Quasilinear użyteczność - Quasilinear utility

W ekonomii i teorii konsumenta , quasilinear użytkowe funkcje są liniowe w jednym argumentem, ogólnie w numeraire . Preferencje quasilinear mogą być reprezentowane przez funkcję użyteczności, gdzie jest ściśle wklęsła . Użyteczną własnością quasilinearnej funkcji użyteczności jest to, że popyt na Marshalla / Walrasa nie zależy od bogactwa, a zatem nie podlega efektowi bogactwa ; Brak efektu bogactwa upraszcza analizę i sprawia, że ​​quasilinearne funkcje użyteczności są powszechnym wyborem do modelowania. Ponadto, gdy użyteczność jest quasilinear, zmienność kompensacyjna (CV), zmienność równoważna (EV) i nadwyżka konsumenta są algebraicznie równoważne. W konstrukcji mechanizmu quasilinear użyteczność zapewnia, że ​​agenci mogą kompensować się nawzajem płatnościami dodatkowymi. ${\ Displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {1} + \ theta (x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$

Definicja pod względem preferencji

Preferencji relacja jest quasilinear względem towaru 1 (zwana w tym przypadku numeraire towarowej) jeżeli: ${\ displaystyle \ succsim}$

• Wszystkie zbiory obojętności są równoległymi przemieszczeniami względem siebie wzdłuż osi towaru 1. Oznacza to, że jeśli pakiet „x” jest obojętny na pakiet „y” (x ~ y), to ${\ Displaystyle \ lewo (x + \ alfa e_ {1} \ prawo) \ sim \ lewo (y + \ alfa e_ {1} \ prawo), \ forall \ alpha \ in \ mathbb {R}, e_ {1} = \ lewo (1,0, ..., 0 \ prawo)}$
• Dobre 1 jest pożądane; to jest,${\ Displaystyle \ lewo (x + \ alfa e_ {1} \ prawo) \ succ \ lewo (x \ prawo), \ forall \ alfa> 0}$

Innymi słowy: relacja preferencji jest quasilinear, jeśli istnieje jeden towar, zwany numeraire, który przesuwa krzywe obojętności na zewnątrz w miarę wzrostu jego konsumpcji, bez zmiany ich nachylenia.

W przypadku dwuwymiarowym krzywe obojętności są równoległe ; co jest przydatne, ponieważ całą funkcję użyteczności można wyznaczyć z jednej krzywej obojętności.

Definicja w kategoriach funkcji użytkowych

Funkcja użyteczności jest quasilinear w towarze 1, jeśli ma postać

${\ Displaystyle u \ lewo (x_ {1}, \ kropki, x_ {L} \ prawej) = x_ {1} + \ theta \ lewo (x_ {2}, ..., x_ {L} \ prawo)}$

gdzie jest dowolna funkcja. W przypadku dwóch towarów może to być np.${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle u \ lewo (x, y \ prawej) = x + {\ sqrt {y}}.}$

Forma quasilinear jest wyjątkowa, ponieważ popyt na wszystkie dobra konsumpcyjne z wyjątkiem jednego zależy tylko od cen, a nie od dochodu. Np. Z dwoma towarami o cenach p _x = 1 i p _y , jeśli

${\ Displaystyle u (x, y) = x + \ theta (y)}$

następnie maksymalizując użyteczność z zastrzeżeniem, że zapotrzebowanie na dwa dobra sumuje się do danego poziomu dochodu, popyt na y wyprowadza się z równania

${\ displaystyle \ theta ^ {\ prime} (r) = p_ {y}}$

więc

${\ Displaystyle y (p, ja) = (\ teta ^ {\ pierwsza}) ^ {- 1} (p_ {y}),}$

która jest niezależna od dochodów I .

Pośrednie narzędzie funkcja jest w tym przypadku

${\ Displaystyle v (p, ja) = v (p) + ja,}$

co jest szczególnym przypadkiem formy polarnej Gormana .

Równoważność definicji

Te kardynalne i porządkowe definicje są równoważne w przypadku wypukła zbioru konsumpcyjnego z ciągłych preferencji, które są lokalnie nie syci w pierwszym argumencie.

Zobacz też

• Funkcja quasiconvex
• Liniowa funkcja użyteczności - szczególny typ quasilinearnej funkcji użyteczności.

Bibliografia