Oczyszczanie stanu kwantowego - Purification of quantum state

W mechanice kwantowej , zwłaszcza w informacjach kwantowych , oczyszczanie odnosi się do faktu, że każdy stan mieszany działający na skończenie wymiarowe przestrzenie Hilberta można postrzegać jako stan zredukowany pewnego stanu czystego.

W czysto liniowych terminach algebraicznych można to postrzegać jako stwierdzenie o macierzach dodatnio-półskończonych .

Komunikat

Niech będzie macierzą gęstości działającą na przestrzeni Hilberta o skończonym wymiarze n . Wtedy możliwe jest skonstruowanie drugiej przestrzeni Hilberta i czystego stanu takiego, który jest częściowym śladem względem . Chociaż początkowa przestrzeń Hilberta może odpowiadać fizycznie znaczącym wielkościom, druga przestrzeń Hilberta nie musi mieć żadnej fizycznej interpretacji. Jednak w fizyce przyjmuje się, że proces oczyszczania stanu jest fizyczny, a więc druga przestrzeń Hilberta powinna również odpowiadać przestrzeni fizycznej, takiej jak środowisko. Dokładna forma w takich przypadkach będzie zależała od problemu. Oto dowód zasady , pokazujący, że przynajmniej musi mieć wymiary większe lub równe . ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle H_ {A}}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle \ in H_ {A} \ otimes H_ {B}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle \ langle \ psi |}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {A}}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {A}}$

Mając na uwadze te stwierdzenia, jeśli

${\ displaystyle \ operatorname {tr_ {B}} \ lewo (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | \ prawej) = \ rho,}$

mówimy, że oczyszcza . ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ rho}$

Dowód

Macierz gęstości jest z definicji dodatnia, częściowo skończona. Zatem ρ może być przekątne i zapisane na jakiejś podstawie . Niech będzie kolejną kopią n- wymiarowej przestrzeni Hilberta o podstawie ortonormalnej . Zdefiniuj według ${\ displaystyle \ rho = \ suma _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} | i \ rangle \ langle i |}$ ${\ displaystyle \ {| i \ rangle \}}$${\ displaystyle H_ {B}}$ ${\ displaystyle \ {| i '\ rangle \}}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle \ in H_ {A} \ otimes H_ {B}}$

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ suma _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} | i \ rangle \ otimes | i '\ rangle.}$

Bezpośrednie obliczenia dają

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {tr_ {B}} \ lewo (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | \ prawej) & = \ operatorname {tr_ {B}} \ lewo [\ lewo (\ sum _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} | i \ rangle \ otimes | i '\ rangle \ right) \ left (\ sum _ {j} {\ sqrt {p_ {j}}} \ langle j | \ otimes \ langle j '| \ right) \ right] \\ & = \ nazwa operatora {tr_ {B}} \ left (\ sum _ {i, j} {\ sqrt {p_ {i} p_ {j} }} | i \ rangle \ langle j | \ otimes | i '\ rangle \ langle j' | \ right) \\ & = \ sum _ {i, j} \ delta _ {ij} {\ sqrt {p_ {i } p_ {j}}} | i \ rangle \ langle j | \\ & = \ sum _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} ^ {2} | i \ rangle \ langle i | \\ & = \ rho. \ end {aligned}}}$

To potwierdza roszczenie.

Uwaga

• Oczyszczanie nie jest unikalne, ale jeśli w trakcie budowy w dowodzie powyżej jest wytwarzana jedynie przez , dla których nie jest zero, innego oczyszczania w indukuje isometry taki sposób, że . ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle \ {| i '\ rangle \}}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ Displaystyle | \ varphi \ rangle}$${\ displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {C}}$ ${\ displaystyle V: H_ {B} \ do H_ {C}}$${\ Displaystyle | \ varphi \ rangle = (ja \ otimes V) | \ psi \ rangle}$
• Czysty stan wektorowy ma postać określoną przez rozkład Schmidta . ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$
• Ponieważ dekompozycje pierwiastka kwadratowego dodatniej macierzy półskończonej nie są unikalne, nie są też takie oczyszczenia.
• W kategoriach algebraicznych liniowych, macierz kwadratowa jest dodatnia, częściowo skończona wtedy i tylko wtedy, gdy można ją oczyścić w powyższym sensie. Jeśli część dorozumiany wynika bezpośrednio z faktu, że częściowy ślad pozytywnej mapie nadal stanowi pozytywny map .

Aplikacja: twierdzenie Stinespringa

Łącząc twierdzenie Choi na całkowicie dodatnich mapach i oczyszczaniu stanu mieszanego, możemy odzyskać twierdzenie o dylatacji Stinespringa dla przypadku skończonego wymiaru.