Macierz hermitowska - Hermitian matrix

W matematyce , A hermitowskie matrycę (lub macierzą samosprzężone ) jest kompleks kwadratowy matrycy , która jest równa własnej koniugat transpozycji -to znaczy element $ı$ -tego wiersza i $j$ -tej kolumny jest równa zespoloną sprzężoną z element w $j$ -tym wierszu i $i$ -tej kolumnie, dla wszystkich indeksów $i$ oraz $j$ :

${\ Displaystyle A {\ tekst {hermitian}} \ quad \ iff \ quad a_ {ij} = {\ overline {{a} _ {ji}}}}$

lub w postaci matrycy:

{\ Displaystyle A {\ tekst {hermitian}} \ quad \ iff \ quad A = {\ overline {A ^ {\ mathsf {T}}}}.}

Macierze hermitowskie można rozumieć jako złożone rozszerzenie rzeczywistych macierzy symetrycznych .

Jeżeli sprzężona transpozycja macierzy jest oznaczona przez , to własność hermitowska można zapisać zwięźle jako ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A ^ {\ mathsf {H}}}$

${\ Displaystyle A {\ tekst {hermitian}} \ quad \ iff \ quad A = A ^ {\ mathsf {H}}}$

Macierze hermitowskie zostały nazwane na cześć Charlesa Hermite'a , który wykazał w 1855 roku, że macierze tej formy mają wspólną z rzeczywistymi macierzami symetrycznymi własność posiadania rzeczywistych wartości własnych . Inne, równoważne notacje w powszechnym użyciu to , chociaż należy zauważyć, że w mechanice kwantowej , zazwyczaj oznacza tylko sprzężony sprzężony , a nie transpozycję sprzężoną . ${\ Displaystyle A ^ {\ mathsf {H}} = A ^ {\ sztylet} = A ^ {\ ast}}$ ${\ Displaystyle A ^ {\ ast}}$

Charakterystyki alternatywne

Macierze hermitowskie można scharakteryzować na wiele równoważnych sposobów, z których niektóre wymieniono poniżej:

Równość z wspólnikiem

Macierz kwadratowa jest hermitowska wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa jej sprzężeniu , czyli spełnia ${\ Displaystyle A}$

{\ Displaystyle \ langle \ mathbf {w} A \ mathbf {v} \ rangle = \ langle A \ mathbf {w} \ mathbf {v} \ rangle}

dla dowolnej pary wektorów , gdzie oznacza operację iloczynu wewnętrznego .

\mathbf {v} ,\mathbf {w}

{\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle }

W ten sposób definiuje się również ogólniejszą koncepcję operatora samosprzężonego .

Rzeczywistość form kwadratowych

Macierz kwadratowa jest hermitowska wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A}$

{\ Displaystyle \ langle \ mathbf {v} A \ mathbf {v} \ rangle \ w \ mathbb {R} \ quad \ mathbf {v} \ w V.}

Właściwości spektralne

Macierz kwadratowa jest hermitowska wtedy i tylko wtedy, gdy jest unitarnie

diagonalizowalna z rzeczywistymi wartościami własnymi .

{\ Displaystyle A}

Aplikacje

Macierze hermitowskie mają fundamentalne znaczenie dla kwantowej teorii mechaniki macierzy stworzonej przez Wernera Heisenberga , Maxa Borna i Pascuala Jordana w 1925 roku.

Przykłady

W tej sekcji sprzężona transpozycja macierzy jest oznaczona jako , transpozycja macierzy jako , a sprzężona macierz jako . ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A ^ {\ mathsf {H}}}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\overline {A}}$

Zobacz następujący przykład:

{\ Displaystyle {\ zacznij {bmatrix} 0 i a-ib i c-id \ \ a + ib i 1 i m-w \ \ c + id i m + w i 2 \ koniec {bmatrix}}}

Elementy diagonalne muszą być rzeczywiste , ponieważ muszą być ich własnym złożonym sprzężeniem.

Znane rodziny hermitowskich matryc obejmują Macierze Pauliego Z macierze Gell-Mann i ich uogólnienia. W fizyce teoretycznej takie macierze hermitowskie są często mnożone przez współczynniki urojone , co daje macierze skośno-hermitowskie .

Tutaj oferujemy kolejną przydatną macierz hermitowską na abstrakcyjnym przykładzie. Jeśli macierz kwadratowa równa się

mnożeniu macierzy i jej sprzężonej transpozycji, czyli , to jest to dodatnia półokreślona macierz hermitowska . Ponadto, jeśli jest wierszem o pełnej randze, to jest dodatnio określone.

