Krata (grupa) - Lattice (group)

Krata na płaszczyźnie euklidesowej .

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro wizerunek suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupa V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( Z ) Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, Z ) SL(2, Z ) Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór okrąg Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v t mi

W geometrii i teorii grup , A kraty w to podgrupa w grupie dodatków , które jest izomorficzny w dodatku grupy , i który rozciąga się rzeczywistą przestrzeń wektorową . Innymi słowy, dla każdej oparciu o podgrupa wszystkich kombinacji liniowych z całkowitych współczynników wektorów bazowych tworzy siatkę. Krata może być postrzegana jako regularne kafelkowanie przestrzeni przez prymitywną komórkę . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Kraty mają wiele istotnych zastosowań w czystej matematyce, szczególnie w połączeniu z algebrami Liego , teorią liczb i teorią grup. Pojawiają się one również w matematyce stosowanej w połączeniu z teorią kodowania , w kryptografii z powodu przypuszczalnej twardości obliczeniowej kilku problemów sieciowych i są wykorzystywane na różne sposoby w naukach fizycznych. Na przykład w materiałoznawstwie i fizyce ciała stałego sieć jest synonimem „szkieletu” struktury krystalicznej , trójwymiarowej tablicy regularnie rozmieszczonych punktów pokrywających się w szczególnych przypadkach z położeniem atomu lub cząsteczki w krysztale . Bardziej ogólnie, modele sieci są badane w fizyce , często przy pomocy technik fizyki obliczeniowej .

Rozważania i przykłady symetrii

Krata to grupa symetrii dyskretnej symetrii translacyjnej w n kierunkach. Wzór z tą siecią symetrii translacyjnej nie może mieć więcej, ale może mieć mniejszą symetrię niż sama sieć. Jako grupa (porzucająca swoją strukturę geometryczną) siatka jest skończenie generowaną wolną grupą abelową , a więc izomorficzną do . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$

Sieć w sensie trójwymiarowego układu regularnie rozmieszczonych punktów pokrywających się np. z pozycjami atomu lub cząsteczki w krysztale , lub ogólniej, orbitą działania grupy przy symetrii translacyjnej, jest translacją sieci translacji: a coset , który nie musi zawierać pochodzenia, a zatem nie musi być kratą w poprzednim znaczeniu.

Prostym przykładem kraty w jest podgrupa . Bardziej skomplikowane przykłady obejmują kratę E8 , która jest kratą w , oraz kratę Leech w . Okres kraty w to centralny do badania funkcji eliptycznych , opracowane w XIX wieku matematyki; uogólnia na wyższe wymiary w teorii funkcji abelowych . Kraty zwane kratami pierwiastkowymi są ważne w teorii prostych algebr Liego ; na przykład sieć E8 jest powiązana z algebrą Liego o tej samej nazwie. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {24}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Dzielenie przestrzeni według kraty

Typowa kraty w ten sposób posiada formę ${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ Lambda = \ lewo \ {\ lewo. \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} v_ {i} \; \ po prawej \ vert \; a_ {i} \ w \ mathbb { Z} \prawo\}}$

gdzie { v ₁ , ..., v _n } jest podstawą dla . Różne zasady generuje tą samą sieć krystaliczną, lecz wartość bezwzględna z determinantą wektorów v _i jest jednoznacznie określony przez X i jest oznaczona przez D (X). Jeśli pomyślimy o sieci jako dzielącej całość na równe wielościany (kopie n- wymiarowego równoległościanu , znanego jako podstawowy obszar sieci), to d(Λ) jest równe n- wymiarowej objętości tego wielościanu. To dlatego d(Λ) jest czasami nazywane kowalusem sieci. Jeśli to równa się 1, krata nazywana jest unimodular . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Punkty kratowe w zestawach wypukłych

Twierdzenie Minkowskiego wiąże liczbę d(Λ) i objętość symetrycznego zbioru wypukłego S z liczbą punktów sieci zawartych w S . Liczba punktów sieci zawartych w politopie, którego wszystkie wierzchołki są elementami sieci, jest opisana wielomianem Ehrharta . Wzory dla niektórych współczynników tego wielomianu obejmują również d(Λ).

Problemy z siecią obliczeniową

Problemy z sieciami obliczeniowymi mają wiele zastosowań w informatyce. Na przykład algorytm redukcji podstawy sieci Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) został wykorzystany w kryptoanalizie wielu schematów szyfrowania z kluczem publicznym, a wiele schematów kryptograficznych opartych na sieci jest znanych jako bezpieczne przy założeniu, że pewne problemy z siecią są trudne obliczeniowo .

