Promień bezwładności - Radius of gyration

Promień bezwładności lub gyradius korpusu wokół osi obrotu, jest określona jako odległość radialna do punktu, które mają moment bezwładności, tak samo jak ciała rzeczywistego rozkładu masy, jeżeli łączna masa ciała były nie zatężono.

Matematycznie promień z wirowania jest średniej kwadratowej odległości w części obiektu z obu jej środka ciężkości lub danej osi, w zależności od danego zastosowania. W rzeczywistości jest to prostopadła odległość od masy punktowej do osi obrotu. Trajektorię poruszającego się punktu można przedstawić jako ciało. Następnie promień bezwładności może być użyty do scharakteryzowania typowej odległości przebytej przez ten punkt.

Załóżmy, że ciało składa się z cząstek, z których każda ma masę . Niech będą ich prostopadłe odległości od osi obrotu. Wtedy moment bezwładności ciała względem osi obrotu wynosi ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m}$${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\kropki,r_{n}}$${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle I = m_ {1}r_ {1} {2} + m_ {2} r_ {2} {2} + \ cdots + m_ {n} r_ {n} ^ {2}}$

Jeżeli wszystkie masy są takie same ( ), to moment bezwładności wynosi . ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle I = m (r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} + \ cdots + r_ {n} ^ {2})}$

Ponieważ ( będąc całkowitą masą ciała), ${\ Displaystyle m = M/n}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle I = M (r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} + \ cdots + r_ {n} ^ {2}) / n}$

Z powyższych równań mamy

${\ Displaystyle MR_ {g} ^ {2} = M (r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} + \ cdots + r_ {n} ^ {2}) / n}$

Promień bezwładności jest średnią kwadratową odległością cząstek od wzoru osi

${\ Displaystyle R_ {g} ^ {2} = (r_ {1} ^ {2} + r_ ^ {2} + \ cdots + r_ {n} ^ {2}) / n}$

Dlatego promień bezwładności ciała wokół danej osi może być również zdefiniowany jako średnia kwadratowa odległość różnych cząstek ciała od osi obrotu. Jest również znany jako miara rozłożenia masy obracającego się sztywnego ciała wokół jego osi obrotu.

Zastosowania w inżynierii budowlanej

W inżynierii budowlanej dwuwymiarowy promień bezwładności jest używany do opisania rozkładu pola przekroju poprzecznego w kolumnie wokół jej osi środka ciężkości z masą ciała. Promień bezwładności określa wzór:

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g}} ^ {2} = {\ Frac {I} {A}}}$

lub

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g}} = {\ sqrt {\ Frac {I} {A}}}}$

Gdzie jest drugi moment pola i jest całkowitym polem przekroju. ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle A}$

Promień bezwładności jest przydatny do szacowania sztywności słupa. Jeśli główne momenty dwuwymiarowego tensora bezwładności nie są równe, słup będzie miał tendencję do wyboczenia wokół osi z mniejszym głównym momentem. Na przykład słup o przekroju eliptycznym będzie miał tendencję do wyboczenia w kierunku mniejszej półosi.

W inżynierii , gdzie na ogół przedmiotem badań są ciągłe ciała materii, promień bezwładności jest zwykle obliczany jako całka.

Zastosowania w mechanice

Promień bezwładności wokół danej osi ( ) można obliczyć jako masowy moment bezwładności wokół tej osi i masę całkowitą m ; ${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\tekst {oś}}}}$ ${\displaystyle I_{\tekst{oś}}}$

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g} {\ tekst {oś}}} ^ {2} = {\ Frac {I_ {\ tekst {oś}}} {m}}}$

lub

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g} {\ tekst {oś}}} = {\ sqrt {\ Frac {I_ {\ tekst {oś}}} {m}}}}$

${\displaystyle I_{\tekst{oś}}}$jest skalarem , a nie momentem tensora bezwładności .

