Ekranowane równanie Poissona - Screened Poisson equation

W fizyce The przesiewa równanie Poissona jest równanie Poissona , który pojawia się (na przykład) Równanie Klein-Gordon , pole elektryczne przesiewowych w plazmie i nielokalne granulowany płynność w ziarnistej przepływu .

Sformułowanie równania

Równanie jest takie

${\ Displaystyle \ lewo [\ Delta - \ lambda ^ {2} \ prawo] u (\ mathbf {r}) = - f (\ mathbf {r}),}$

gdzie jest operatorem Laplace'a , λ jest stałą wyrażającą „ekranowanie”, f jest dowolną funkcją położenia (znaną jako „funkcja źródłowa”), a u jest funkcją, która ma zostać określona. ${\ displaystyle \ Delta}$

W przypadku jednorodnym (f = 0) ekranowane równanie Poissona jest takie samo jak niezależne od czasu równanie Kleina – Gordona . W przypadku niejednorodności ekranowane równanie Poissona jest bardzo podobne do niejednorodnego równania Helmholtza , jedyną różnicą jest znak w nawiasach.

Rozwiązania

Trzy wymiary

Bez utraty ogólności przyjmiemy, że λ jest nieujemne. Kiedy λ wynosi zero , równanie sprowadza się do równania Poissona . Dlatego, gdy λ jest bardzo mała, rozwiązanie zbliża się do nieekranowanego równania Poissona, które w wymiarze jest superpozycją 1 / r funkcji ważonych funkcją źródłową f : ${\ displaystyle n = 3}$

${\ Displaystyle u (\ mathbf {r}) _ {({\ tekst {Poisson}})} = \ iiint \ mathrm {d} ^ {3} r '{\ Frac {f (\ mathbf {r}') } {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}}.}$

Z drugiej strony, gdy λ jest wyjątkowo duże, u zbliża się do wartości f / λ² , która zbliża się do zera, gdy λ dąży do nieskończoności. Jak zobaczymy, rozwiązanie dla wartości pośrednich λ zachowuje się jak superpozycja ekranowanych (lub tłumionych) funkcji 1 / r , przy czym λ zachowuje się jak siła rastrowania.

Ekranowane równanie Poissona można rozwiązać dla ogólnego f przy użyciu metody funkcji Greena . Funkcja G Greena jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ lewo [\ Delta - \ lambda ^ {2} \ prawej] G (\ mathbf {r}) = - \ delta ^ {3} (\ mathbf {r}),}$

gdzie δ ³ jest funkcją delta z jednostkową masą skoncentrowaną na początku R ³ .

Zakładając, że u i jego pochodne znikają przy dużym r , możemy wykonać ciągłą transformatę Fouriera we współrzędnych przestrzennych:

${\ Displaystyle G (\ mathbf {k}) = \ iiint \ mathrm {d} ^ {3} r \; G (\ mathbf {r}) e ^ {- ja \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r }}}$

gdzie całka przejmuje całą przestrzeń. Można to łatwo pokazać

${\ Displaystyle \ lewo [k ^ {2} + \ lambda ^ {2} \ prawo] G (\ mathbf {k}) = 1.}$

Funkcja Greena w r jest zatem dana przez odwrotną transformatę Fouriera,

${\ Displaystyle G (\ mathbf {r}) = {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {3}}} \; \ iiint \ mathrm {d} ^ {3} \! k \; {\ frac {e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}} {k ^ {2} + \ lambda ^ {2}}}.}$

Całkę tę można obliczyć za pomocą współrzędnych sferycznych w k- przestrzeni. Całkowanie po współrzędnych kątowych jest proste, a całka redukuje się do jednej po radialnej liczbie falowej : ${\ displaystyle k_ {r}}$

${\ Displaystyle G (\ mathbf {r}) = {\ Frac {1} {2 \ pi ^ {2} r}} \; \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} k_ { r} \; {\ frac {k_ {r} \, \ sin k_ {r} r} {k_ {r} ^ {2} + \ lambda ^ {2}}}.}$

Można to ocenić za pomocą całkowania konturu . Wynik to:

${\ Displaystyle G (\ mathbf {r}) = {\ Frac {e ^ {- \ lambda r}} {4 \ pi r}}.}$

Rozwiązanie pełnego problemu jest wtedy podane przez

${\ Displaystyle u (\ mathbf {r}) = \ int \ mathrm {d} ^ {3} r'G (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') f (\ mathbf {r}') = \ int \ mathrm {d} ^ {3} r '{\ frac {e ^ {- \ lambda | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} f (\ mathbf {r}').}$

Jak stwierdzono powyżej, jest to superpozycja ekranowanych funkcji 1 / r , ważonych funkcją źródłową f iz λ działającym jako siła ekranu. Ekranowana funkcja 1 / r jest często spotykana w fizyce jako ekranowany potencjał Coulomba, zwany także „ potencjałem Yukawy ”.

Dwa wymiary

W dwóch wymiarach: W przypadku namagnesowanej plazmy, ekranowane równanie Poissona jest quasi-2D:

${\ Displaystyle \ lewo (\ Delta _ {\ perp} - {\ Frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ prawej) u (\ mathbf {r} _ {\ perp}) = - f (\ mathbf {r} _ {\ perp})}$

z i , z polem magnetycznym i jest promieniem (jonu) Larmora . Dwuwymiarowa transformata Fouriera powiązanej funkcji Greena to: ${\ displaystyle \ Delta _ {\ perp} = \ nabla \ cdot \ nabla _ {\ perp}}$${\ Displaystyle \ nabla _ {\ perp} = \ nabla - {\ Frac {\ mathbf {B}} {B}} \ cdot \ nabla}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle G (\ mathbf {k _ {\ perp}}) = \ iint d ^ {2} r ~ G (\ mathbf {r} _ {\ perp}) e ^ {- ja \ mathbf {k} _ { \ perp} \ cdot \ mathbf {r} _ {\ perp}}.}$

Równanie Poissona z ekranem 2D daje:

${\ Displaystyle \ lewo (k _ {\ perp} ^ {2} + {\ Frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ prawej) G (\ mathbf {k} _ {\ perp}) = 1}$ .

Dlatego funkcję Greena daje odwrotna transformata Fouriera :

${\ Displaystyle G (\ mathbf {r} _ {\ perp}) = {\ Frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} \; \ iint \ mathrm {d} ^ {2} \! k \ ; {\ frac {e ^ {i \ mathbf {k} _ {\ perp} \ cdot \ mathbf {r} _ {\ perp}}} {k _ {\ perp} ^ {2} + 1 / \ rho ^ { 2}}}.}$

Całkę tę można obliczyć za pomocą współrzędnych biegunowych w przestrzeni k :

${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ perp} = (k_ {r} \ cos (\ teta), k_ {r} \ sin (\ teta))}$

Całkowanie po współrzędnej kątowej daje funkcję Bessela , a całka redukuje się do jednej po radialnej liczbie falowej : ${\ displaystyle k_ {r}}$

${\ Displaystyle G (\ mathbf {r} _ {\ perp}) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \; \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} k_ { r} \; {\ frac {k_ {r} \, J_ {0} (k_ {r} r _ {\ perp})} {k_ {r} ^ {2} + 1 / \ rho ^ {2}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} K_ {0} (r _ {\ perp} \, / \, \ rho).}$

Zobacz też

• Interakcja Yukawa

Bibliografia