T-normowe logiki rozmyte - T-norm fuzzy logics

T-normowe logiki rozmyte to rodzina logik nieklasycznych , nieformalnie rozgraniczonych przez semantykę, która przyjmuje rzeczywisty przedział jednostkowy [0, 1] dla systemu wartości logicznych i funkcji zwanych t-normami dla dopuszczalnych interpretacji koniunkcji . Wykorzystywane są głównie w stosowanej logice rozmytej i teorii zbiorów rozmytych jako teoretyczna podstawa wnioskowania przybliżonego.

T-normowe logiki rozmyte należą do szerszych klas logik rozmytych i logik wielowartościowych . Aby wygenerować dobrze zachowaną implikację , t-normy zwykle muszą być lewostronne ; Logiki t-norm lewostronnych należą ponadto do klasy logik substrukturalnych , wśród których odznaczają się ważnością prawa przedliniowości ( A  →  B ) ∨ ( B  →  A ). Oba propositional i pierwszego rzędu (lub wyższego rzędu ) t-Norm logiki rozmytej, jak również ich rozwinięcia według modalnych operatorów i są badane. Logiki, które ograniczają semantykę t-norm do podzbioru rzeczywistego przedziału jednostkowego (na przykład skończenie wartościowe logiki Łukasiewicza ) również są zwykle uwzględniane w klasie.

Ważnymi przykładami t-Norm logiki rozmytej są monoidal logiczny t normą MTL lewo jak i ciągłej koszulki norm, podstawowe BL logiczny wszystkich ciągłych t-norm, produkt logiki rozmytej w produkcie t normą lub nilpotent minimalna logiczny z nilpotentna minimalna norma t. Niektóre niezależnie motywowane logiki również należą do t-norm rozmytych, na przykład logika Łukasiewicza (która jest logiką t-normy Łukasiewicza) czy logika Gödla-Dummetta (która jest logiką minimalnej t-normy).

Motywacja

Jako członkowie rodziny logik rozmytych , t-normowe logiki rozmyte mają na celu przede wszystkim uogólnienie klasycznej logiki dwuwartościowej poprzez dopuszczenie pośrednich wartości prawdziwości od 1 (prawda) do 0 (fałsz) reprezentujących stopnie prawdziwości zdań. Przyjmuje się, że stopnie są liczbami rzeczywistymi z przedziału jednostkowego [0, 1]. W rozmytych logikach t-norm zdaniowych spójniki mają być prawdziwościowo-funkcjonalne , to znaczy, że wartość prawdziwości zdania złożonego utworzonego przez spójnik zdaniowy z niektórych zdań składowych jest funkcją (zwaną funkcją prawdziwości spójnika) wartości logiczne zdań składowych. Funkcje prawdziwości operują na zbiorze stopni prawdziwości (w semantyce standardowej na przedziale [0, 1]); zatem funkcją prawdziwości n- arnego spójnika zdaniowego c jest funkcja F _c : [0, 1] ⁿ → [0, 1]. Funkcje prawdziwości uogólniają tablice prawdy spójników zdaniowych znanych z logiki klasycznej do działania na większym systemie wartości prawdziwości.

Logiki rozmyte T-norm nakładają pewne naturalne ograniczenia na funkcję prawdziwości koniunkcji . Zakłada się, że funkcja prawdziwości koniunkcji spełnia następujące warunki: ${\ Displaystyle * \ dwukropek [0,1] ^ {2} \ do [0, 1]}$

