Otulina (topologia) - Cover (topology)

W matematyce , zwłaszcza topologii , A pokrywa się z zestawu jest zbiór zestawów których związek zawiera jako podzespołu . Formalnie, jeśli jest indeksowaną rodziną zbiorów, to jest okładką if ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C = \ lbrace U_ {\ alfa}: \ alfa \ w A \ rbrace}$${\ Displaystyle U_ {\ alfa},}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle X \ subseteq \ bigcup _ {\ alfa \ w A} U_ {\ alfa}.}$

Pokrycie w topologii

Pokrywy są powszechnie używane w kontekście topologii . Jeżeli zbiór X jest przestrzenią topologiczną , to pokrycie C zbioru X jest zbiorem podzbiorów U _α ( α ∈ A ) X , których sumą jest cała przestrzeń X . W tym przypadku mówimy, że C pokrywa X , lub że zbiory U _α pokrywają X . Ponadto, jeśli Y jest podzbiorem X , to pokrywa z Y jest zbiór podzbiorów X , który zawiera związek Y , to znaczy C, to pokrywa Y czy

${\ Displaystyle Y \ subseteq \ bigcup _ {\ alfa \ w A} U_ {\ alfa}.}$

Niech C będzie pokryciem przestrzeni topologicznej X . Subcover z C jest podzbiorem C , który nadal obejmuje X .

Mówimy, że C jest an otwórz pokrywę, jeśli każdy z jej elementów jest zbioremotwartym(tj. każdyU _α jest zawarty wT, gdzieTjest topologiąX).

Mówi się, że okrycie X jest lokalnie skończone, jeśli każdy punkt X ma sąsiedztwo, które przecina tylko skończenie wiele zbiorów w okryciu. Formalnie, C = { U _α } jest lokalnie skończone, jeśli dla dowolnego istnieje pewne sąsiedztwo N ( x ) x takie, że zbiór ${\displaystyle x\wX}$

${\ Displaystyle \ lewo \ {\ alfa \ w A: U_ {\ alfa} \ czapka N (x) \ neq \ varnothing \ prawo \}}$

jest skończona. Mówi się, że okładka X jest punktowo skończona, jeśli każdy punkt X jest zawarty tylko w skończonej liczbie zbiorów w okładce. Otulina jest punktowo skończona, jeśli jest lokalnie skończona, chociaż odwrotność niekoniecznie jest prawdziwa.

Udoskonalenie

Wyrafinowanie z pokrywą przestrzeni topologicznej to nowa okładka z takie, że każdy zbiór w zawarte jest w pewnym zbiorze w . Formalnie, ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle D = \ {V_ {\ beta} \} _ {\ beta \ w B}}$jest udoskonaleniem, jeśli dla wszystkich istnieje takie, że${\ Displaystyle C = \ {U_ {\ alfa} \} _ {\ alfa \ w A}}$${\ Displaystyle \ beta \ w B}$${\ Displaystyle \ alfa \ w A}$${\ Displaystyle V_ {\ beta} \ podseteq U_ {\ alfa}.}$

Innymi słowy, nie jest to mapa wyrafinowanie zaspokojenie każdej Ta mapa jest stosowane, na przykład, w kohomologiami Čech dnia . ${\displaystyle \phi:B\do A}$${\ Displaystyle V_ {\ beta} \ podseteq U_ {\ phi (\ beta)}}$${\ Displaystyle \ beta \ w B.}$${\ Displaystyle X}$

Każda okładka to także udoskonalenie, ale nie zawsze jest odwrotnie. Okładka składa się z zestawów znajdujących się w okładce, ale z pominięciem niektórych z nich; natomiast udoskonalenie jest wykonane z dowolnych zestawów, które są podzbiorami zestawów w okładce.

Relacja wyrafinowania to preorder na zestaw okładek . ${\ Displaystyle X}$

Ogólnie rzecz biorąc, udoskonalenie danej struktury to kolejna, która w pewnym sensie ją zawiera. Przykłady można znaleźć przy podziale przedziału (jedno udoskonalenie bytu ), biorąc pod uwagę topologie ( standardowa topologia w przestrzeni euklidesowej jest udoskonaleniem topologii trywialnej ). Kiedy dzielimy kompleksy symplicjalne (pierwszy barycentryczny podział kompleksu symplicjalnego jest udoskonaleniem), sytuacja jest nieco inna: każdy simpleks w drobniejszym kompleksie jest twarzą jakiegoś simpleksu w grubszym i oba mają równą pod spodem wielościany. ${\displaystyle a_{0}<a_{1}<...<a_{n}}$${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<...<a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$

Jeszcze innym pojęciem wyrafinowania jest wyrafinowanie gwiazdy .

Subskrypcja

Prostym sposobem na zdobycie okładki jest pominięcie w okładce zestawów zawartych w innym zestawie. Rozważ specjalnie otwarte pokrywy. Niech będzie topologiczną podstawą i będzie otwartą okładką Pierwszego ujęcia Następnie jest udoskonaleniem . Następnie dla każdego wybieramy zawierający (wymagający aksjomatu wyboru). Wtedy jest podpokrycie Stąd moc podpokrywy otwartej pokrywy może być tak mała, jak każdej podstawy topologicznej. Stąd w szczególności druga policzalność implikuje, że przestrzeń to Lindelöf . ${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}}}$${\ Displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{istnieje}}U\in {\mathcal {O}}{\text{tak, że}} A\podzbiór U\}.}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}}}$${\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {A}},}$${\ Displaystyle U_ {A} \ w {\ Mathcal {O}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} = \ {U_ {A} \ w {\ mathcal {O}}: A \ w {\ mathcal {A}} \}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$

Ścisłość

Język okładek jest często używany do określenia kilku właściwości topologicznych związanych ze zwartością . Mówi się, że przestrzeń topologiczna X jest

Kompaktowy

jeśli każda otwarta okładka ma skończoną podokładkę (lub równoważnie, że każda otwarta okładka ma skończone wyrafinowanie);

Lindelöf

jeśli każda otwarta okładka ma policzalną dokładną okładkę (lub równoważnie, że każda otwarta okładka ma policzalne udoskonalenie);

Metakompakt

jeśli każda otwarta pokrywa ma punktowo skończone otwarte udoskonalenie;

Parakompaktowy

jeśli każda otwarta okładka dopuszcza lokalnie skończone otwarte udoskonalenie.

Więcej odmian znajdziesz w powyższych artykułach.

Wymiar krycia

Mówi się, że przestrzeń topologiczna X ma wymiar pokrycia n, jeśli każde otwarte pokrycie X ma punktowo skończone otwarte uściślenie takie, że żaden punkt X nie jest zawarty w więcej niż n+1 zestawach w uściśleniu i jeśli n jest wartością minimalną dla których to prawda. Jeśli takie minimalne n nie istnieje, mówi się, że przestrzeń ma nieskończony wymiar pokrycia.

Zobacz też

• Atlas (topologia)
• Pokrycie przestrzeni
• Podział zestawu
• Ustaw problem z okładką
• Wyrafinowanie gwiazd
• Topologia Grothendiecka

Uwagi

Bibliografia

1. Wprowadzenie do topologii, wydanie drugie , Theodore W. Gamelin i Robert Everist Greene. Publikacje Dover 1999. ISBN  0-486-40680-6
2. Ogólna topologia , John L. Kelley . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.

Zewnętrzne linki

• „Pokrycie (zestawu)” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]