają jak spirale Archimedesa , ale w rzeczywistości nimi nie są.
Długość łuku dla i ewolwenty wynosi
Ewolwenty paraboli półkulistej (niebieskie). Tylko czerwona krzywa jest parabolą.
Ewolwenty paraboli półkulistej
Parametrycznego równania opisuje parabola semikubiczna . Od jednego dostaje się i . Przedłużenie łańcucha o znacznie upraszcza dalsze obliczenia i dostajemy
Eliminacja plonów t pokazuje, że ta ewolwenta jest parabolą .
Pozostałe ewolwenty są więc równoległymi krzywymi paraboli i nie są parabolami, ponieważ są krzywymi stopnia szóstego (patrz Krzywa równoległa, § Dalsze przykłady ).
Czerwona ewolwenta sieci trakcyjnej (niebieska) to tractrix.
Ewolwenty sieci trakcyjnej
W przypadku sieci trakcyjnej wektor styczny to i, jako jego długość . Zatem długość łuku od punktu (0,1) wynosi
Stąd ewolwenta zaczynająca się od (0, 1) jest parametryzowana przez
i dlatego jest tractrix .
Pozostałe ewolwenty nie są traktrycami, ponieważ są równoległymi krzywiznami tractrix.
Ewolwenty cykloidy
Ewolwenty cykloidy (niebieski): Tylko czerwona krzywa jest kolejną cykloidą
Reprezentacja parametryczna opisuje cykloidę . Od , otrzymujemy (po zastosowaniu kilku wzorów trygonometrycznych)
i
Stąd równania odpowiednich ewolwentów są
które opisują przesuniętą czerwoną cykloidę na diagramie. W związku z tym
- Ewolwenty cykloidy są równoległymi krzywymi cykloidy
(Równoległe krzywe cykloidy nie są cykloidami).
Ewolucja i ewolucja
Ewolutna danej krzywej składa się z centrów krzywizny . Pomiędzy ewolutami a ewolutami zachodzi następująca instrukcja:
- Krzywa jest ewolucją którejkolwiek z jej ewolwentów.
Tractrix (czerwony) jako ewolwenta sieci trakcyjnej
Ewolucja tractrix jest siecią trakcyjną
Podanie
Ewolwenta ma pewne właściwości, które sprawiają, że jest niezwykle ważna dla przemysłu przekładniowego : jeśli dwa zazębione koła zębate mają zęby o profilu ewolwentowym (zamiast, na przykład, tradycyjny trójkątny kształt), tworzą ewolwentowy system kół zębatych . Ich względne prędkości obrotowe są stałe, gdy zęby są zajęte. Koła zębate również zawsze stykają się wzdłuż jednej stałej linii siły. W przypadku zębów o innych kształtach względne prędkości i siły rosną i opadają w miarę zazębiania się kolejnych zębów, co powoduje wibracje, hałas i nadmierne zużycie. Z tego powodu prawie wszystkie współczesne zęby kół zębatych mają kształt ewolwentowy.
Mechanizm sprężarki spiralnej
Ewolwenta koła jest również ważnym kształtem w sprężaniu gazu , ponieważ na podstawie tego kształtu można zbudować sprężarkę spiralną. Sprężarki spiralne emitują mniej dźwięku niż konwencjonalne sprężarki i okazały się dość wydajne .
Wysokiej Strumień izotopów reaktora wykorzystuje elementy paliwowe ewolwentowych kształcie, ponieważ pozwalają one stałą szerokość między sobą kanał dla chłodziwa.
Zobacz też
Bibliografia
Linki zewnętrzne