{\ Displaystyle A}

{\ Displaystyle A = BB ^ {\ mathsf {H}}}

{\ Displaystyle A}

{\ Displaystyle B}

{\ Displaystyle A}

Nieruchomości

Główne wartości przekątnych są prawdziwe

Wpisy na głównej przekątnej (od górnego lewego do dolnego prawego) dowolnej macierzy hermitowskiej są prawdziwe .

Dowód —

Z definicji macierzy hermitowskiej

{\ Displaystyle H_ {ij} = {\ overline {H}} _ {ji}}

więc dla

i = j

powyższe następuje.

Tylko główne wpisy

przekątne są koniecznie prawdziwe; Macierze hermitowskie mogą mieć dowolne wpisy o wartościach zespolonych w swoich pozaprzekątnych elementach , o ile wpisy ukośnie przeciwne są sprzężeniami zespolonymi.

Symetryczny

Macierz, która ma tylko wpisy rzeczywiste jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą hermitowską. Rzeczywista i symetryczna macierz jest po prostu szczególnym przypadkiem macierzy hermitowskiej.

Dowód —

${\ Displaystyle H_ {ij} = {\ overline {H}} _ {ji}}$ zgodnie z definicją. Zatem (symetria macierzy) wtedy i tylko wtedy, gdy ( jest prawdziwe). ${\ Displaystyle H_ {ij} = H_ {ji}}$ ${\ Displaystyle H_ {ij} = {\ overline {H}} _ {ij}}$ ${\ Displaystyle H_ {ij}}$

Tak więc, jeśli rzeczywista macierz antysymetryczna jest pomnożona przez wielokrotność jednostki urojonej , to staje się ona hermitowska. $i$

Normalna

Każda macierz hermitowska jest macierzą normalną . To znaczy . ${\ Displaystyle AA ^ {\ mathsf {H}} = A ^ {\ mathsf {H}} A}$

Dowód —

Dowód: , więc . ${\ Displaystyle A = A ^ {\ mathsf {H}}}$ ${\ Displaystyle AA ^ {\ mathsf {H}} = AA = A ^ {\ mathsf {H}} A}$

Przekątna

Twierdzenie spektralne o skończonych wymiarach mówi, że dowolna macierz hermitowska może być diagonalizowana przez macierz unitarną i że wynikowa macierz diagonalna zawiera tylko wpisy rzeczywiste. Oznacza to, że wszystkie wartości własne macierzy hermitowskiej $A$ o wymiarze $n$ są rzeczywiste i że $A$ ma $n$ liniowo niezależnych wektorów własnych . Co więcej, macierz hermitowska ma ortogonalne wektory własne dla różnych wartości własnych. Nawet jeśli nie są zdegenerowane wartości własne, to zawsze jest to możliwe, aby znaleźć ortogonalną podstawę z $ℂ n$ składający się z $n$ wektory własne $A$ .

Suma macierzy hermitowskich

Suma dowolnych dwóch macierzy hermitowskich jest hermitowska.

Dowód —

${\ Displaystyle (A + B) _ {ij} = A_ {ij} + B_ {ij} = {\ overline {A}} _ {ji} + {\ overline {B}} _ {ji} = {\ overline {(A+B)}}_{ji},}$ jak twierdził.

Odwrotność jest hermitianem

Odwrotny od odwracalnej hermitowskiego matrycy hermitowskie również.

Dowód —

Jeśli , to tak jak twierdził. ${\ Displaystyle A ^ {-1} A = I}$ ${\ Displaystyle I = ja ^ {\ mathsf {H}} = \ lewo (A ^ {-1} A \ prawej) ^ {\ mathsf {H}} = A ^ {\ mathsf {H}} \ lewo (A ^{-1}\right)^{\mathsf {H}}=A\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}}$ ${\ Displaystyle A ^ {-1} = \ lewo (A ^ {-1} \ po prawej) ^ {\ mathsf {H}}}$

Iloczyn asocjacyjny macierzy hermitowskich

Produkt dwóch hermitowskiego macierzy $A$ i $B$ jest hermitowskie wtedy i tylko wtedy, gdy $AB = BA$ .

