Operator (matematyka) - Operator (mathematics)

W matematyce An operatora jest na ogół mapowania lub funkcja , która działa na elementach powierzchni do wytwarzania elementów z innego miejsca (ewentualnie w tej samej przestrzeni, niekiedy wymaga się, aby ta sama przestrzeń). Nie ma ogólnej definicji operatora , ale termin ten jest często używany zamiast funkcji, gdy dziedzina jest zbiorem funkcji lub innych ustrukturyzowanych obiektów. Również dziedzina operatora jest często trudna do jednoznacznego scharakteryzowania (na przykład w przypadku operatora całkowego ) i może być rozszerzona na powiązane obiekty (operator działający na funkcje może również działać na równaniach różniczkowych, których rozwiązaniami są funkcje które spełniają równanie). Zobacz Operator (fizyka) dla innych przykładów.

Najbardziej podstawowymi operatorami (w pewnym sensie) są mapy liniowe , które działają na przestrzeniach wektorowych . Jednak używając „operatora liniowego” zamiast „mapy liniowej”, matematycy często mają na myśli działania na przestrzeniach wektorowych funkcji , które zachowują również inne właściwości, takie jak ciągłość . Na przykład różniczkowanie i nieskończona integracja są operatorami liniowymi; podmioty, które są zbudowane z nich są nazywane operator różniczkowy , operatorów integralne lub operatorów Integro-różniczkowych .

Operator służy również do oznaczenia symbolu działania matematycznego . Wiąże się to ze znaczeniem „operatora” w programowaniu komputerowym , patrz operator (programowanie komputerowe) .

Operatory liniowe

Najczęściej spotykanym rodzajem operatora są operatory liniowe . Niech U i V będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K . Mapowania : U → V oznacza liniową czy

{\ Displaystyle A (\ alfa \ mathbf {x} + \ beta \ mathbf {y} ) = \ alfa A \ mathbf {x} + \ beta A \ mathbf {y}}

dla wszystkich x , y w U i dla wszystkich α, β w K . Oznacza to, że operator liniowy zachowuje operacje na przestrzeni wektorowej w tym sensie, że nie ma znaczenia, czy zastosujesz operator liniowy przed, czy po operacjach dodawania i mnożenia przez skalar. Mówiąc bardziej technicznie, operatory liniowe to morfizmy między przestrzeniami wektorowymi.

W przypadku skończenie wymiarowym operatory liniowe mogą być reprezentowane przez macierze w następujący sposób. Niech będzie polem i będzie skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad . Pozwól nam wybrać podstawę w i w . Następnie niech będzie dowolnym wektorem w (zakładając konwencję Einsteina ) i będzie operatorem liniowym. Następnie ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {1} \ ldots \ mathbf {u} _ {n}}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ ldots \ mathbf {v} _ {m}}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {i} \ mathbf {u} _ {i}}$ ${\ Displaystyle U}$ $A:U\do V$

{\ Displaystyle A \ mathbf {x} = x ^ {i} A \ mathbf {u} _ {i} = x ^ {i} (A \ mathbf {u} _ {i}) ^ {j} \ mathbf { v} _{j}}

.

Wtedy jest macierz operatora w stałych podstawach. nie zależy od wyboru , a jeśli . Tak więc w ustalonych bazach macierze n-na-m odpowiadają bijektywnie operatorom liniowym od do . ${\ Displaystyle a_ {i} ^ {j}: = (A \ mathbf {u} _ {i}) ^ {j} \ w K}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle a_ {i} ^ {j}}$ $x$ ${\ Displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {y}}$ ${\ Displaystyle a_ {i} ^ {j} x ^ {i} = y ^ {j}}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle V}$

Ważnymi pojęciami bezpośrednio związanymi z operatorami między skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi są pojęcia rzędu , wyznacznik , operator odwrotny i przestrzeń własna .

Operatory liniowe również odgrywają dużą rolę w przypadku nieskończeniewymiarowym. Pojęcia rangi i wyznacznika nie mogą być rozszerzone na macierze nieskończenie wymiarowe. Z tego powodu bardzo różne techniki są stosowane podczas badania operatorów liniowych (i ogólnie operatorów) w przypadku nieskończenie wymiarowym. Badanie operatorów liniowych w przypadku nieskończeniewymiarowym jest znane jako analiza funkcjonalna (nazywana tak, ponieważ różne klasy funkcji tworzą interesujące przykłady nieskończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych).

Przestrzeń ciągów liczb rzeczywistych, lub ogólniej ciągi wektorów w dowolnej przestrzeni wektorowej, same tworzą nieskończenie wymiarową przestrzeń wektorową. Najważniejszymi przypadkami są ciągi liczb rzeczywistych lub zespolonych, a przestrzenie te wraz z podprzestrzeniami liniowymi nazywamy przestrzeniami sekwencji . Operatory na tych przestrzeniach są znane jako przekształcenia sekwencji .

Ograniczone operatory liniowe nad przestrzenią Banacha tworzą algebrę Banacha w odniesieniu do normy operatora standardowego. Teoria algebr Banacha rozwija bardzo ogólną koncepcję widm, która w elegancki sposób uogólnia teorię przestrzeni własnych.

Ograniczeni operatorzy

Niech U i V będą dwiema przestrzeniami wektorowymi nad tym samym uporządkowanym ciałem (na przykład ) i są wyposażone w normy . Wtedy operator liniowy od U do V jest nazywany ograniczonym, jeśli istnieje C > 0 takie, że ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$

{\ Displaystyle \ | A \ mathbf {x} \ | _ {V} \ leq C \ | \ mathbf {x} \ | _ {U}}

dla wszystkich x w U .

