Częściowy ślad - Partial trace

Lewa strona strony pokazuje pełną matrycę gęstości z dwuczęściowym systemem qubitu. Częściowa śladowy wykonywane przez podsystem 2 o 2 wymiarach (matryca gęstość pojedynczego qubit). Z prawej strony przedstawia uzyskaną 2 przez 2 zredukowanej macierzy gęstości .${\ Displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ Displaystyle \ rho _ {A}}$

W Algebra liniowego i analizy funkcjonalnej The częściowo śladu jest uogólnieniem śladu . Zważywszy, że ślad jest skalar wycenione funkcja na operatorów, częściowe ślad jest operator funkcję -valued. Częściowy ślad ma zastosowanie w informacji kwantowej i dekoherencji , które są istotne dla pomiaru kwantowego , a tym samym do decoherent podejścia do interpretacji mechaniki kwantowej , w tym spójnych historii i względnej interpretacji państwowej .

Detale

Załóżmy, że , są ograniczone trójwymiarowych przestrzeni wektorowej nad dziedzinie , z wymiarami i , odpowiednio. Dla każdej przestrzeni niech oznaczają przestrzeń operatorów liniowych na . Częściowa kalkować , jest odwzorowaniem ${\ V} displaystyle$${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle m}$${\ N} displaystyle$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle L (A)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ {W} \ OperatorName {l} (V \ otimes W) \ z \ OperatorName {L} (V)}$

${\ Displaystyle t \ w \ OperatorName {l} (V \ otimes W) \ mapsto \ OperatorName {Tr} _ {W} (T) \ w \ OperatorName {l} (V)}$

Jest ona zdefiniowana w następujący sposób: pozwolić i , bądź podstawy dla V i W, odpowiednio; Następnie T ma reprezentacji macierzy ${\ Displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {m}}$${\ Displaystyle F_ {1}, \ ldots, F_ {n}}$

${\ Displaystyle \ {a_ {k \ łokieć, ij} \} \ quad 1 \ równoważnik k, i \ równ m \ quad 1 \ równoważnik \ łokieć, j \ n} równoważnik$

w stosunku do podstawy o . ${\ Displaystyle e_ {k} \ otimes f _ {\ ell}}$${\ Displaystyle V \ otimes W}$

Teraz indeksy k , i w zakresie 1, ..., m , za sumę

${\ Displaystyle b_ {k i} = \ _ suma j = {1} ^ {n} a_ {kJ ij}.}$

Daje to matryca b _{k , ja} . Związane z tym operator Liniowy V jest niezależny od wyboru zasad i z definicji częściowo śladu .

Wśród fizyków, jest często zwany „śledzenia z” lub „wykrywania” przez W , aby pozostawić tylko to operatorowi na V, w kontekście, w którym W i V są przestrzeniami Hilberta związane z systemami kwantowej (patrz poniżej).

niezmienna definicja

Częściowa operatora śladu może być zdefiniowana niezmienniczo (to jest, bez odniesienia do podstawy) w następujący sposób: jest unikalny operatora liniowy

${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ {W} \ OperatorName {l} (V \ otimes W) \ rightarrow \ OperatorName {l} (V)}$

takie, że

${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ {W} (R \ otimes S) = \ r \ OperatorName {Tr} (S) \ quad \ forall R \ w \ OperatorName {L} (V) \ quad \ forall S \ w \ OperatorName {L} (w).}$

Aby zobaczyć, że powyższe warunki określają częściową ślad jednoznacznie, niech tworzą podstawę , niech tworzą podstawę , niech będzie mapę, która wysyła do (i wszystkie inne elementy bazowe do zera), i niech będzie mapa, która wysyła do . Ponieważ wektory tworzą podstawę , mapy stanowią podstawę . ${\ Displaystyle V_ {1}, \ ldots, V_ {m}}$${\ V} displaystyle$${\ Displaystyle W_ {1}, \ ldots, w_ {n}}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle E_ {ij} \ okrężnicy V \ V}$${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle V_ {j}}$${\ Displaystyle F_ {} kl \ okrężnicy w \ z W}$${\ Displaystyle w_ {k}}$${\ Displaystyle W_ {l}}$${\ Displaystyle V_ {i} \ otimes w_ {k}}$${\ Displaystyle V \ otimes W}$${\ Displaystyle E_ {ij} \ otimes F_ {}} kl$${\ Displaystyle \ OperatorName {l} (V \ otimes W)}$