Dowód —

Zauważ, że Tak wtedy i tylko wtedy, gdy . ${\ Displaystyle (AB) ^ {\ mathsf {H}} = {\ overline {(AB) ^ {\ mathsf {T}}}} = {\ overline {B ^ {\ mathsf {T}} A ^ {\ mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A ^{\mathsf {H}}=BA.}$ ${\ Displaystyle (AB) ^ {\ mathsf {H}} = AB}$ ${\ Displaystyle AB = BA}$

Zatem $A n$ jest hermitowskie, jeśli $A$ jest hermitowskie, a $n$ jest liczbą całkowitą.

ABA Hermitian

Jeśli A i B są hermitowskie, to ABA jest również hermitowskie.

Dowód —

${\ Displaystyle (ABA) ^ {\ mathsf {H}} = (A (BA)) ^ {\ mathsf {H}} = (BA) ^ {\ mathsf {H}} A ^ {\ mathsf {H}} =A^{\mathsf {H}}B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=ABA}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ mathsf {H}} A \ mathbf {v}}$ jest prawdziwy dla złożonych $\mathbf {v}$

Dla dowolnego wektora o wartościach zespolonych $v$ iloczyn jest rzeczywisty z powodu . Jest to szczególnie ważne w fizyce kwantowej, gdzie macierze hermitowskie są operatorami mierzącymi własności układu, np.

spin całkowity, który musi być rzeczywisty.

{\ Displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ mathsf {H}} A \ mathbf {v}}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ mathsf {H}} A \ mathbf {v} = \ lewo (\ mathbf {v} ^ {\ mathsf {H}} A \ mathbf {v} \ prawej) ^ { \mathsf {H}}}

Złożony hermitowski formuje przestrzeń wektorową nad ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Macierze hermitowskie zespolone $n$ -by- $n$ nie tworzą przestrzeni wektorowej nad liczbami zespolonymi , $ℂ$ , ponieważ macierz jednostkowa $I n$ jest hermitowska, ale $i I n$ nie. Jednak złożone hermitowskie macierze zrobić tworzą przestrzeń wektorową nad liczb rzeczywistych $ℝ$ . W $2 n 2$ - wymiarowej przestrzeni wektorowej zespolonych $n \times n$ macierzy nad $ℝ$ , zespolone macierze hermitowskie tworzą podprzestrzeń o wymiarze $n 2$ . Jeżeli $E jk$ oznacza macierz $n$ -by- $n$ z $1$ na pozycji $j, k$ i zerami w innym miejscu, to bazę (ortonormalną względem iloczynu skalarnego Frobeniusa) można opisać następująco:

{\ Displaystyle E_ {jj} {\ tekst {dla}} 1 \ równoważnik j \ równoważnik n \ quad (n {\ tekst {matryce}})}

wraz z zestawem macierzy formy

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo (E_ {jk} + E_ {kj} \ prawo) {\ tekst {dla}} 1 \ leq j < k \ leq n \ quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ macierze}}\right)}

i matryce

{\ Displaystyle {\ Frac {i} {\ sqrt {2}}} \ lewo (E_ {jk}-E_ {kj} \ prawo) {\ tekst {dla}} 1 \ leq j<k \ leq n \ quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ macierze}}\right)}

gdzie oznacza

jednostkę urojoną ,

i

{\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}} ~.}

Rozkład własny

Jeśli $n$ wektory ortonormalne o hermitowskiego matrycę są wybrane i zapisywane w kolumnach macierzy

U

, a następnie jeden eigendecomposition z

A

jest gdzie i dlatego

{\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {1}, \ kropki, \ mathbf {u} _ {n}}

{\ Displaystyle A = U \ Lambda U ^ {\ mathsf {H}}}

{\ Displaystyle UU ^ {\ mathsf {H}} = ja = U ^ {\ mathsf {H}} U}

{\ Displaystyle A = \ suma _ {j} \ lambda _ {j} \ mathbf {u} _ {j} \ mathbf {u} _ {j} ^ {\ mathsf {H}}}

gdzie są wartości własne na przekątnej macierzy diagonalnej .

{\ Displaystyle \ lambda _ {j}}

{\ Displaystyle \ Lambda}

Rzeczywisty wyznacznik

Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty:

Dowód —

${\ Displaystyle \ det (A) = \ det \ lewo (A ^ {\ mathsf {T}} \ prawej) \ quad \ Rightarrow \ quad \ DET \ lewo (A ^ {\ mathsf {H}} \ prawej) = {\overline {\det(A)}}}$ Dlatego jeśli . ${\ Displaystyle A = A ^ {\ mathsf {H}} \ quad \ Rightarrow \ quad \ det (A) = {\ overline {\ Det (A)}}}$

(Alternatywnie wyznacznik jest iloczynem wartości własnych macierzy i jak wspomniano wcześniej, wartości własne macierzy hermitowskiej są rzeczywiste).

