Jednostka macierzowa - Matrix unit

W matematyce , A jednostka matryca jest idealizacja koncepcji matrycy , z naciskiem na algebraicznych własności mnożenia macierzy . Temat jest stosunkowo niejasny w algebrze liniowej , ponieważ całkowicie pomija numeryczne właściwości macierzy; spotyka się go głównie w kontekście algebry abstrakcyjnej , zwłaszcza teorii półgrup .

Pomimo nazwy jednostki macierzy nie są tym samym, co macierze jednostkowe lub macierze unitarne .

Dwie macierze można pomnożyć, gdy liczba kolumn w jednej jest taka sama, jak liczba wierszy w drugiej; w przeciwnym razie są niekompatybilne. Ideą jednostek macierzowych jest spojrzenie na ten fakt osobno: jednostka macierzy to macierz z wymiarami, ale z wybranymi wpisami.

Niech będę niepustym zbiorem używanym do zliczania wierszy i kolumn macierzy. Nie ma wymogu, aby był skończony; w rzeczywistości standardowa algebra macierzowa wykorzystywałaby zbiór liczb naturalnych (bez zera) N ⁺ . Zespół matrycy jest albo uporządkowane para ( R , C ), a r i c elementów I lub jest to specjalne „zero”, obiekt, zapisane jako „0”. Mnożenie jest zdefiniowane w następujący sposób:

• 0 x = x 0 = 0 dla dowolnej jednostki macierzy x ;
• ( r , c ) ( s , d ) = ( r , d ) jeśli c = s , a 0 jeśli c ≠ s .

Element 0 może być postrzegany jako „symbol błędu” na wypadek niepowodzenia mnożenia; pierwsza reguła oznacza, że ​​błędy rozprzestrzeniają się w całym produkcie zawierającym jedną niezgodną kombinację.

Na przykład iloczyn (gdzie I = N ⁺ )

(2, 3) (3, 2) (2, 1) (1, 4) = (2, 4)

reprezentuje abstrakcyjne mnożenie macierzy

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cdot & \ cdot & \ cdot \\\ cdot & \ cdot & \ cdot \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cdot & \ cdot \\\ cdot & \ cdot \\\ cdot & \ cdot \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cdot \\\ cdot \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cdot & \ cdot & \ cdot & \ cdot \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cdot & \ cdot & \ cdot & \ cdot \\\ cdot & \ cdot & \ cdot & \ cdot \\\ end {bmatrix }}}$

Innym zapisem ( r , c ) jest A _{r c} , zgodnie z konwencją nazywania pojedynczego wpisu macierzy. ( W pozycji „ A ” używane są różne litery w odniesieniu do jednostek macierzy w innym zestawie podstawowym). Reguła kompozycji może być wyrażona za pomocą delty Kroneckera jako

X _{r c} X _{s d} = δ _{c s} X _{r d} .

Zgodnie z tymi regułami ( I × I ) ∪ {0} jest półgrupą z zerem. Jego konstrukcja jest analogiczna do innych ważnych półgrup, takich jak prostokątne prążki i półgrupy macierzy Reesa . Powstaje ona również jako ślad unikalnej D -class z bicyklicznego półgrupa , co oznacza, że podsumowuje jak skład członków, który współdziała z klasy struktury półgrupa za ideał główny .

Półgrupa jednostek macierzowych jest 0-prosta , ponieważ dowolne dwa niezerowe elementy generują ten sam dwustronny ideał (cała półgrupa), a półgrupa jest różna od zera. Elementy ( r , c ) i ( s , d ) są powiązane z D przez

( r , c ) R ( r , d ) L ( s , d ),

jak wszystkie pary są R- powiązane, jeśli mają tę samą pierwszą współrzędną i L- powiązane, jeśli mają tę samą drugą współrzędną. Wszystkie klasy H są singletonami. W idempotents są "kwadratowych" jednostki macierzy ( , a ) dla w I wraz z 0.