• Przemienność , czyli dla wszystkich x i y w [0, 1]. Wyraża to założenie, że kolejność zdań rozmytych w połączeniu jest nieistotna, nawet jeśli dopuszczone są pośrednie stopnie prawdziwości.${\displaystyle x*y=y*x}$
• Asocjatywność , czyli dla wszystkich x , y i z w [0, 1]. Wyraża to założenie, że kolejność wykonywania koniunkcji jest nieistotna, nawet przy dopuszczeniu pośrednich stopni prawdy.${\ Displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$
• Monotonia , czyli jeśli wtedy dla wszystkich x , y i z w [0, 1]. Wyraża to założenie, że zwiększenie stopnia prawdziwości koniunkcji nie powinno zmniejszać stopnia prawdziwości koniunkcji.${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x*z\leq y*z}$
• Neutralność 1 , czyli dla wszystkich x w [0, 1]. Założenie to odpowiada uznaniu stopnia prawdziwości 1 za pełną prawdę, z którą koniunkcja nie zmniejsza wartości prawdziwości drugiej koniunkcji. Wraz z poprzednimi warunkami warunek ten zapewnia, że ​​również dla wszystkich x w [0, 1], co odpowiada uznaniu stopnia prawdy 0 za pełną fałsz, z którą koniunkcja jest zawsze całkowicie fałszywa.${\displaystyle 1*x=x}$${\ Displaystyle 0 * x = 0}$
• Ciągłość funkcji (poprzednie warunki redukują to wymaganie do ciągłości w każdym argumencie). Nieformalnie wyraża to założenie, że mikroskopijne zmiany stopni prawdziwości koniunkcji nie powinny powodować makroskopowej zmiany stopnia prawdziwości ich koniunkcji. Warunek ten, między innymi, zapewnia dobre zachowanie (resztkowej) implikacji pochodzącej z koniunkcji; jednak aby zapewnić dobre zachowanie, wystarczy lewostronna ciągłość (w każdym argumencie) funkcji . W ogólności logiki rozmyte t-normy zatem wymagana jest tylko lewostronna ciągłość , co wyraża założenie, że mikroskopijne zmniejszenie stopnia prawdziwości koniunkcji nie powinno makroskopowo zmniejszać stopnia prawdziwości koniunkcji.${\ Displaystyle *}$${\ Displaystyle *}$${\ Displaystyle *}$

Te założenia sprawiają, że funkcja prawdziwości koniunkcji jest t-normą lewostronną , co wyjaśnia nazwę rodziny logik rozmytych ( t-norm based ). Poszczególne logiki rodziny mogą czynić dalsze założenia dotyczące zachowania koniunkcji (np. logika Gödla wymaga jej idempotencji ) lub innych spójników (np. logika IMTL (inwolutywna monoidalna logika t-norm) wymaga inwolucji negacji).

Wszystkie lewostronne t-normy mają unikalną resztę , to znaczy funkcję binarną taką, że dla wszystkich x , y i z w [0, 1], ${\ Displaystyle *}$${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$

${\displaystyle x*y\leq z}$ wtedy i tylko wtedy gdy ${\displaystyle x\leq y\rightarrow z.}$

Residuum lewostronnej t-normy można jednoznacznie zdefiniować jako

${\ Displaystyle (x \ Rightarrow y) = \ sup \ {z \ mid z * x \ leq y \}.}$

Zapewnia to, że reszta jest największą punktowo funkcją taką, że dla wszystkich x i y ,

${\ Displaystyle x * (x \ Rightarrow y) \ Leq y.}$

To ostatnie można interpretować jako rozmytą wersję zasady wnioskowania modus ponens . Residuum lewostronnej t-normy można zatem scharakteryzować jako najsłabszą funkcję, która sprawia, że ​​rozmyty modus ponens jest ważny, co czyni ją odpowiednią funkcją prawdziwości do implikacji w logice rozmytej. Lewostronna ciągłość t-normy jest warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby ten związek między koniunkcją t-normy a jej szczątkową implikacją został zachowany.

Funkcje prawdziwości dalszych spójników zdaniowych można zdefiniować za pomocą t-normy i jej reszt, np. negacja resztowa lub równoważność bi-rezydualna. Funkcje prawdziwości spójników zdaniowych można również wprowadzić za pomocą dodatkowych definicji: najczęściej spotykane to minimum (który pełni rolę innego spójnika), maksimum (który pełni rolę spójnika rozłącznego) lub operatora delty Baaza, zdefiniowanego w [0, 1] tak jakby i inaczej. W ten sposób lewostronna t-norma, jej residuum oraz funkcje prawdziwościowe dodatkowych spójników zdaniowych określają wartości prawdziwości złożonych formuł zdaniowych w [0, 1]. ${\ Displaystyle \ neg x = (x \ strzałka w prawo 0)}$${\ Displaystyle x \ Leftrightarrow y = (x \ Right Arrow y) * (y \ Right Arrow x).}$${\ Displaystyle \ Delta x = 1}$${\displaystyle x=1}$${\ Displaystyle \ Delta x = 0}$

Formuły, które zawsze dają wynik 1, są nazywane tautologiami w odniesieniu do danej lewostronnej t-normy lub tautologiami. Zbiór wszystkich tautologii nazywa się logiką t-normy, ponieważ formuły te reprezentują prawa logiki rozmytej (określone przez t-normę), które obowiązują (do stopnia 1) niezależnie od stopni prawdziwości formuł atomowych . Niektóre formuły są tautologiami w odniesieniu do większej klasy lewostronnych t-norm; zbiór takich formuł nazywamy logiką klasy. Ważnymi logikami t-norm są logiki poszczególnych t-norm lub klas t-norm, na przykład: ${\displaystyle *,}$${\ Displaystyle * {\ mbox {-}}}$${\ Displaystyle * {\ mbox {-}}}$${\displaystyle *,}$

