Geometria stochastyczna - Stochastic geometry

Możliwy model geometrii stochastycznej (model Boole'a) dla zasięgu sieci bezprzewodowej i łączności skonstruowany z dysków o losowych rozmiarach umieszczonych w losowych lokalizacjach

W matematyce geometria stochastyczna to badanie przypadkowych wzorów przestrzennych. Sednem tematu jest badanie losowych wzorców punktowych. Prowadzi to do teorii przestrzennych procesów punktowych , stąd pojęcia warunkowania dłoni, które obejmują bardziej abstrakcyjne ustawienie miar losowych .

Modele

Istnieją różne modele procesów punktowych, zazwyczaj oparte na klasycznym jednorodnym procesie punktowym Poissona (podstawowy model całkowitej losowości przestrzennej ), ale wykraczające poza niego, w celu znalezienia modeli ekspresyjnych, które umożliwiają skuteczne metody statystyczne.

Teoria wzorców punktowych stanowi główny element budulcowy do generowania losowych procesów obiektowych, umożliwiając konstruowanie skomplikowanych losowych wzorów przestrzennych. Najprostsza wersja, model boolowski , umieszcza losowy zwarty obiekt w każdym punkcie procesu punktowego Poissona. Bardziej złożone wersje pozwalają na interakcje w różny sposób oparte na geometrii obiektów. Różne kierunki zastosowań obejmują: tworzenie modeli dla losowych obrazów jako zestawienie obiektów lub jako wzory nakładających się obiektów; także generowanie modeli inspirowanych geometrią dla leżącego u podstaw procesu punktowego (na przykład rozkład wzoru punktowego może być obciążony wykładniczym czynnikiem obejmującym obszar sumy obiektów; jest to związane z modelem mechaniki statystycznej Widoma-Rowlinsona) .

Losowy obiekt

Co rozumie się pod pojęciem losowego obiektu? Pełna odpowiedź na to pytanie wymaga teorii losowych zbiorów zamkniętych , która styka się z zaawansowanymi pojęciami z teorii miary. Kluczową ideą jest skupienie się na prawdopodobieństwach, że dany losowy zamknięty zestaw trafi w określone zestawy testowe. Pojawiają się pytania o wnioskowanie (na przykład oszacowanie zbioru, który obejmuje dany wzór punktowy), teorie uogólnień średnich itp., Które można zastosować do zbiorów losowych. Obecnie tworzone są powiązania między tą ostatnią pracą a najnowszymi osiągnięciami w geometrycznej analizie matematycznej dotyczącej ogólnych przestrzeni metrycznych i ich geometrii. Dobre parametryzacje określonych zbiorów losowych pozwalają na odniesienie procesów losowych obiektów do teorii procesów punktowych; Pary obiekt-punkt są postrzegane jako punkty w większej przestrzeni produktowej utworzonej jako iloczyn przestrzeni pierwotnej i przestrzeni parametryzacji.

Procesy liniowe i hiperpłaskie

Przypuśćmy, że nie interesują nas już obiekty zwarte, ale obiekty rozciągnięte przestrzennie: linie na płaszczyźnie lub mieszkania w trzech przestrzeniach. Prowadzi to do rozważenia procesów liniowych oraz procesów mieszkań lub hiper-mieszkań. Nie może już istnieć preferowana lokalizacja przestrzenna dla każdego obiektu; jednakże teorię można odwzorować z powrotem na teorię procesu punktowego, przedstawiając każdy obiekt za pomocą punktu w odpowiedniej przestrzeni reprezentacji. Na przykład, w przypadku linii skierowanych w płaszczyźnie można przyjąć, że przestrzeń reprezentacji jest walcem. Trudność polega na tym, że euklidesowe symetrie ruchu zostaną wówczas wyrażone w przestrzeni reprezentacji w dość nietypowy sposób. Ponadto obliczenia muszą uwzględniać interesujące odchylenia przestrzenne (na przykład w segmenty linii rzadziej trafiają przypadkowe linie, do których są prawie równoległe), co zapewnia interesujące i znaczące powiązanie z niezwykle istotnym obszarem stereologii , który pod pewnymi względami można postrzegać jako kolejny temat geometrii stochastycznej. Często jest tak, że obliczenia najlepiej przeprowadzać w kategoriach wiązek linii uderzających w różne zestawy testowe, a nie pracy w przestrzeni reprezentacji.

Procesy liniowe i hiperpłaskie mają swoje własne bezpośrednie zastosowania, ale także znajdują zastosowanie jako jeden ze sposobów tworzenia teselacji dzielących przestrzeń; stąd na przykład można mówić o teselacjach linii Poissona. Godny uwagi niedawny wynik dowodzi, że komórka na początku mozaikowania linii Poissona jest w przybliżeniu okrągła, gdy jest uwarunkowana jako duża. Parkietaż w geometrii stochastycznej można oczywiście wytwarzać innymi sposobami, na przykład stosując konstrukcje Voronoi i wariantowe, a także iterując różne sposoby konstrukcji.

Pochodzenie nazwy

Wydaje się, że nazwa została wymyślona przez Davida Kendalla i Klausa Krickeberga podczas przygotowań do warsztatów w Oberwolfach w czerwcu 1969 r. , Chociaż poprzednicy teorii sięgają znacznie dalej pod nazwą prawdopodobieństwo geometryczne . Termin „geometria stochastyczna” był również używany przez Frischa i Hammersleya w 1963 roku jako jedna z dwóch propozycji nazw teorii „przypadkowych struktur nieregularnych” inspirowanych teorią perkolacji .