Kraty w dwóch wymiarach: szczegółowe omówienie

Pięć siatek na płaszczyźnie euklidesowej

Istnieje pięć typów sieci 2D, jak podaje krystalograficzne twierdzenie o ograniczeniach . Poniżej grupa tapet siatki jest podana w notacji IUC , Orbifold i Coxeter wraz z diagramem tapety pokazującym domeny symetrii. Zauważ, że wzór z tą siecią symetrii translacyjnej nie może mieć więcej, ale może mieć mniejszą symetrię niż sama sieć. Dostępna jest pełna lista podgrup . Na przykład poniżej heksagonalna/trójkątna siatka jest podana dwukrotnie, z pełną 6-krotną i pół 3-krotną symetrią odbicia. Jeśli grupa symetrii wzoru zawiera n- krotną rotację, wówczas siatka ma n- krotną symetrię dla parzystego n i 2 n- krotnego dla nieparzystego n .

cmm, (2*22), [∞,2 + ,∞]	p4m, (*442), [4,4]	p6m, (*632), [6,3]
rombowa krata również wyśrodkowana prostokątna krata równoramienna trójkątna	kwadratowa krata równoramienna trójkątna	krata sześciokątna (krata trójkątna równoboczna)
pm, *2222, [∞,2,∞]	p2, 2222, [∞,2,∞] +	p3m1, (*333), [3 [3] ]
krata prostokątna również wyśrodkowana krata rombowa prawy trójkątny	krata równoległoboczna również skośna krata pochylna trójkątna	krata trójkątna równoboczna (sieć sześciokątna)

Dla klasyfikacji danej sieci zacznij od jednego punktu i weź najbliższy drugi punkt. Dla trzeciego punktu, nie na tej samej linii, rozważ jego odległości do obu punktów. Spośród punktów, dla których mniejsza z tych dwóch odległości jest najmniejsza, wybierz punkt, dla którego większa z nich jest najmniejsza. (Nie jest to logicznie równoważne, ale w przypadku krat daje ten sam wynik po prostu „Wybierz punkt, dla którego większa z nich jest najmniejsza”.)

Pięć przypadków odpowiada trójkątowi równobocznemu, równoramiennemu prawemu, prawemu, równoramiennemu i pochylonemu. W siatce rombowej najkrótsza odległość może być przekątną lub bokiem rombu, tj. odcinek linii łączący pierwsze dwa punkty może, ale nie musi, być jednym z równych boków trójkąta równoramiennego. Zależy to od tego, czy mniejszy kąt rombu jest mniejszy niż 60° lub między 60° a 90°.

Ogólny przypadek jest znany jako krata okresowa . Jeśli wektory p i q generują sieć, zamiast p i q możemy również wziąć p i p - q , itd. Ogólnie w 2D, możemy wziąć a p + b q i c p + d q dla liczb całkowitych a , b , c i d tak, że ad-bc wynosi 1 lub -1. Zapewnia to, że same p i q są całkowitymi kombinacjami liniowymi pozostałych dwóch wektorów. Każda para p , q definiuje równoległobok, wszystkie o tej samej powierzchni, wielkości iloczynu poprzecznego . Jeden równoległobok w pełni definiuje cały obiekt. Bez dalszej symetrii ten równoległobok jest podstawowym równoległobokiem .

Podstawowym domeny z okresu kraty .

Wektory p i q mogą być reprezentowane przez liczby zespolone. Do rozmiaru i orientacji para może być reprezentowana przez ich iloraz. Wyrażone geometrycznie: jeśli dwa punkty sieci to 0 i 1, rozważamy położenie trzeciego punktu sieci. Równoważność w sensie generowania tej samej sieci jest reprezentowana przez grupę modularną : reprezentuje wybór innego trzeciego punktu w tej samej siatce, reprezentuje wybór innej strony trójkąta jako strony odniesienia 0-1, co ogólnie oznacza zmianę skalowania kratę i obracając ją. Każdy „zakrzywiony trójkąt” na obrazie zawiera dla każdego kształtu sieci 2D jedną liczbę zespoloną, szary obszar jest reprezentacją kanoniczną, odpowiadającą powyższej klasyfikacji, z 0 i 1 dwoma punktami sieci, które są najbliżej siebie; unika się powielania poprzez uwzględnienie tylko połowy granicy. Kraty rombowe są reprezentowane przez punkty na jej granicy, z sześciokątną siatką jako wierzchołkiem, a i dla sieci kwadratowej. Kraty prostokątne znajdują się na wyobrażonej osi, a pozostały obszar reprezentuje kraty równoległoboczne, przy czym lustrzane odbicie równoległoboku jest reprezentowane przez lustrzane odbicie na wyobrażonej osi. ${\displaystyle T:z\mapsto z+1}$${\displaystyle S:z\mapsto -1/z}$

Kraty w trzech wymiarach

14 typów krat w 3D to kraty Bravaisa . Charakteryzują się swoją grupą przestrzenną . Wzory 3D z translacyjną symetrią określonego typu nie mogą mieć więcej, ale mogą mieć mniejszą symetrię niż sama siatka.