Operatory ograniczone tworzą przestrzeń wektorową. Na tej przestrzeni wektorowej możemy wprowadzić normę zgodną z normami U i V :

{\ Displaystyle \ | A \ | = \ inf \ {C: \ | A \ mathbf {x} \ | _ {V} \ leq C \ | \ mathbf {x} \ | _ {U} \}}

.

W przypadku operatorów od U do siebie można wykazać, że

\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|

.

Każda algebra znormalizowana z jednostką z tą własnością nazywana jest algebrą Banacha . Możliwe jest uogólnienie teorii spektralnej na takie algebry. C*-algebry , które są algebrami Banacha z pewną dodatkową strukturą, odgrywają ważną rolę w mechanice kwantowej .

Przykłady

Geometria

W geometrii czasami badane są dodatkowe struktury w przestrzeniach wektorowych . Operatory, które mapują takie przestrzenie wektorowe do siebie bijektywnie, są bardzo przydatne w tych badaniach, w naturalny sposób tworzą grupy przez skład.

Na przykład operatory bijective zachowujące strukturę przestrzeni wektorowej są dokładnie odwracalnymi operatorami liniowymi . Tworzą ogólną grupę liniową w składzie. Oni nie tworzą przestrzeń wektorową pod dodaniu operatorów, np zarówno id i -id jest odwracalna (bijective), ale ich suma, 0, nie jest.

Operatory zachowujące metrykę euklidesową na takiej przestrzeni tworzą grupę izometryczną , a te, które ustalają początek, tworzą podgrupę znaną jako grupa ortogonalna . Operatory w grupie ortogonalnej, które również zachowują orientację krotek wektorowych, tworzą specjalną grupę ortogonalną lub grupę obrotów.

Teoria prawdopodobieństwa

Operatory są również zaangażowane w teorię prawdopodobieństwa, taką jak oczekiwanie , wariancja i kowariancja . Rzeczywiście, każda kowariancja jest w zasadzie iloczynem skalarnym; każda wariancja jest iloczynem skalarnym wektora z samą sobą, a zatem jest normą kwadratową; każde odchylenie standardowe jest normą (pierwiastek kwadratowy z normy kwadratowej); odpowiedni cosinus tego iloczynu skalarnego to współczynnik korelacji Pearsona ; wartość oczekiwana jest w zasadzie operatorem całkowym (używanym do pomiaru ważonych kształtów w przestrzeni).

Rachunek różniczkowy

Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej , rachunek jest badanie dwóch operatorów liniowych: the operator różnicowy , a operator Volterra . ${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} }{\ operatorname {d} t}}}$ ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {t}}$

Szereg Fouriera i transformata Fouriera

Transformata Fouriera jest przydatna w matematyce stosowanej, zwłaszcza w fizyce i przetwarzaniu sygnałów. To kolejny integralny operator; jest to przydatne głównie dlatego, że konwertuje funkcję w jednej (czasowej) dziedzinie na funkcję w innej (częstotliwości) dziedzinie, w sposób skutecznie odwracalny . Żadne informacje nie są tracone, ponieważ istnieje operator przekształcenia odwrotnego. W prostym przypadku funkcji okresowych wynik ten opiera się na twierdzeniu, że dowolną ciągłą funkcję okresową można przedstawić jako sumę szeregu fal sinusoidalnych i cosinusoidalnych:

{\ Displaystyle f (t) = {a_ {0} \ ponad 2} + \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ {n} \ cos (\ omega nt) + b_ {n} \ grzech (\omega nt)}}

Krotka ( a ₀ , a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ , …) jest w rzeczywistości elementem nieskończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej ℓ ² , a zatem szereg Fouriera jest operatorem liniowym.

Gdy mamy do czynienia z funkcją ogólną R → C , transformacja przyjmuje postać całkową :

{\ Displaystyle f (t) = {1 \ ponad {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {g (\ omega) e ^ {i \ omega t} \,d\omega }.}

Transformata Laplace'a

Laplace'a jest integralną innego operatora i jest zaangażowany w uproszczeniu proces rozwiązanie równań różniczkowych.

Biorąc pod uwagę f = f ( s ), jest ona określona przez:

{\ Displaystyle F (s) = {\ mathcal {L}} \ {f \} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} f (t) \ dt.}

Operatory podstawowe na polach skalarnych i wektorowych

Kluczem do rachunku wektorowego są trzy operatory :

Grad ( gradient ), (z symbolem operatora ) przypisuje wektor w każdym punkcie pola skalarnego, który wskazuje w kierunku największej szybkości zmian tego pola i którego norma mierzy wartość bezwzględną tego największego tempa zmian. $\nabla$
Div ( dywergencja ), (z symbolem operatora ) to operator wektorowy, który mierzy rozbieżność pola wektorowego od lub zbieżność do danego punktu. ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot}$
Curl , (z symbolem operatora ) jest operatorem wektorowym, który mierzy trend zwijania się pola wektorowego (zawijanie się, obracanie) wokół danego punktu. ${\ Displaystyle \ nabla \ razy}$

Jako rozszerzenie operatorów rachunku wektorowego na fizykę, inżynierię i przestrzenie tensorowe, operatory grad, div i curl są również często kojarzone z rachunkiem tensorowym, a także rachunkiem wektorowym.

Languages

In other projects