• Logika Łukasiewicza jest logiką t-normy Łukasiewicza ${\displaystyle x*y=\max(x+y-1,0)}$
• Logika Gödla-Dummetta jest logiką minimalnej normy tnor ${\ Displaystyle x * y = \ min (x, y)}$
• Logika rozmyta produktu jest logiką iloczynu t-norm ${\ Displaystyle x * y = x \ cdot y}$
• Monoidalna logika t-norm MTL jest logiką (klasy) wszystkich lewostronnych t-norm
• Podstawowa logika rozmyta BL jest logiką (klasy) wszystkich ciągłych t-norm

Okazuje się, że wiele logik poszczególnych t-norm i klas t-norm jest aksjomatyzowalnych. Twierdzenie o zupełności systemu aksjomatycznego w odniesieniu do odpowiadającej mu semantyki t-norm na [0, 1] nazywa się wtedy standardową zupełnością logiki. Poza standardową semantyką o wartościach rzeczywistych na [0, 1], logiki są poprawne i kompletne w odniesieniu do ogólnej semantyki algebraicznej, utworzonej przez odpowiednie klasy preliniowych przemiennych, ograniczonych, całkowitych rezydualnych sieci .

Historia

Niektóre szczególne logiki rozmyte t-norm zostały wprowadzone i zbadane na długo przed rozpoznaniem rodziny (nawet przed pojawieniem się pojęć logiki rozmytej lub t-normy ):

• Logika Łukasiewicza (logika t-normy Łukasiewicza) została pierwotnie zdefiniowana przez Jana Łukasiewicza (1920) jako logika trójwartościowa ; później uogólniono go na n- wartościowe (dla wszystkich skończonych n ), jak również na nieskończenie wiele wartościowanych wariantów, zarówno propozycjonalnych, jak i pierwszego rzędu.
• Logika Gödla-Dummetta (logika minimalnej t-normy) była zawarta w dowodzie Gödla z 1932 roku o nieskończonej wartości logiki intuicjonistycznej . Później (1959) został wyraźnie zbadany przez Dummetta, który udowodnił twierdzenie o zupełności dla logiki.

Systematyczne badanie poszczególnych t-norm logik rozmytych i ich klas rozpoczęło się od monografii Hájka (1998) Metamatematics of Fuzzy Logic , w której zaprezentowano pojęcie logiki ciągłej t-normy, logiki trzech podstawowych ciągłych t-norm. norm (Łukasiewicz, Gödel i iloczyn) oraz „podstawowej” logiki rozmytej BL wszystkich t-norm ciągłych (wszystkie zarówno propozycjonalne, jak i pierwszego rzędu). Książka rozpoczęła również badanie logiki rozmytej jako logiki nieklasycznej za pomocą rachunków w stylu Hilberta, semantyki algebraicznej i właściwości metamatematycznych znanych z innych logik (twierdzenia o zupełności, twierdzenia o dedukcji , złożoność itp.).

Od tego czasu wprowadzono mnóstwo logik rozmytych t-norm i zbadano ich właściwości metamatematyczne. Niektóre z najważniejszych logik rozmytych t-norm zostały wprowadzone w 2001 r. przez Estevę i Godo ( MTL , IMTL, SMTL, NM, WNM), Estevę, Godo i Montagna (propositional ŁΠ) oraz Cintulę (pierwsze ŁΠ). .

Język logiczny

Logiczny słownik zdań rozmytych t-norm logicznych standardowo obejmuje następujące spójniki :

• Implikacja ( binarna ). W kontekście innych niż t-normą bazie logiki rozmytej, WPŁYW t normą na bazie nazywa się czasem resztkowy WPŁYW lub R WPŁYW , ponieważ jego standardowe semantyka jest pozostałość z t-normą realizującego silne powiązaniu.${\displaystyle \rightarrow}$
• Silna koniunkcja (binarna). W kontekście logik substrukturalnych często używa się znaku i grupy nazw , koniunkcji intensjonalnej , multiplikatywnej lub równoległej dla silnej koniunkcji.${\ Displaystyle \ I}$${\ Displaystyle \ czasami}$
• Koniunkcja słaba (binarna), zwana także koniunkcją kratową ( w semantyce algebraicznej jest to zawsze realizowane przez kratową operację Meet ). W kontekście logik substrukturalnych, nazwy koniunkcji addytywnej , ekstensjonalnej lub porównawczej są czasami używane dla koniunkcji kratowej. W logice BL i jej rozszerzeniach (choć nie w logice t-norm w ogóle), słaba koniunkcja jest definiowalna w kategoriach implikacji i silnej koniunkcji, przez${\ Displaystyle \ klin}$

${\ Displaystyle A \ klin B \ równoważnik A {\ mathbin {\ i}} (A \ strzałka w prawo B).}$

Obecność dwóch spójników koniunkcyjnych jest wspólną cechą logiki substrukturalnej bezskurczowej .

