Operator zmiany - Shift operator

W matematyce , w szczególności analizy funkcjonalnej The operatora przesunięcia znany również jako operatora translacji jest operator, który wykonuje funkcje x ↦ f ( x ) na jej translacji x ↦ f ( x + a ) . W analizie szeregów czasowych operator przesunięcia nazywany jest operatorem zwłoki .

Operatory przesunięcia są przykładami operatorów liniowych , ważnych ze względu na ich prostotę i naturalność występowania. Działanie operatora przesunięcia na funkcji zmiennej rzeczywistej odgrywa ważną rolę w analizie harmonicznej , na przykład, wydaje się w definicjach prawie okresowych funkcji , funkcja dodatnio określona , pochodnych oraz splotu . Przesunięcia ciągów (funkcje zmiennej całkowitej) pojawiają się w różnych obszarach, takich jak przestrzenie Hardy'ego , teoria odmian abelowych i teoria dynamiki symbolicznej , dla których mapa piekarza jest wyraźną reprezentacją.

Definicja

Funkcje zmiennej rzeczywistej

Operator przesunięcia T ^t (gdzie t ∈ R ) przyjmuje funkcję f na R do jej przesunięcia f _t ,

${\ Displaystyle T ^ {t} f (x) = f_ {t} (x) = f (x + t) ~.}$

Praktyczna reprezentacja rachunku operacyjnego operatora liniowego T ^t w postaci prostej pochodnej re/dxzostał wprowadzony przez Lagrange ,

które można zinterpretować operacyjnie poprzez formalne rozwinięcie Taylora w t ; i którego działanie na jednomian x ⁿ wynika z twierdzenia dwumianowego , a więc na wszystkie szeregi w x , a więc wszystkie funkcje f ( x ) jak wyżej. Jest to zatem formalne kodowanie rozwinięcia Taylora w rachunku Heaviside'a.

W ten sposób operator dostarcza prototyp słynnego przepływu adwekcyjnego Lie dla grup abelowych ,

${\ Displaystyle e ^ {t \ beta (x) {\ Frac {d} {dx}}} f (x) = e ^ {t {\ Frac {d} {dh}}} F (h) = F ( h+t)=f\lewo(h^{-1}(h(x)+t)\prawo),}$

gdzie współrzędne kanoniczne h ( funkcje Abla ) są zdefiniowane tak, że

${\displaystyle h'(x)\equiv {\frac{1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equivf(h(x)).}$

Na przykład łatwo wynika, że daje skalowanie, ${\ Displaystyle \ beta (x) = x}$

${\ Displaystyle e ^ {tx {\ Frac {d} {dx}}} f (x) = f (e ^ {t} x)}$

stąd (parzystość); podobnie plonuje ${\ Displaystyle e ^ {i \ pi x {\ Frac {d} {dx}}} f (x) = f (-x)}$${\ Displaystyle \ beta (x) = x ^ {2}}$

${\ Displaystyle e ^ {tx ^ {2} {\ Frac {d} {dx}}} f (x) = f \ lewo ({\ Frac {x} {1-tx}} \ prawej)}$

${\ Displaystyle \ beta (x) = 1 / x}$ plony

${\ Displaystyle e ^ {{\ Frac {t} {x}} {\ Frac {d} {dx}}} f (x) = f \ lewo ({\ sqrt {x ^ {2} + 2 t}}} \ dobrze),}$

${\ Displaystyle \ beta (x) = e ^ {x}}$ plony

${\ Displaystyle \ exp \ lewo (te ^ {x} {\ Frac {d} {dx}} \ prawej) f (x) = f \ lewo (\ ln \ lewo ({\ Frac {1} {e ^ {) -x}-t}}\prawo)\prawo),}$

itp.