Kraty w złożonej przestrzeni

Krata w to dyskretna podgrupa, która obejmuje rzeczywistą przestrzeń wektorową. Ponieważ wymiar rzeczywistej przestrzeni wektorowej jest równy , krata w będzie wolną grupą abelową rzędu . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\displaystyle 2n}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\displaystyle 2n}$

Na przykład liczby całkowite Gaussa tworzą siatkę w , co jest podstawą ponad . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [i] = \ mathbb {Z} + ja \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {C} ^ {1}}$${\ Displaystyle (1,i)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

W grupach Lie

Bardziej ogólnie, kratownica Γ w grupie Lie G jest dyskretna podgrupy , tak że iloraz G / Γ jest skończoną środka do środka w odziedziczyła z Haar środka o G (w lewo o stałej lub prawej niezmienny-the definicja jest niezależna od tego wyboru). Tak będzie z pewnością w przypadku, gdy G /Γ jest zwarty , ale warunek wystarczający nie jest konieczny, jak pokazuje przypadek grupy modularnej w SL ₂ ( R ) , która jest siecią, ale gdzie iloraz nie jest zwarty (ma guzki ). Istnieją ogólne wyniki stwierdzające istnienie sieci w grupach Liego.

Mówi się, że sieć jest jednorodna lub współzwarta, jeśli G /Γ jest zwarta; w przeciwnym razie krata nazywana jest niejednolitą .

Kraty w ogólnych przestrzeniach wektorowych

Chociaż zwykle uważamy, że sieci w tej koncepcji można uogólnić na dowolną skończenie wymiarową przestrzeń wektorową nad dowolnym polem . Można to zrobić w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Niech K będzie pola , niech V być n wymiarową K - miejsca wektora LET być K - podstawę dla V i pozwolić R być pierścienia zawarta w K . Wtedy sieć R w V wygenerowana przez B jest dana wzorem: ${\ Displaystyle B = \ {\ mathbf {v} _ {1} \ ldots \ mathbf {v} _ {n} \}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ lewo \ {\ lewo. \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ \ prawo | a_ { i}\w R\prawo\}.}$

Ogólnie rzecz biorąc, różne bazy B będą generować różne sieci. Jednakże, jeśli matryca przejściowy T pomiędzy podstawami jest - w ogólnej grupy liniowe z R (w uproszczeniu oznacza to, że wszystkie wpisy T są w R , a wszystkie wpisy są R - co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że determinantę z T jest - z grupy jednostek elementów w R z multyplikatywnych odwrotności), a następnie, że siatki generowane przez te zasady będą izomorficzne od T wywołuje izomorfizm pomiędzy dwoma kraty. ${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (R)}$${\ Displaystyle T ^ {-1}}$${\ Displaystyle R ^ {*}}$

Ważne przypadkach takich krat występować teoretycznie liczba z K na str pole -adic i R do p -adic całkowitymi .

Dla przestrzeni wektorowej, która jest jednocześnie przestrzenią produktu wewnętrznego , sieć dualną można konkretnie opisać zbiorem

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {*} = \ {\ mathbf {v} \ w V \ mid \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {x} \ rangle \ w R \ {\ tekst { dla wszystkich }}\,\mathbf {x} \in {\mathcal {L}}\},}$

lub równoważnie jako

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {*} = \ {\ mathbf {v} \ w V \ mid \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {v} _ {i} \ rangle \ w R, \ i=1,...,n\}.}$

Powiązane pojęcia

• Pierwotny element sieci to element, który nie jest dodatnią całkowitą wielokrotnością innego elementu w sieci.

Zobacz też

• Krata (zamówienie)
• Krata (moduł)
• Odwrotna krata
• Krata jednomodułowa
• Kryształowy system
• Twierdzenie Mahlera o zwartości
• Wykres sieciowy
• Kryptografia sieciowa

Uwagi

Bibliografia

• Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Opakowania sferyczne , kraty i grupy , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, MR  0920369

Linki zewnętrzne

• Katalog krat (autorstwa Nebe i Sloane)