Od tej abstrakcyjnej definicji, wykonaj następujące właściwości:

${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ {W} (I_ {V \ otimes W}) = \ słabe w \ I_ {V}}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ {W} (T (I_ {V} \ otimes S)) = \ OperatorName {Tr} _ {W} ((I_ {V} \ otimes S) t) \ quad \ forall S \ w \ OperatorName {l} (w) \ quad \ forall T \ in \ OperatorName {L} (V \ otimes wagowo).}$

Kategoria teoretyczne pojęcie

To częściowe ślad przekształceń liniowych, które jest przedmiotem Joyal, ulica, a pojęcie Verity z prześledzić kategorii monoidal . Śledzony kategorii monoidal jest monoidal kategorii razem z, na przedmioty X, Y, U, w kategorii funkcją HOM-zestawach ${\ Displaystyle (C \ otimes, I)}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ {x, y} ^ {u} \ okrężnicy \ OperatorName {hom} _ {C} (X \ otimes U, T \ otimes U) \ z \ OperatorName {hom} _ {C } (X, Y)}$

spełniającej pewne aksjomaty.

Inny przypadek to abstrakcyjne pojęcie częściowego śladu odbywa się w kategorii skończonych zbiorów i bijections między nimi, w którym produkt monoidal jest suma rozłączna. Można wykazać, że za ograniczonych zestawach, X, Y, U i bijection istnieje odpowiadający „częściowo wyznaczoną” bijection . ${\ Displaystyle X + U \ Cong Y + U}$${\ Displaystyle X \ Y} Cong$

Częściowy ślad dla operatorów na przestrzeni Hilberta

Częściowy ślad uogólnia się do operatorów o nieskończonych wymiarowych przestrzeniach Hilberta. Załóżmy, V , W są przestrzeniami Hilberta i pozwolić

${\ Displaystyle \ {F_ {i} \} _ {i \ w i}}$

być ortonormalną podstawę dla W . Teraz nie jest izometrycznym izomorfizmem

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {\ ell \ w i} (V \ otimes \ mathbb {C} f _ {\ ell}) \ rightarrow V \ otimes W}$

W ramach tego rozkładu każdy podmiot może być uważany jako nieskończona matrycy operatorów o V${\ Displaystyle t \ w \ OperatorName {l} (V \ otimes W)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} T_ {11} i T_ {12} i \ ldots i T_ {1j} & \ ldots \\ T_ {21} i T_ {22} i \ ldots i T_ {2j} & \ ldots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ T_ {} K1 i K2 T_ {} & \ ldots i T_ {kJ} & \ ldots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \ koniec {bmatrix}}}$

gdzie . ${\ Displaystyle T_ {k \ ell} \ w \ OperatorName {L} (V)}$

Załóżmy najpierw T jest operatorem nieujemna. W tym przypadku, wszystkie ukośne wpisy powyższej matrycy są nieujemne operatorzy na V . Jeśli suma

${\ Displaystyle \ suma _ {\ ell} T _ {\ ell \ ell}}$

zbieżna w silnym topologii operatora L ( V ), jest on niezależny od wybranej podstawie W . Częściowa ślad Tr _W ( t ) jest zdefiniowana jako operator. Częściowa śladu operatora samosprzężonego określa się wtedy i tylko wtedy, gdy częściowe ślady dodatnimi i ujemnymi są zdefiniowane.

Obliczanie częściowe ślad

Załóżmy, że W posiada ortonormalną bazę, co oznaczamy Ket wektora zapisu jak . Następnie ${\ Displaystyle \ {| \ ell \ rangle \} _ {\ ell}}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ {W} \ lewo (\ suma _ {k \ ell} T ^ {(k \ ell)} \ \ otimes \, | K \ rangle \ langle \ Ell | \ prawo ) = \ _ {suma j} T ^ {(jj)}.}$

W Indeksy górne w nawiasach nie oznaczają składniki macierzy, ale zamiast oznaczania samej matrycy.

Częściowa integracja ślad i niezmienna

W przypadku ograniczonych wymiarów przestrzeni Hilberta, jest skutecznym sposobem patrzenia przy częściowym śladu udziałem włączenia w stosunku do odpowiednio znormalizowanej Haar środka ľ nad jednolitym grupie B ( W ) z W . Odpowiednio znormalizowane środki, ľ przyjmuje się, że środek do całkowitej masy wym ( W ).

