Trywialna topologia - Trivial topology
W topologii , A przestrzenią topologiczną z błahego topologii jest jednym gdzie tylko zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń. Takie przestrzenie są powszechnie nazywane niedyskretnymi , antydyskretnymi lub koddyskretnymi . Intuicyjnie powoduje to, że wszystkie punkty przestrzeni są „skupione razem” i nie można ich rozróżnić metodami topologicznymi. Każda niedyskretna przestrzeń jest przestrzenią pseudometryczną, w której odległość między dowolnymi dwoma punktami wynosi zero .
Detale
Trywialna topologia to topologia z najmniejszą możliwą liczbą otwartych zbiorów , a mianowicie pustym zestawem i całą przestrzenią, ponieważ definicja topologii wymaga, aby te dwa zbiory były otwarte. Pomimo swojej prostoty, przestrzeń X z więcej niż jednym elementem i trywialną topologią nie ma kluczowej pożądanej właściwości: nie jest to przestrzeń T 0 .
Inne właściwości niedyskretnej przestrzeni X - z których wiele jest dość niezwykłych - obejmują:
- Jedyne domknięte są zbiorem pustym i X .
- Jedynym możliwym podstawę z X jest { X }.
- Jeśli X ma więcej niż jeden punkt, a następnie, ponieważ nie jest T 0 , to nie spełnia żadnej z wyższych aksjomatów T albo. W szczególności nie jest to przestrzeń Hausdorffa . Nie będąc Hausdorffem, X nie jest topologią porządkową ani nie można go mierzyć .
- Jednak X jest regularny , całkowicie regularny , normalny i całkowicie normalny ; a wszystko to w sposób raczej próżniowej chociaż, ponieważ tylko domknięte są ∅ oraz X .
- X jest zwarty, a zatem parakompaktowy , Lindelöf i lokalnie zwarty .
- Każda funkcja, której dziedziną jest przestrzeń topologiczna i kodomena X, jest ciągła .
- X jest połączony ścieżką i tak połączony .
- X jest policzalny jako drugi , a zatem jest policzalny jako pierwszy , rozłączalny i Lindelöf .
- Wszystkie podprzestrzenie z X mają trywialne topologii.
- Wszystkie przestrzenie ilorazowe z X mają przestrzeń antydyskretna
- Arbitralne iloczyny trywialnych przestrzeni topologicznych, z topologią produktu lub topologią pudełkową , mają topologię trywialną.
- Wszystkie sekwencje w X zbiegają się do każdego punktu X . W szczególności każda sekwencja ma zbieżny podciąg (cała sekwencja lub jakikolwiek inny podciąg), a zatem X jest sekwencyjnie zwarty .
- Wnętrze każdego zestawu oprócz X jest pusta.
- Zamknięcie każdego niepusty podzbiór X to X . Mówiąc inaczej: każdy niepusty podzbiór X jest gęsty , jest to właściwość charakteryzująca trywialne przestrzenie topologiczne.
- W rezultacie domknięcie każdego otwartego podzbioru U z X wynosi ∅ (jeśli U = ∅) lub X (w przeciwnym razie). W szczególności zamknięcie każdego otwartego podzbioru X jest ponownie zbiorem otwartym, a zatem X jest skrajnie odłączony .
- Jeżeli S jest dowolnym podzbiorem X z więcej niż jednego elementu, to wszystkie elementy X mają punkt skupienia z S . Jeżeli S jest pojedyncza , a każdy punkt X \ S wciąż point limit S .
- X to przestrzeń Baire'a .
- Dwie przestrzenie topologiczne niosące trywialną topologię są homeomorficzne, jeśli mają tę samą liczność .
W pewnym sensie przeciwieństwem trywialnej topologii jest topologia dyskretna , w której każdy podzbiór jest otwarty.
Trywialne Topologia należy do powierzchni jednolitej , w której całość iloczyn X x X jest jedynie otoczenie .
Niech Top być kategoria przestrzeni topologicznych z mapami i ciągłych Ustaw jako kategoria zestawów z funkcjami. Jeśli G : Top → Set jest funktorem, który przypisuje każdej przestrzeni topologicznej jej zbiór bazowy (tzw. Funktor zapominalski ), a H : Set → Top jest funktorem, który umieszcza trywialną topologię na danym zbiorze, to H ( tzw funktor cofree ) ma prawo adjoint do G . (Tak zwany funktor swobodny F : Set → Top, który umieszcza topologię dyskretną na danym zbiorze, pozostaje połączony z G ).
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( przedruk Dover z 1978 r.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446