Oscylacja próżniowa Rabiego - Vacuum Rabi oscillation

Próżni Rabi oscylacji jest tłumienie drgań od początkowo wzbudzonego atomu sprzężonego z elektromagnetycznego rezonatora lub wnęki, w których atom przemian wydzielające fotonów (e) do jednomodowego jamy elektromagnetycznej i reabsorbs nich. Atom oddziałuje z polem jednomodowym ograniczonym do ograniczonej objętości V we wnęce optycznej. Emisja spontaniczna jest konsekwencją sprzężenia między atomem a próżnią fluktuacji pola wnęki.

Leczenie matematyczne

Matematyczny opis oscylacji Rabiego zaczyna się od modelu Jaynesa-Cummingsa , który opisuje interakcję między pojedynczym modem pola skwantowanego a układem dwupoziomowym wewnątrz wnęki optycznej . Hamiltonian dla tego modelu w przybliżeniu wirującej fali wynosi

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} = \ hbar \ omega {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {a}} + \ hbar \ omega _ {0 } {\ frac {{\ hat {\ sigma}} _ {z}} {2}} + \ hbar g \ left ({\ hat {a}} {\ hat {\ sigma}} _ {+} + { \ hat {a}} ^ {\ dagger} {\ hat {\ sigma}} _ {-} \ right)}$

gdzie jest operator spinu Pauliego z dla dwóch stanów własnych i izolowanego układu dwupoziomowego rozdzielonego energią ; i są operatorami podnoszenia i opuszczania systemu dwupoziomowego; i są operatorami tworzenia i anihilacji dla fotonów energii w trybie wnękowym; i ${\ displaystyle {\ hat {\ sigma _ {z}}}}$${\displaystyle |e\rangle}$${\displaystyle |g\rangle}$${\ displaystyle \ hbar \ omega _ {0}}$${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {+} = | e \ rangle \ langle g |}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ sigma}} _ {-} = | g \ rangle \ langle e |}$${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ sztylet}}$${\ displaystyle {\ hat {a}}}$${\ Displaystyle \ hbar \ omega}$

${\ displaystyle g = {\ Frac {\ mathbf {d} \ cdot {\ hat {\ mathcal {E}}}} {\ hbar}} {\ sqrt {\ Frac {\ hbar \ omega} {2 \ epsilon _ {0} V}}}}$

jest siłą sprzężenia między momentem dipolowym układu dwupoziomowego a modą wnękową z objętością i polem elektrycznym spolaryzowanym wzdłuż . Wartości własne i stany własne energii dla tego modelu to ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {E}}}}$

${\ Displaystyle E_ {\ pm} (n) = \ hbar \ omega _ {c} \ lewo (n-{\ Frac {1} {2}} \ prawej) \ pm {\ Frac {\ Hbar} {2} }{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}=\hbar \omega _{n}^{\pm }}$

${\ Displaystyle | n, + \ rangle = \ cos \ lewo (\ theta _ {n} \ prawej) | g, n + 1 \ rangle + \ sin \ lewo (\ theta _ {n} \ po prawej) | e, n \ rangle}$

${\ Displaystyle | n, - \ rangle = \ sin \ lewo (\ theta _ {n} \ prawej) | g, n + 1 \ rangle - \ cos \ lewo (\ theta _ {n} \ po prawej) | e, n\rangle }$

gdzie jest odstrojenie , a kąt jest określony jako ${\ Displaystyle \ delta = \ omega _ {a} - \ omega}$${\ Displaystyle \ theta _ {n}}$

${\ Displaystyle \ theta _ {n} = \ tan ^ {- 1} \ lewo ({\ Frac {g {\ sqrt {n + 1}}} {\ delta}} \ po prawej).}$

Biorąc pod uwagę stany własne systemu, operator ewolucji czasu można zapisać w postaci:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} e ^ {-i {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} t / \ hbar} & = \ suma _ {| n \ pm \ rangle} \ suma _ {| n ', \ pm \ rangle} | n, \ pm \ rangle \ langle n, \ pm | e ^ {- i {\ hat {H}} _ {\ text {JC}} t / \ hbar} | n ', \ pm \ rangle \ langle n', \ pm | \\ & = ~ e ^ {i (\ omega - {\ frac {\ omega _ {0}} {2}}) t} | g, 0 \ rangle \ langle g, 0 | \\ & ~~~ + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {e ^ {- i \ omega _ {n} ^ {+} t} (\ cos {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}|e,n\rangle )(\cos {\theta _{n}}\langle g,n +1|+\sin {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )(- \ sin {\ theta _ {n}} \ langle g, n + 1 | + \ cos {\ theta _ {n}} \ langle e, n |)} \\\ end {aligned}}.}$