Rozkład na hermitowski i skośno-hermitowski

Dodatkowe fakty związane z matrycami hermitowskimi obejmują:

Suma macierzy kwadratowej i jej sprzężonej transpozycji jest hermitowska. ${\ Displaystyle \ lewo (A + A ^ {\ mathsf {H}} \ po prawej)}$
Różnica między macierzą kwadratową a jej sprzężoną transpozycją jest

skośno-hermitowska (zwana także antyhermitowska). Oznacza to, że komutator dwóch macierzy hermitowskich jest skośno-hermitowski.

{\ Displaystyle \ lewo (AA ^ {\ mathsf {H}} \ po prawej)}

Dowolną macierz kwadratową

C

można zapisać jako sumę macierzy hermitowskiej

A

i macierzy skośno-hermitowskiej

B

. Jest to znane jako rozkład Toeplitza

C

.

{\ Displaystyle C = A + B \ quad {\ mbox {z}} \ quad A = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (C + C ^ {\ mathsf {H}} \ prawej) \ quad {\mbox{i}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(CC^{\mathsf {H}}\right)}

Iloraz Rayleigha

W matematyce, dla danej złożonej macierzy hermitowskiej M i niezerowego wektora x , iloraz Rayleigha definiuje się jako: ${\ Displaystyle R (M \ mathbf {x} )}$

{\ Displaystyle R (M \ mathbf {x}): = {\ Frac {\ mathbf {x} ^ {\ mathsf {H}} M \ mathbf {x}} {\ mathbf {x} ^ {\ mathsf { H}}\mathbf {x} }}.}

W przypadku rzeczywistych macierzy i wektorów warunek bycia hermitowskim sprowadza się do bycia symetrycznym, a sprzężenie transponuje do zwykłego transponowania . Zauważ, że dla każdego niezerowego rzeczywistego skalara . Przypomnijmy również, że macierz hermitowska (lub rzeczywista symetryczna) ma rzeczywiste wartości własne. ${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {H}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ Displaystyle R (M c \ mathbf {x} ) = R (M \ mathbf {x} )}$ $c$

Można wykazać, że dla danej macierzy iloraz Rayleigha osiąga wartość minimalną (najmniejszą wartość własną M), gdy jest (odpowiedni wektor własny). Podobnie i . ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ min}}$ $\mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ min}}$ ${\ Displaystyle R (M \ mathbf {x}) \ leq \ lambda _ {\ max}}$ ${\ Displaystyle R (M \ mathbf {v} _ {\ maks}) = \ lambda _ {\ maks}}$

Iloraz Rayleigha jest używany w twierdzeniu min-maks, aby uzyskać dokładne wartości wszystkich wartości własnych. Jest również używany w algorytmach wartości własnych, aby uzyskać przybliżenie wartości własnej z przybliżenia wektora własnego. W szczególności jest to podstawa iteracji ilorazu Rayleigha.

Zakres ilorazu Rayleigha (dla macierzy niekoniecznie hermitowskiej) nazywany jest zakresem liczbowym (lub widmem w analizie funkcjonalnej). Gdy macierz jest hermitowska, zakres liczbowy jest równy normie spektralnej. Wciąż w analizie funkcjonalnej jest znany jako promień spektralny. W kontekście C*-algebr lub algebraicznej mechaniki kwantowej funkcja, która łączy z

M

iloraz Rayleigha

R

(

M

,

x

)

dla ustalonego

x

i

M

zmieniającego się przez algebrę, byłaby określana jako „stan wektorowy” algebry .

{\ Displaystyle \ lambda _ {\ max}}

Zobacz też

Złożona macierz symetryczna
Przestrzeń wektorowa
Macierz skośno-hermitowska (matryca antyhermitowska)
Wzór na bezwładność Haynswortha
forma hermitowska
Operator samosprzężony
Matryca jednostkowa
Normalna macierz

Bibliografia

Zewnętrzne linki

„Macierz hermitowska” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Wizualizacja matrycy hermitowskiej jako elipsy z dr. Geo autorstwa Chao-Kuei Hung z Uniwersytetu Chaoyang daje bardziej geometryczne wyjaśnienie.
„Matryce hermitowskie” . MathPages.com .

Languages

In other projects

Macierz hermitowska - Hermitian matrix

Zawartość