Aplikacje

W tym krótkim opisie skupiono się na teorii geometrii stochastycznej, która pozwala spojrzeć na strukturę przedmiotu. Jednak wiele z życia i zainteresowań tematu, a także wiele z jego oryginalnych pomysłów, wypływa z bardzo szerokiego zakresu zastosowań, na przykład: astronomii, telekomunikacji rozproszonej przestrzennie , modelowania i analizy sieci bezprzewodowych, modelowania zanikania kanałów , leśnictwa. , statystyczna teoria kształtu, materiałoznawstwo, analiza wielowymiarowa , problemy analizy obrazu i stereologii . Istnieją powiązania z mechaniką statystyczną, łańcuchem Markowa Monte Carlo i implementacjami teorii w obliczeniach statystycznych (na przykład spstat w R ). Ostatnio pewną rolę zaczynają odgrywać determinantalne i trwałe procesy punktowe (związane z teorią macierzy losowych).

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ Chayes, JT ; Chayes, L .; Kotecký, R. (1995). „Analiza modelu Widoma-Rowlinsona stochastycznymi metodami geometrycznymi” . Komunikacja w fizyce matematycznej . 172 (3): 551–569. Bibcode : 1995CMaPh.172..551C . doi : 10.1007 / BF02101808 .
  2. ^ Kovalenko, IN (1999). "Uproszczony dowód przypuszczenia DG Kendalla o kształtach przypadkowych wielokątów" . Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis . 12 (4): 301–310. doi : 10.1155 / S1048953399000283 .
  3. ^ a b Zobacz przedmowę w Stoyan, D .; Kendall, WS; Mecke, J. (1987). Geometria stochastyczna i jej zastosowania . Wiley . ISBN   0-471-90519-4 .
  4. ^ Frisch, HL; Hammersley, JM (1963). „Procesy przesączania i zagadnienia pokrewne”. SIAM Journal on Applied Mathematics . 11 (4): 894–918. doi : 10,1137 / 0111066 .
  5. ^ Schneider, R .; Weil, W. (2008). Geometria stochastyczna i całkowa . Prawdopodobieństwo i jego zastosowania. Springer . doi : 10.1007 / 978-3-540-78859-1 . ISBN   978-3-540-78858-4 . MR   2455326 .
  6. ^ Martinez VJ; Saar, E. (2001). Statystyki dystrybucji galaktyki . Chapman & Hall . ISBN   1-58488-084-8 .
  7. ^ Baccelli, F .; Klein, M .; Lebourges, M .; Zuyev, S. (1997). "Geometria i architektura stochastyczna sieci komunikacyjnych". Systemy telekomunikacyjne . 7 : 209–227. doi : 10.1023 / A: 1019172312328 .
  8. ^ M. Haenggi. Geometria stochastyczna dla sieci bezprzewodowych . Cambridge University Press, 2012.
  9. ^ Piterbarg, VI; Wong, KT (2005). „Współczynnik korelacji przestrzennej na stacji bazowej, w jawnym wyrażeniu analitycznym w formie zamkniętej, ze względu na heterogenicznie rozproszone rozpraszacze Poissona”. Anteny IEEE i bezprzewodowe litery propagacyjne . 4 (1): 385–388. Bibcode : 2005IAWPL ... 4..385P . doi : 10.1109 / LAWP.2005.857968 .
  10. ^ Abdulla, M .; Shayan, YR (2014). „Zachowanie zanikania na dużą skalę w sieci komórkowej z jednolitą dystrybucją przestrzenną”. Komunikacja bezprzewodowa i komputery mobilne . 4 (7): 1–17. arXiv : 1302.0891 . doi : 10.1002 / WCM.2565 .
  11. ^ Stoyan, D .; Penttinen, A. (2000). „Najnowsze zastosowania metod punktowych w statystyce leśnictwa”. Nauki statystyczne . 15 : 61–78.
  12. ^ Kendall, DG (1989). „Przegląd statystycznej teorii kształtu” . Nauki statystyczne . 4 (2): 87–99. doi : 10.1214 / ss / 1177012582 .
  13. ^ Torquato, S. (2002). Losowe niejednorodne materiały . Springer-Verlag . ISBN   0-387-95167-9 .
  14. ^ Van Lieshout, MNM (1995). Stochastyczne modele geometrii w analizie obrazu i statystyce przestrzennej . CWI Tract, 108. CWI . ISBN   90-6196-453-9 .
  15. ^ Georgii, H-O .; Häggström, O .; Maes, C. (2001). „Losowa geometria faz równowagi”. Przemiany fazowe i zjawiska krytyczne . 18 . Academic Press . s. 1–142.
  16. ^ Baddeley, A .; Turner, R. (2005). „Spatstat: pakiet R do analizy przestrzennych wzorców punktowych” . Journal of Statistical Software . 12 (6): 1–42. doi : 10.18637 / jss.v012.i06 .
  17. ^ McCullagh, P .; Møller, J. (2006). „Trwały proces”. Postępy prawdopodobieństwa stosowanego . 38 (4): 873–888. doi : 10.1239 / aap / 1165414583 .