Warunek początkowy przepływu i właściwość grupy całkowicie determinują cały przepływ Liego, zapewniając rozwiązanie równania funkcyjnego translacji

${\ Displaystyle f_ {t} (f_ {\ tau} (x)) = f_ {t + \ tau} (x).}$

Sekwencje

Przesunięcie w lewo Operator działa na jednostronne nieskończoną sekwencji liczb o

${\ Displaystyle S ^ {*}: (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots) \ mapsto (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, \ ldots)}$

i na dwustronnych nieskończonych ciągach przez

${\ Displaystyle T: (a_ {k}) _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ mapsto (a_ {k + 1}) _ {k = - \ infty} ^ {\ infty}.}$

Prawy shift operator działa na jednostronne nieskończony ciąg liczb przez

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots)\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots)}$

i na dwustronnych nieskończonych ciągach przez

${\ Displaystyle T ^ {-1}: (a_ {k}) _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ mapsto (a_ {k-1}) _ {k = - \ infty} ^ {\ infty }.}$

Operatory przesunięcia w prawo iw lewo działające na dwustronnych ciągach nieskończonych nazywane są przesunięciami dwustronnymi .

Grupy abelowe

Ogólnie, jak pokazano powyżej, jeśli F jest funkcją na grupie abelowej G , a h jest elementem G , operator przesunięcia T ^g odwzorowuje F na

${\ Displaystyle F_ {g} (h) = F (h + g).}$

Właściwości operatora zmiany

Operator przesunięcia działający na funkcje lub ciągi o wartościach rzeczywistych lub zespolonych jest operatorem liniowym, który zachowuje większość standardowych norm występujących w analizie funkcjonalnej. Dlatego jest to zwykle operator ciągły z jednym normalnym.

Akcja na polach Hilberta

Operator przesunięcia działający na sekwencjach dwustronnych jest operatorem unitarnym na ℓ ₂ ( Z ) . Operator przesunięcia działający na funkcje zmiennej rzeczywistej jest operatorem unitarnym na L ₂ ( R ) .

W obu przypadkach operator zmiany (w lewo) spełnia następującą zależność komutacji z transformatą Fouriera:

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} T ^ {t} = M ^ {t} {\ mathcal {F}}}$

gdzie M ^t jest operatorem mnożenia przez exp(i t x ) . Dlatego widmo T ^t jest kołem jednostkowym.

Przesunięcie jednostronne S działające na ℓ ₂ ( N ) jest odpowiednią izometrią o zasięgu równym wszystkim wektorom zanikającym w pierwszej współrzędnej . Operator S jest kompresja z T ^-1 , w tym sensie, że

${\ Displaystyle T ^ {-1} y = Sx {\ tekst {dla każdego}} x \ w \ ^ {2} (\ mathbb {N}), \,}$

gdzie y jest wektorem w ℓ ₂ ( Z ) gdzie y _i  =  x _i dla i  ≥ 0 oraz y _i  =  0 dla i  < 0 . Ta obserwacja leży u podstaw konstrukcji wielu jednostkowych dylatacji izometrii.

Widmo S to dysk jednostkowy. Przesunięcie S jest jednym z przykładów operatora Fredholma ; ma indeks Fredholma -1.

Uogólnienie

Jean Delsarte wprowadził pojęcie uogólnionego operatora zmiany (nazywanego również uogólnionym operatorem przemieszczenia ); został dalej rozwinięty przez Borisa Levitana .

Rodzina operatorów { L ^x } _{x ∈ X} działających na przestrzeni Φ funkcji ze zbioru X do C nazywana jest rodziną uogólnionych operatorów przesunięcia, jeśli zachodzą następujące własności:

1. Łączność: niech ( R ^y f )( x ) = ( L ^x f )( y ) . Wtedy L ^x R ^y = R ^y L ^x .
2. Istnieje E w X takich, że L ^e jest operatorem tożsamości.

W tym przypadku zbiór X nazywamy hipergrupą .

Zobacz też

• Przesunięcie arytmetyczne
• Przesunięcie logiczne
• Skończona różnica

Uwagi

Bibliografia

• Partington, Jonathan R. (15 marca 2004). Operatory i systemy liniowe . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. doi : 10.1017/cbo9780511616693 . Numer ISBN 978-0-521-83734-7.
• Marvin Rosenblum i James Rovnyak, Klasy Hardy'ego i teoria operatorów , (1985) Oxford University Press.