Lista całek funkcji logarytmicznych - List of integrals of logarithmic functions

Poniżej znajduje się lista całek ( funkcji pierwotnych ) funkcji logarytmicznych . Aby uzyskać pełną listę funkcji całkowych, zobacz listę całek .

Uwaga: w tym artykule przyjęto x > 0, a dla uproszczenia pominięto stałą całkowania .

Całki zawierające tylko funkcje logarytmiczne

${\ Displaystyle \ int \ log _ {a} x \, dx = x \ log _ {a} x-{\ Frac {x} {\ ln a}} = {\ Frac {x \ ln xx} {\ ln a}}}$

${\ Displaystyle \ int \ ln (ax) \ dx = x \ ln (ax) -x}$

${\ Displaystyle \ int \ ln (ax + b) \ dx = {\ Frac {(ax + b) \ ln (ax + b) - (ax + b)} {a}}}$

${\ Displaystyle \ int (\ ln x) ^ {2} \ dx = x (\ ln x) ^ {2} -2 x \ ln x + 2 x}$

${\ Displaystyle \ int (\ ln x) ^ {n} \ dx = x \ suma _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {nk} {\ Frac {n!} {k!} }(\ln x)^{k}}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {dx} {\ ln x}} = \ ln | \ ln x | + \ ln x + \ suma _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(\ ln x )^{k}}{k\cdot k!}}}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {dx} {\ ln x}} = \ nazwa operatora {li} (x)}$, całka logarytmiczna .

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {dx} {(\ ln x) ^ {n}}} = - {\ Frac {x} {(n-1) (\ ln x) ^ {n-1}}} +{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(dla }}n\neq 1{ \mbox{)}}}$

Całki obejmujące funkcje logarytmiczne i potęgowe

${\ Displaystyle \ int x ^ {m} \ ln x \ dx = x ^ {m + 1} \ lewo ({\ Frac {\ ln x} {m + 1}} - {\ Frac {1} {( m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{(dla }}m\neq -1{\mbox{)}}}$

${\ Displaystyle \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} \ dx = {\ Frac {x ^ {m + 1} (\ ln x) ^ {n}} {m + 1}} -{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{(dla }}m\neq -1{\mbox {)}}}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {(\ ln x) ^ {n} \ dx {x}} = {\ Frac {(\ ln x) ^ {n + 1}} {n + 1}} \ qquad {\mbox{(dla }}n\neq -1{\mbox{)}}}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {\ ln x \ dx} {x ^ {m}}} = - {\ Frac {\ ln x} {(m-1) x ^ {m-1}}} - {\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{(dla }}m\neq 1{\mbox{)}}}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {(\ ln x) ^ {n} \ dx} {x ^ {m}}} = - {\ Frac {(\ ln x) ^ {n}} {(m- 1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}} }\qquad {\mbox{(dla }}m\neq 1{\mbox{)}}}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {x ^ {m} \ dx} {(\ ln x) ^ {n}}} = - {\ Frac {x ^ {m + 1}} {(n-1) (\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n -1}}}\qquad {\mbox{(dla }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {dx} {x \ ln x}} = \ ln \ lewo | \ ln x \ prawo |}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {dx} {x \ ln x \ ln \ ln x}} = \ ln \ lewo | \ ln \ lewo | \ ln x \ prawo | \ prawo |}$itp.

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {dx} {x \ ln \ ln x}} = \ operatorname {li} (\ ln x)}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {dx} {x ^ {n} \ ln x}} = \ ln \ lewo | \ ln x \ prawo | + \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1)^{k}{\frac {(n-1)^{k}(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {dx} {x (\ ln x) ^ {n}}} = - {\ Frac {1} {(n-1) (\ ln x) ^ {n-1}} }\qquad {\mbox{(dla }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\ Displaystyle \ int \ ln (x ^ {2} + a ^ {2}) \ dx = x \ ln (x ^ {2} + a ^ {2}) -2x + 2a \ tan ^ {-1 }{\frac {x}{a}}}$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {x} {x ^ {2} + a ^ {2}}} \ ln (x ^ {2} + a ^ {2}) \ dx = {\ Frac {1} {4}}\ln ^{2}(x^{2}+a^{2})}$

Całki zawierające funkcje logarytmiczne i trygonometryczne

${\ Displaystyle \ int \ sin (\ ln x) \ dx = {\ frac {x} {2}} (\ sin (\ ln x) - \ cos (\ ln x))}$

${\ Displaystyle \ int \ cos (\ ln x) \ dx = {\ frac {x} {2}} (\ sin (\ ln x) + \ cos (\ ln x))}$

Całki obejmujące funkcje logarytmiczne i wykładnicze

${\ Displaystyle \ int e ^ {x} \ lewo (x \ ln xx-{\ Frac {1} {x}} \ prawej) \ dx = e ^ {x} (x \ ln xx \ ln x) }$

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {1} {e ^ {x}}} \ lewo ({\ Frac {1} {x}} - \ ln x \ prawej) \ dx = {\ Frac {\ ln x }{e^{x}}}}$

${\ Displaystyle \ int e ^ {x} \ lewo ({\ Frac {1} {\ ln x}} - {\ Frac {1} {x (\ ln x) ^ {2}}} \ prawej) \, dx={\frac {e^{x}}{\ln x}}}$

n kolejnych integracji

Dla kolejnych całkowań formuła ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ int \ ln x \ dx = x (\ ln x-1) + C_ {0}}$

generalizuje do

${\ Displaystyle \ int \ dotsi \ int \ ln x \ dx \ dotsm dx = {\ Frac {x ^ {n}} {n!}} \ lewo (\ ln \, x-\ suma _ {k = 1 }^{n}{\frac {1}{k}}\right)+\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}{\frac {x^{k}}{k! }}}$

Zobacz też

• Lista tożsamości matematycznych  – artykuł z listy Wikipedii
• Listy tematów matematycznych  – artykuł z listy Wikipedii

Bibliografia

• Milton Abramowitz i Irene A. Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables , 1964. Kilka całek jest wymienionych na stronie 69 .