Zastosowania molekularne

W fizyce polimerów promień bezwładności jest używany do opisu wymiarów łańcucha polimerowego . Promień bezwładności danej cząsteczki w określonym czasie definiuje się jako:

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g}} ^ {2} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {k = 1} ^ {N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {średnia} }\right)^{2}}$

gdzie jest średnia pozycja monomerów. Jak opisano poniżej, promień bezwładności jest również proporcjonalny do średniej kwadratowej odległości między monomerami: ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {\ operatorname {średnia}}}$

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g}} ^ {2} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ {\ Frac {1} {2N ^ {2}}} \ suma _ {i ,j}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right)^{2}}$

Jako trzecią metodę, promień bezwładności można również obliczyć, sumując główne momenty tensora bezwładności .

Ponieważ konformacje łańcucha próbki polimeru są quasi nieskończone pod względem liczby i stale zmieniają się w czasie, „promień bezwładności” omawiany w fizyce polimerów należy zwykle rozumieć jako średnią dla wszystkich cząsteczek polimeru w próbce i w czasie. To znaczy promień bezwładności, który jest mierzony jako średnia w czasie lub zespół :

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g} } ^ {2} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ {\ Frac {1} {N}} \ lewo \ langle \ suma _ {k =1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {średnia} }\right)^{2}\right\rangle }$

gdzie nawiasy kątowe oznaczają średnią zbiorową . ${\ Displaystyle \ langle \ ldots \ rangle}$

Sterowany entropowo łańcuch polimerowy (tj. w tak zwanych warunkach theta) przebiega losowo w trzech wymiarach. Promień bezwładności dla tego przypadku jest określony wzorem

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g} } = {\ Frac {1} {{\ sqrt {6}} \ }} \ {\ sqrt {N}} \ a}$

Należy zauważyć, że chociaż reprezentuje długość konturu polimeru, jest silnie zależna od sztywności polimeru i może zmieniać się o rzędy wielkości. jest odpowiednio zmniejszona. ${\displaystyle aN}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle N}$

Jednym z powodów, dla których promień bezwładności jest interesującą właściwością, jest to, że można go wyznaczyć doświadczalnie przy użyciu statycznego rozpraszania światła, jak również przy małym kącie rozpraszania neutronów i promieniowania rentgenowskiego . Pozwala to teoretycznym fizykom polimerów na sprawdzenie swoich modeli z rzeczywistością. Promień hydrodynamiczny jest liczbowo podobne, i może być zmierzone z dynamicznego rozpraszania światła (DLS).

Pochodzenie tożsamości

Aby pokazać, że obie definicje są identyczne, najpierw mnożymy summan w pierwszej definicji: ${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g} } ^ {2}}$

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g}} ^ {2} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {k = 1} ^ {N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {średnia} }\right)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _ {k=1}^{N}\left[\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {r} _{\mathrm {średnia} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {średnia} }-2\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {średnia} }\prawo]}$

Dokonując zsumowania dwóch ostatnich terminów i posługując się definicją daje wzór ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {\ operatorname {średnia}}}$

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g} } ^ {2} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ - \ mathbf {r} _ {\ operatorname {średnia}} \ cdot \ mathbf { r} _{\mathrm {średnia} }+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf { r} _{k}\prawo)}$

Zastosowania w analizie danych geograficznych

W analizie danych promień bezwładności służy do obliczania wielu różnych statystyk, w tym rozmieszczenia lokalizacji geograficznych. Te lokalizacje zostały niedawno zebrane od użytkowników mediów społecznościowych w celu zbadania typowych wzmianek o użytkowniku. Może to być przydatne do zrozumienia, w jaki sposób określona grupa użytkowników w mediach społecznościowych korzysta z platformy.

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {g}} = {\ sqrt {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} (r_ {i}-r_ {C}) ^ {2} }{\suma _{i=1}^{N}m_{i}}}}}$

Uwagi

Bibliografia

• Grosberg AY i Khokhlov AR. (1994) Statystyczna fizyka makrocząsteczek (przetłumaczone przez Atanova YA), AIP Press. ISBN  1-56396-071-0
• Flory PJ. (1953) Principles of Polymer Chemistry , Cornell University, s. 428-429 (Załącznik C rozdziału X).