Unitarność (fizyka) - Unitarity (physics)

W mechaniki kwantowej , unitarity jest warunek, że ewolucja czasowa w stanie kwantowej według równania Schrödingera matematycznie reprezentowany przez operatora jednostkowej . Jest to zwykle traktowane jako aksjomat lub podstawowy postulat mechaniki kwantowej, podczas gdy uogólnienia lub odstępstwa od jedności są częścią spekulacji na temat teorii, które mogą wykraczać poza mechanikę kwantową. Unitarity związana jest każda nierówność, która wynika z unitarity od operatora ewolucji , czyli od stwierdzeniem, że ewolucja czas zachowuje produkty wewnętrznych w przestrzeni Hilberta .

Ewolucja hamiltonowska

Ewolucja w czasie opisana przez hamiltonian niezależny od czasu jest reprezentowana przez jednoparametrową rodzinę operatorów unitarnych , dla których hamiltonian jest generatorem: . W obrazie Schrödingera przyjmuje się , że operatory unitarne działają na stan kwantowy systemu, podczas gdy w obrazie Heisenberga zależność czasowa jest włączana do obserwabli . ${\ Displaystyle U (t) = e ^ {-i {\ kapelusz {H}} t / \ hbar}}$

Implikacje unitarności na wyniki pomiarów

W mechanice kwantowej każdy stan jest opisany jako wektor w przestrzeni Hilberta . Przy wykonywaniu pomiaru wygodnie jest opisać tę przestrzeń za pomocą bazy wektorowej, w której każdy wektor bazy ma określony wynik pomiaru - np. bazę wektorową o określonym pędzie w przypadku pomiaru pędu. Operator pomiaru jest w tej podstawie diagonalny.

Prawdopodobieństwo uzyskania konkretnego wyniku pomiaru zależy od amplitudy prawdopodobieństwa, którą daje iloczyn skalarny stanu fizycznego z wektorami bazowymi diagonalizującymi operator pomiaru. Dla stanu fizycznego, który jest mierzony po ewolucji w czasie, amplitudę prawdopodobieństwa można opisać albo przez iloczyn wewnętrzny stanu fizycznego po ewolucji w czasie z odpowiednimi wektorami bazowymi , albo równoważnie przez iloczyn wewnętrzny stanu fizycznego z wektory bazowe, które ewoluowały wstecz w czasie. Używając operatora ewolucji w czasie , mamy: $|\psi \rangle$ ${\ Displaystyle \ {| \ phi _ {i} \ rangle \}}$ ${\ Displaystyle e ^ {-i {\ kapelusz {H}} t / \ hbar}}$

{\ Displaystyle \ lewo \ Langle \ phi _ {i} \ lewo | e ^ {-i {\ kapelusz {H}} t / \ hbar} \ psi \ prawo \ prawo \ rangle = \ lewo \ langle \ lewo. e^{-i{\hat {H}}(-t)/\hbar }\phi _{i}\right|\psi \right\rangle }

Ale z definicji koniugacji hermitowskiej jest to również:

{\ Displaystyle \ lewo \ Langle \ phi _ {i} \ lewo | e ^ {-i {\ kapelusz {H}} t / \ hbar} \ psi \ prawo \ prawo \ rangle = \ lewo \ langle \ lewo. \phi _{i}\left(e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right)^{\dagger }\right|\psi \right\rangle =\left\langle \left .\phi _{i}e^{-i{\hat {H}}^{\dagger }(-t)/\hbar }\right|\psi \right\rangle }

Ponieważ te równości są prawdziwe dla każdych dwóch wektorów, otrzymujemy

{\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} ^ {\ sztylet} = {\ kapelusz {H}}}

Oznacza to, że hamiltonian jest hermitowski, a operator ewolucji w czasie jest unitarny . ${\ Displaystyle e ^ {-i {\ kapelusz {H}} t / \ hbar}}$

Ponieważ przez regułę Borna norma określa prawdopodobieństwo uzyskania określonego wyniku w pomiarze, unitarność wraz z regułą Borna gwarantuje, że suma prawdopodobieństw jest zawsze jedna. Co więcej, unitarność wraz z regułą Borna implikuje, że operatory pomiaru w obrazie Heisenberga rzeczywiście opisują, jak oczekuje się, że wyniki pomiarów będą ewoluować w czasie. Ten punkt jest dodatkowo podkreślony hipotetycznym kontrprzykładem: Rozważmy przypadek braku jedności, gdy otrzymujemy inne prawdopodobieństwo mierząc jakiś operator (na obrazie Heisenberga) w czasie t ₁ , w porównaniu z wykonaniem tego samego pomiaru, biorąc pod uwagę uwagę zmiany w czasie, w chwili t ₂ , tak że w tym czasie jest mierzone. Poprzez wielokrotne takie pomiary można następnie skonstruować eksperyment, w którym prawdopodobieństwo jednego wyniku R ₁ byłoby arbitralnie bliskie 100%, gdyby zostało wykonane w czasie t ₁ , ale prawdopodobieństwo innego wyniku R ₂ byłoby arbitralnie bliskie 100%, gdyby zrobione w czasie t ₂ . Prowadzi to do niespójności, przynajmniej w niektórych interpretacjach mechaniki kwantowej. ${\cal {{O}(t_{1})}}$ ${\ Displaystyle {\ cal {{O} (t_ {2})}}}$