• Dół ( nullary ); lub są wspólnymi znakami alternatywnymi i zero wspólną alternatywną nazwą stałej zdaniowej (ponieważ stałe dolne i zero logik podstrukturalnych pokrywają się w t-normach logiki rozmytej). Zdanie reprezentuje fałsz lub absurd i odpowiada klasycznej wartości prawdziwości fałsz .${\displaystyle \bot}$${\ Displaystyle 0}$${\displaystyle {\overline {0}}}$${\displaystyle \bot}$
• Negacja ( jednoargumentowa ), czasami nazywana negacją resztkową, jeśli brane są pod uwagę inne spójniki negacji, ponieważ jest zdefiniowana na podstawie implikacji szczątkowej przez reductio ad absurdum:${\displaystyle \neg}$

${\ Displaystyle \ neg A \ równoważnik A \ rightarrow \ bot}$

• Równoważność (binarna), zdefiniowana jako${\displaystyle \leftrightarrow}$

${\displaystyle A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\klin (B\rightarrow A)}$

W logikach t-normowych definicja jest równoważna ${\ Displaystyle (A \ rightarrow B) {\ mathbin {\ i}} (B \ rightarrow A).}$

• (Słaba) alternatywa (binarna), zwana także alternatywą kratową (jak to zawsze realizuje się przez operację kratową join w semantyce algebraicznej). W logikach t-normowych można go zdefiniować w kategoriach innych spójników jako${\displaystyle \vee}$

${\ Displaystyle A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\klin ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$

• Top (nullary), zwany również jedynką i oznaczany przez lub (jako że stałe top i zero logik podstrukturalnych pokrywają się w t-normach logik rozmytych). Zdanie to odpowiada klasycznej wartości logicznej prawda i może być w t-normach definiowanych jako${\ Displaystyle \ top}$${\ Displaystyle 1}$${\displaystyle {\overline {1}}}$${\ Displaystyle \ top}$

${\ Displaystyle \ top \ equiv \ bot \ rightarrow \ bot.}$

Niektóre logiki t-norm zdaniowych dodają do powyższego języka kolejne spójniki zdaniowe, najczęściej następujące:

• Delta łącznej jest jednoskładnikowa łącznej, która utrzymuje klasyczną prawdę propozycją, jak wzorach formy zachowują się jak w logice klasycznej. Nazywany również Delta Baaz , ponieważ został po raz pierwszy użyty przez Matthiasa Baaza dla logiki Gödel-Dummett . Rozszerzenie logiki t-normy przez spójnik Delta jest zwykle oznaczane przez${\ Displaystyle \ trójkąt}$${\ Displaystyle \ trójkąt A}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle L_{\trójkąt}.}$
• Stałe prawdy są spójnikami nullarnymi reprezentującymi poszczególne wartości prawdy z zakresu od 0 do 1 w standardowej semantyce o wartościach rzeczywistych. Dla liczby rzeczywistej odpowiednia stała prawdziwości jest zwykle oznaczana przez Najczęściej dodawane są stałe prawdziwości dla wszystkich liczb wymiernych. System wszystkich stałych prawdy w języku ma spełniać aksjomaty księgowe :${\ Displaystyle r}$${\displaystyle {\overline {r}}.}$

${\displaystyle {\overline {r{\mathbin {\i}}s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\and}}{\overline {s}}),}$ ${\displaystyle {\overline {r\rightarrow s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\rightarrow}}{\overline {s}}),}$ itd. dla wszystkich spójników zdaniowych i wszystkich stałych prawdy definiowalnych w języku.

