Wygładzony ośmiokąt - Smoothed octagon

Wygładzony ośmiokąt.

Rodzina maksymalnie gęstych wypełnień wygładzonego ośmiokąta.

Wygładzone ośmiokąt jest regionem w płaszczyźnie znaleźć Karl Reinhardt w 1934 roku i przez niego conjectured mieć najniższą maksymalną gęstość upakowania na płaszczyźnie wszystkich centralnie symetryczne wypukłe kształty. Został on również niezależnie odkryty przez Kurta Mahlera w 1947 roku. Został skonstruowany poprzez zastąpienie narożników ośmiokąta foremnego odcinkiem hiperboli, który jest styczny do dwóch boków sąsiadujących z rogiem i asymptotyczny do boków sąsiadujących z nimi.

Budowa

Narożniki wygładzonego ośmiokąta można znaleźć, obracając trzy regularne ośmioboki, których środki tworzą trójkąt o stałej powierzchni.

Kształt wygładzonego ośmiokąta można wyprowadzić z jego opakowań, które umieszczają ośmiokąty w punktach trójkątnej siatki. Wymaganie, aby te wypełnienia miały tę samą gęstość, niezależnie od tego, jak krata i wygładzony ośmiokąt są obracane względem siebie, z kształtami, które pozostają w kontakcie z każdym sąsiednim kształtem, można wykorzystać do określenia kształtu narożników. Jedna z figur przedstawia trzy ośmiokąty, które obracają się, podczas gdy obszar trójkąta utworzonego przez ich środki pozostaje stały, utrzymując je jak najbliżej siebie. W przypadku zwykłych ośmiokątów czerwone i niebieskie kształty nakładałyby się na siebie, więc aby umożliwić postęp rotacji, rogi są przycinane do punktu leżącego w połowie odległości między ich środkami, tworząc wymaganą krzywą, która okazuje się hiperbolą.

Budowa wygładzonego ośmiokąta (kolor czarny), hiperboli stycznej (kolor czerwony) i asymptoty tej hiperboli (kolor zielony) oraz stycznych do hiperboli (kolor niebieski).

Hiperbola jest skonstruowana stycznie do dwóch boków ośmiokąta i asymptotyczna do dwóch sąsiadujących z nimi. Poniższe szczegóły dotyczą ośmiokąta foremnego o promieniu promienia, którego środek znajduje się w punkcie i jeden wierzchołek w punkcie . Dla dwóch stałych i , hiperbola jest określona równaniem ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle (2 + {\ sqrt {2}}, 0)}$ ${\ displaystyle (2,0)}$ ${\ displaystyle \ ell = {\ sqrt {2}} - 1}$ ${\ Displaystyle m = (1/2) ^ {1/4}}$

{\ Displaystyle \ ell ^ {2} x ^ {2} -y ^ {2} = m ^ {2}}

lub równoważna parametryzacja (tylko dla prawej gałęzi)

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = {\ Frac {m.} {\ ell}} \ cosh {t} \\ y & = m \ sinh {t} \\\ koniec {wyrównane}}}

dla części hiperboli tworzącej narożnik, określonej przez zakres wartości parametrów

{\ Displaystyle - {\ Frac {\ ln {2}} {4}} <t <{\ Frac {\ ln {2}} {4}}.}

Linie ośmiokąta styczne do hiperboli są , a linie asymptotyczne do hiperboli są po prostu . ${\ Displaystyle y = \ pm \ lewo ({\ sqrt {2}} + 1 \ prawo) \ lewo (x-2 \ prawo)}$ ${\ displaystyle y = \ pm \ ell x}$

Uszczelka

Wygładzony ośmiokąt ma maksymalną gęstość upakowania podaną przez

{\ Displaystyle {\ Frac {8-4 {\ sqrt {2}} - \ ln {2}} {2 {\ sqrt {2}} - 1}} \ około 0,902414 \ ,.}

Jest to mniej niż maksymalna gęstość upakowania okręgów , czyli

{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {\ sqrt {12}}} \ około 0,906899.}

Maksymalna znana gęstość upakowania zwykłego ośmiokąta foremnego wynosi

{\ Displaystyle {\ Frac {4 + 4 {\ sqrt {2}}} {5 + 4 {\ sqrt {2}}}} \ około 0,906163,}

również nieco mniej niż maksymalna gęstość upakowania okręgów, ale wyższa niż gęstość wygładzonego ośmiokąta.

Nierozwiązany problem w matematyce :

Czy wygładzony ośmiokąt jest centralnie symetrycznym kształtem o najniższej maksymalnej gęstości upakowania?

(więcej nierozwiązanych problemów matematycznych)

Wygładzony ośmiokąt osiąga maksymalną gęstość upakowania, nie tylko dla pojedynczego wypełnienia, ale dla rodziny 1-parametrowej. Wszystko to jest wypełnieniem kratownicowym . Przypuszczenie Reinhardta, że wygładzony ośmiokąt ma najniższą maksymalną gęstość upakowania ze wszystkich centralnie symetrycznych wypukłych kształtów w płaszczyźnie, pozostaje nierozwiązane. Jeśli centralna symetria nie jest wymagana, regularny siedmiokąt ma jeszcze mniejszą gęstość upakowania, ale jego optymalność również nie została udowodniona. W trzech wymiarach hipoteza Ulama dotycząca upakowania stwierdza, że żaden wypukły kształt nie ma niższej maksymalnej gęstości upakowania niż kulka.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Najcieńsze i najgęstsze opakowanie dwuwymiarowe? . Peter Scholl, 2001.

Languages

In other projects

Wygładzony ośmiokąt - Smoothed octagon

Zawartość

Budowa

Uszczelka

Bibliografia

Linki zewnętrzne