Załóżmy na przykład, że Alicja i Bob wykonują pomiary w tym samym systemie w różnym czasie. Alicja mierzy w czasie t _{1 ,} a Bob w czasie t ₂ . zgodnie z interpretacją wielu światów Bob prawie na pewno znajdzie się w świecie, w którym wynikiem było R ₂ . Ale potem, kiedy Bob spotyka Alicję, Alicja musiała również zmierzyć R ₂ . W ten sposób Alice powiedziałaby Bobowi, że zmierzyła bardzo nierealistyczny wynik, z prawdopodobieństwem arbitralnie zbliżonym do 0%. W takim scenariuszu fizycy twierdzą, że uzyskali bardzo nierealistyczne wyniki, a pojęcie prawdopodobieństwa załamuje się.

Implikacje dotyczące postaci hamiltonianu

To, że operator ewolucji w czasie jest unitarny, jest równoważne hamiltonianowi będącemu hermitianem . Równoważnie oznacza to, że możliwe zmierzone energie, które są wartościami własnymi hamiltonianu, są zawsze liczbami rzeczywistymi.

Amplituda rozproszenia i twierdzenie optyczne

Macierz-S jest stosowana do opisu, w jaki sposób układ fizyczny zmienia się w procesie rozpraszania. W rzeczywistości jest równy operatorowi ewolucji czasu w bardzo długim czasie (zbliżającym się do nieskończoności) działającemu na stany pędu cząstek (lub związanego kompleksu cząstek) w nieskończoności. Musi więc być także operatorem unitarnym; obliczenia dające niejednolitą macierz S często implikują, że przeoczono stan związany.

Twierdzenie optyczne

Unitarność macierzy S implikuje między innymi twierdzenie optyczne . To może być rozumiane w następujący sposób:

Macierz S można zapisać jako:

S=1+iT

gdzie jest częścią macierzy S, która wynika z interakcji; np. implikuje, że macierz S wynosi 1, nie zachodzi żadna interakcja i wszystkie stany pozostają niezmienione. $T$ ${\ Displaystyle T = 0}$

Unitarność macierzy S:

{\ Displaystyle S ^ {\ sztylet} S = 1}

jest wtedy równoważne:

{\ Displaystyle -i \ lewo (TT ^ {\ sztylet} \ prawej) = T ^ {\ sztylet} T}

Lewa strona jest dwukrotnie większa od części urojonej macierzy S. Aby zobaczyć, co to jest prawa strona, spójrzmy na dowolny konkretny element tej macierzy, np. między pewnym stanem początkowym a stanem końcowym , z których każdy może zawierać wiele cząstek. Elementem macierzy jest wtedy: $|ja\rangle$ ${\ Displaystyle \ langle F |}$

{\ Displaystyle \ lewo \ langle F \ lewo | T ^ {\ sztylet} T \ prawo | I \ prawo \ rangle = \ suma _ {i} \ lewo \ langle F | T ^ {\ sztylet} | A_ {i} \right\rangle \left\langle A_{i}|T|I\right\rangle }

gdzie {A _i } jest zbiorem możliwych stanów na powłoce - tj. stanów pędu cząstek (lub związanego kompleksu cząstek) w nieskończoności.

Zatem dwukrotna część urojona macierzy S jest równa sumie reprezentującej iloczyny wkładów wszystkich rozproszeń stanu początkowego macierzy S do innego stanu fizycznego w nieskończoności, przy czym rozproszenia tego ostatniego do stanu końcowego stan macierzy S. Ponieważ urojoną część macierzy S można obliczyć za pomocą wirtualnych cząstek pojawiających się w stanach pośrednich diagramów Feynmana , wynika z tego, że te wirtualne cząstki muszą składać się tylko z rzeczywistych cząstek, które mogą również pojawiać się jako stany końcowe. Mechanizm matematyczny, który jest używany do zapewnienia tego, obejmuje symetrię cechowania, a czasami także duchy Faddeeva-Popova .

Granice jedności

Zgodnie z twierdzeniem optycznym amplituda prawdopodobieństwa M dla dowolnego procesu rozpraszania musi być zgodna

{\ Displaystyle | M | ^ {2} = 2 \ nazwa operatora {im} (M)}

Podobne granice jedności oznaczają, że amplitudy i przekrój nie mogą zbytnio wzrastać wraz z energią lub muszą maleć tak szybko, jak nakazuje to określony wzór.

Zobacz też

Bibliografia

Ten artykuł związany z fizyką jest skrótem . Możesz pomóc Wikipedii, rozwijając ją .

Languages

In other projects