• Negację ewolucyjną (jednoargumentową) można dodać jako dodatkową negację do logik t-norm, których negacja rezydualna sama w sobie nie jest inwolucyjna , to znaczy, jeśli nie przestrzega prawa podwójnej negacji . Logika t-normy rozszerzona o negację ewolutywną jest zwykle oznaczana i nazywana inwolucją .${\displaystyle \sim}$${\ Displaystyle \ neg \ neg A \ leftright arrow A}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle L_{\sim}}$${\ Displaystyle L}$
• Silna alternatywa (binarna). W kontekście logik substrukturalnych nazywana jest także alternatywą grupową , intensjonalną , multiplikatywną lub równoległą . Chociaż standard w bezskurczowych logikach substrukturalnych, w t-normowych logikach rozmytych jest zwykle używany tylko w obecności negacji inwolutywnej, co czyni ją definiowalną (a więc aksjomatyzowalną) przez prawo de Morgana z silnej koniunkcji:${\ Displaystyle \ oplus}$

${\ Displaystyle A \ oplus B \ równoważnik \ operatorname {\ SIM } (\ operatorname {\ SIM } A {\ mathbin {\ i}} \ operatorname {\ SIM} B).}$

• Dodatkowe spójniki t-normy i implikacje rezydualne . Niektóre ekspresywnie silne t-normy, na przykład logika ŁΠ , mają w swoim języku więcej niż jedną silną koniunkcję lub implikację rezydualną. W standardowej semantyce o wartościach rzeczywistych wszystkie takie silne koniunkcje są realizowane przez różne t-normy, a implikacje rezydualne przez ich residua.

Dobrze uformowane formuły logik t-norm zdaniowych są definiowane ze zmiennych zdaniowych (zwykle policzalnie wielu) przez powyższe spójniki logiczne, jak to zwykle bywa w logikach zdaniowych . Aby zachować nawiasy, często używa się następującej kolejności pierwszeństwa:

• Spójniki jednoargumentowe (wiążą najściślej)
• Spójniki binarne inne niż implikacja i równoważność
• Implikacja i równoważność (wiążą się najbardziej luźno)

Warianty pierwszego rzędu logik t-norm wykorzystują zwykły język logiczny logiki pierwszego rzędu z powyższymi spójnikami zdaniowymi i następującymi kwantyfikatorami :

• Ogólny kwantyfikator ${\displaystyle \forall}$
• Kwantyfikator egzystencjalny ${\displaystyle \istnieje}$

Wariant pierwszego rzędu logiki t-norm zdaniowych jest zwykle oznaczany przez${\ Displaystyle L}$${\displaystyle L\forall.}$

Semantyka

Semantyka algebraiczna jest głównie używana w t-normowych logikach rozmytych zdaniowych, z trzema głównymi klasami algebr, w odniesieniu do których t-normowa logika rozmyta jest kompletna : ${\ Displaystyle L}$

• Semantyka ogólna , utworzona ze wszystkich -algebr — czyli wszystkich algebr, dla których logika jest słuszna .${\ Displaystyle L}$
• Semantyka liniowa , utworzona ze wszystkich -algebr liniowych — czyli wszystkich -algebr, których porządek w sieci jest liniowy .${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$
• Semantyka standardowa , utworzona ze wszystkich standardowych -algebr — czyli wszystkich -algebr, których reduktem jest rzeczywisty przedział jednostkowy [0, 1] o zwykłej kolejności. W standardowych -algebrach interpretacja silnej koniunkcji jest t-normą ciągłą lewostronnie, a interpretacja większości spójników zdaniowych jest określona przez t-normę (stąd nazwy t-norm-based logics i t-norm -algebrs , które jest również używany do -algebr na siatce [0, 1]). W logice t-normowej z dodatkowymi spójnikami interpretacja wartości rzeczywistych dodatkowych spójników może być jednak ograniczona przez dalsze warunki, aby algebrę t-normową można było nazwać standardową: na przykład w standardowych -algebrach logiki z inwolucją, interpretacja dodatkowej negacji ewoltywnej musi być standardową inwolucją, a nie innymi inwolucjami, które mogą również interpretować na t- normach - algebrach. Ogólnie zatem, definicja standardowych algebr t-norm musi być wyraźnie podana dla logik t-norm z dodatkowymi spójnikami.${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle L_{\sim}}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle \sim}$ ${\ Displaystyle f_ {\ SIM} (x) = 1-x,}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle L_{\sim}}$

Bibliografia

• Esteva F. i Godo L., 2001, „Monoidalna logika oparta na t-normie: W kierunku logiki lewostronnych t-norm”. Zbiory i systemy rozmyte 124 : 271–288.
• Flaminio T. i Marchioni E., 2006, Logika oparta na normach T z niezależną negacją ewolwentową. Zbiory i systemy rozmyte 157 : 3125–3144.
• Gottwald S. & Hájek P., 2005, Trójkątna matematyczna logika rozmyta oparta na normach. W EP Klement & R. Mesiar (red.), Logical, Algebraic, Analytic and Probabilistic Aspects of Triangular Norms , s. 275-300. Elsevier, Amsterdam 2005.
• Hájek P., 1998, Metamatematyka logiki rozmytej . Dordrecht: Kluwer. ISBN  0-7923-5238-6 .

Bibliografia