Jeśli układ zaczyna się w stanie , w którym atom jest w stanie podstawowym układu dwupoziomowego, a fotony są w trybie wnękowym, zastosowanie operatora ewolucji czasu daje ${\ displaystyle | g, n + 1 \ rangle}$${\displaystyle n+1}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} e ^ {- ja {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} t / \ hbar} | g, n + 1 \ rangle & = (e ^ {- i \ omega _ {n} ^ {+} t} (\ cos ^ {2} {(\ theta _ {n})} | g, n + 1 \ rangle + \ sin {\ theta _ {n}} \ cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )+e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin ^{2}{(\theta _{n}) } | g, n + 1 \ rangle - \ sin {\ theta _ {n}} \ cos {\ theta _ {n}} | e, n \ rangle) \\ & = (e ^ {- i \ omega _ {n} ^ {+} t} + e ^ {- i \ omega _ {n} ^ {-} t}) \ cos {(2 \ theta _ {n})} | g, n + 1 \ rangle + (e ^ {- i \ omega _ {n} ^ {+} t} -e ^ {- i \ omega _ {n} ^ {-} t}) \ sin {(2 \ theta _ {n})} | e, n \ rangle \\ & = e ^ {- i \ omega _ {c} (n + {\ frac {1} {2}})} {\ Biggr [} \ cos {{\ biggr (} {\ frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {\delta ^{ 2}-4g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|g,n+1\rangle +\sin {{\ biggr (} {\ frac {t} {2}} {\ sqrt {4g ^ {2} (n + 1) + \ delta ^ {2}}} {\ biggr)}} {\ biggr [} {\ frac {8 \ delta ^ {2} g ^ {2} (n + 1)} {\ delta ^ {2} + 4g ^ {2} (n + 1)}} {\ biggr]} | e, n \ rangle {\ Biggr]} \ end {aligned}}.}$

Prawdopodobieństwo, że układ dwupoziomowy jest w stanie wzbudzonym w funkcji czasu, wynosi wtedy ${\ displaystyle | e, n \ rangle}$${\displaystyle t}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P_ {e} (t) & = | \ langle e, n | e ^ {- ja {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} t / \ hbar} | g, n + 1 \ rangle | ^ {2} \\ & = \ sin ^ {2} {{\ biggr (} {\ frac {t} {2}} {\ sqrt {4g ^ {2} (n +1) + \ delta ^ {2}}} {\ biggr)}} {\ biggr [} {\ frac {8 \ delta ^ {2} g ^ {2} (n + 1)} {\ delta ^ { 2} + 4g ^ {2} (n + 1)}} {\ biggr]} \\ & = {\ frac {4g ^ {2} (n + 1)} {\ Omega _ {n} ^ {2} }}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{n}t}{2}}{\bigr )}}\end{wyrównany}}}$

gdzie jest identyfikowana jako częstotliwość Rabi . W przypadku, gdy we wnęce nie ma pola elektrycznego, to znaczy liczba fotonów wynosi zero, częstotliwość Rabiego staje się . Wówczas prawdopodobieństwo, że układ dwupoziomowy przejdzie ze stanu podstawowego do stanu wzbudzonego w funkcji czasu, wynosi ${\ Displaystyle \ Omega _ {n} = {\ sqrt {4g ^ {2} (n + 1) + \ delta ^ {2}}}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Omega _ {0} = {\ sqrt {4 g ^ {2} + \ delta ^ {2}}}}$${\displaystyle t}$

${\ Displaystyle P_ {e} (t) = {\ Frac {4g ^ {2}} {\ Omega _ {0} ^ {2}}} \ sin ^ {2} {{\ bigr (} {\ Frac { \ Omega _ {0} t} {2}} {\ bigr)}.}}$

W przypadku wnęki, która dopuszcza jeden mod doskonale rezonujący z różnicą energii między dwoma poziomami energii, odstrojenie znika i staje się sinusoidą kwadratową z jednostkową amplitudą i okresem${\ Displaystyle \ delta}$${\ displaystyle P_ {e} (t)}$${\ Displaystyle {\ Frac {2 \ pi} {g}}.}$

Uogólnienie na atomy${\ displaystyle N}$

Sytuację, w której we wnęce jednomodowej występują układy dwupoziomowe, opisuje model Tavisa – Cummingsa, w którym hamiltonian ${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} = \ hbar \ omega {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {a}} + \ suma _ {j = 1 } ^ {N} {\ hbar \ omega _ {0} {\ frac {{\ hat {\ sigma}} _ {j} ^ {z}} {2}} + \ hbar g_ {j} \ left ({ \kapelusz {a}}{\kapelusz {\sigma }}_{j}^{+}+{\kaptur {a}}^{\sztylet }{\kapelusz {\sigma }}_{j}^{- }\dobrze)}.}$

Przy założeniu, że wszystkie dwa systemy poziomów mają taką samą siłę sprzężenia indywidualnego z polem, zespół jako całość będzie miał zwiększoną siłę sprzężenia . W rezultacie, próżniowe rozszczepianie Rabi jest odpowiednio zwiększone o współczynnik . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g_ {N} = g {\ sqrt {N}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$

Zobacz też

• Model Jaynesa-Cummingsa
• Fluktuacja kwantowa
• Cykl Rabiego
• Częstotliwość Rabi
• Problem Rabiego
• Spontaniczna emisja

Odniesienia i uwagi