Macierz jedynek - Matrix of ones

W matematyce , A macierz nich lub wszystkie te-macierz jest macierzą , gdzie każdy element jest równa jeden . Przykłady notacji standardowej podano poniżej:

${\ Displaystyle J_ {2} = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 1 \ \ 1 i 1 \ koniec {pmatrix}}; \ quad J_ {3} = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 1 i 1 \ \ 1 i 1 i 1 \ \ 1 i 1 i 1 \ koniec {pmatrix} };\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}} .\quad }$

Niektóre źródła nazywają macierz jedności macierzą jednostkową , ale termin ten może również odnosić się do macierzy tożsamości , innej macierzy.

Wektora nich lub wszystkie te-wektor jest macierzą mające w rzędzie lub kolumnie formy .

Nieruchomości

Dla macierzy n  ×  n jedynej J , zachodzą następujące własności:

• Ślad z J równa n , a determinantem równa 0 dla n ≥ 2, ale ma wartość 1, gdy n = 1 (lub, jeśli n = 0, jeśli rozważyć ten pusty macierzy kwadratowej , która jest macierzą wszystkie-ony).
• Charakterystyczne wielomianu o J jest .${\ Displaystyle (xn) x ^ {n-1}}$
• Stopień z j oznacza 1, a wartości własne są n z wielości 1 i 0 do wielokrotności n - 1 .
• ${\ Displaystyle J ^ {k} = n ^ {k-1} J}$ dla ${\displaystyle k=1,2,\ldots.}$
• J jest elementem neutralnym z produktu Hadamarda .

Gdy J jest uważane za macierz na liczbach rzeczywistych , obowiązują następujące dodatkowe właściwości:

• J jest dodatnią macierzą półokreśloną .
• Macierz jest idempotentna .${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {n}} J}$
• Wykładniczy matrycy z J jest${\ Displaystyle \ exp (J) = ja + {\ Frac {e ^ {n}-1} {n}} J.}$

Aplikacje

Macierz jedności pojawia się w matematycznej dziedzinie kombinatoryki , w szczególności w zastosowaniu metod algebraicznych do teorii grafów . Na przykład, jeśli A jest macierzą sąsiedztwa grafu nieskierowanego o n - wierzchołkach G , a J jest macierzą samych jedynek o tym samym wymiarze, to G jest grafem regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy AJ  =  JA . Jako drugi przykład, matryca pojawia się w niektórych liniowego algebraiczna dowodów wzorze Cayley jest , co daje wiele drzew rozpinających o pełnej wykresu z wykorzystaniem twierdzenia drzewa matrycy .

Zobacz też

• Zero matrix , macierz , w której wszystkie elementy są zerowe
• Macierz jednokrotnego wpisu

Bibliografia

Ten artykuł dotyczący algebry liniowej jest skrótem . Możesz pomóc Wikipedii, rozwijając ją .

• v
• t
• mi