Twierdzenie . Załóżmy, V , W są ograniczone trójwymiarowe przestrzenie Hilberta. Następnie

${\ Displaystyle \ _ int {\ OperatorName {u} (W)} (I_ {V} \ otimes u ^ {*}) T (I_ {V} \ otimes U) \ d \ il (U)}$

dojeżdża ze wszystkimi operatorami formie i dlatego jest wyjątkowo formularza . Operator R jest częściowo śladu T . ${\ Displaystyle I_ {V} \ S} otimes$${\ Displaystyle R \ otimes I_ {W}}$

Częściowy ślad jako operacja kwantowej

Częściowa śladu może być postrzegane jako działanie kwantowej . Rozważmy kwantowy układ mechaniczny, którego przestrzeń stanów jest produktem tensor przestrzeni Hilberta. Mieszany stan jest opisane matrycy gęstość p, to jest nieujemna ślad klasy operator linia 1 w produkcie tensora Częściowa śladowego p w stosunku do systemu B , oznaczony jest nazywana zmniejszenie stanu ń na system A . W symboli ${\ Displaystyle h_ {A} \ otimes h_ {B}}$${\ Displaystyle h_ {A} \ otimes h_ {B},.}$${\ Displaystyle \ rho ^ {A}}$

${\ Displaystyle \ rho ^ {A} = \ OperatorName {Tr} _ {B}, \ Rho.}$

Aby pokazać, że jest to rzeczywiście rozsądny sposób przypisać stan na A podsystemu p oferujemy następujące uzasadnienie. Niech K będzie zauważalny w podsystemie A , a odpowiedni zaobserwować na system kompozytowy . Jednak ktoś wybiera się do zdefiniowania stanu obniżonego powinna istnieć spójność statystyk pomiarowych. Wartość oczekiwana M po podsystemu A wytwarza się i że od kiedy system kompozytowy wytwarza się p powinna być taka sama, czyli po równość powinna posiadać: ${\ Displaystyle M I} \ otimes$${\ Displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ Displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ Displaystyle M I} \ otimes$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} (M \ cdot \ rho ^ {A}) = \ OperatorName {Tr} (M \ otimes i \ cdot \ ro).}$

Widzimy, że jest zadowolony, jeśli jest zdefiniowany powyżej poprzez częściowe śladu. Ponadto, jest unikalny z tych procesów. ${\ Displaystyle \ rho ^ {A}}$

Niech T (H) będzie przestrzenią Banacha operatorów ślad klasy na przestrzeni Hilberta H . Można go łatwo sprawdzić, że częściowe śladu, postrzegana jako mapę

${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ {B} T (h_ {A} \ otimes h_ {B},) \ rightarrow T (h_ {A})}$

jest całkowicie pozytywne i ślad-konserwujące.

Częściowy ślad na mapie, jak podano powyżej wywołuje podwójną mapę pomiędzy C * -algebras o ograniczonych operatorów na i podana przez ${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ ^ {B}, {} *}$${\ Displaystyle \; h_ {A}}$${\ Displaystyle h_ {A} \ otimes h_ {B}}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ {B}, ^ {*} (A) = A \ otimes I.}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ ^ {B}, {} *}$mapy obserwable do obserwabli i jest Heisenberga obraz reprezentacji . ${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} _ {B}}$

Porównanie z klasycznym przypadku

Załóżmy, że zamiast kwantowa układów mechanicznych, dwie i B są klasyczne. Przestrzeń wykrywalności dla każdego układu są wtedy abelowa C * -algebras. Są formularza C ( X ) i C ( Y ) odpowiednio zwartych X , Y . Przestrzeń stan systemu kompozytowego jest po prostu

${\ Displaystyle C (X) \ otimes C (T) = C (X \ Y razy).}$

Stan na zespolonych jest pozytywnym elementem ρ z podwójnym C ( X x Y ), który na twierdzeniu Riesza-Markowa odpowiada zwykłej środka Borel na X x Y . Odpowiedni zmniejszyć stan uzyskuje się przez wysuwanie środka ρ do X . W ten sposób częściowy śladowy kwantowa mechaniczny odpowiednik tej operacji.